در این پایان نامه ابتدا به معرفی گروه های پوچ توان و خواص آن ها می پردازیم و زیرگروه فراتینی را به صورت دقیقتری در این گروه ها بررسی می کنیم، سپس شرایطی را که یک گروه دارای خواص مشترک با گروه های پوچ توان است بیان می کنیم، در ادامه با تعریف زیرگروه های وربال و مارجینال و سری های -مارجینال بالایی و پایینی گروه - پوچ توان را معرفی می کنیم که با تعریف واریته دلخواه، طیف وسیعتری از گروه ها را در بر می گیرد و به این ترتیب خواص این گروه ها در پایای بئر و دنباله دقیق نتایج جالبی را ایجاد می کند. همچنین با تعریف واریته گروه های پوچ توان به تعمیم گروه های پوششی می پردازیم و گروه پوششی نسبت به واریته پوچ توان را تعریف می کنیم و با این واریته پایای بئر و دنباله های دقیق از آن را بررسی می کنیم.

گروه¬های کامل در یک چندگونای دلخواه (گروه¬های - کامل) بعد از تعریف چندگونای گروه¬ها توسط فیلیپ هال در سال 1949، معرفی شدند که در حالت خاص چندگونای گروه¬های آبلی، همان مفهوم گروه¬های کامل را نتیجه می¬دهند. در این پایان¬نامه سعی شده است تا برخی خواص اساسی گروه¬های کامل را جمع¬آوری کنیم. سپس آن¬ها را برای گروه¬های - کامل تعمیم دهیم و همچنین با ارائه روش¬هایی نظیر حاصل¬ضرب مستقیم، حاصل¬ضرب نیم¬مستقیم و حاصل¬ضرب مرکزی، گروه¬های - کامل جدید بسازیم. برای هر گروه دلخواه، یک زیرگروه پایای کامل بیشین - کامل منحصر به¬فرد می¬سازیم. همچنین برای هر گروه - کامل ، یک گروه - پوششی می¬یابیم و با تعمیم مفهوم گروه¬های ابرمرکز، گروه¬های ابرمارجینال¬ را معرفی می¬کنیم که در حالت خاص چندگونای گروه¬های آبلی، همان مفهوم گروه¬های ابرمرکز را نتیجه می¬دهند. به¬علاوه نشان می¬دهیم که هیچ گروه - کامل متناهی غیر بدیهی، ابرمارجینال¬ نمی¬باشد. در نهایت با تعریف مفهوم چندگونای فازی، رده¬ای از گروه¬های فازی بسته نسبت به زیرگروه، تصویر همریخت و حاصل¬ضرب زیردکارتی عناصرش، می¬سازیم.

در این پایان نامه جابه جایی حد مستقیم با پایای بئر بر اساس مقاله رجب زاده مقدم مطالعه و به عنوان کاربردی از این جابه جایی پایای بئر نسبت به تعضی از چندگونای گروه ها برای گروه های q، q/z و z(p بی نهایت) محاسبه خواهد شد. هم چنین حابه جایی پایای بئر و گروه های پوششی مورد بررسی قرار می گیرد و نتیجه می شود که nc پوشش گروه پوچ توان تابدار برابر حاصل ضرب nc پوشش زیر گروه های سیلوی آن است. این مطالب بر اساس مقاله دکتر مشایخی و میرابراهیمی در سال 2007 می باشد.

در این پایان نامه، مفهوم تابع مضاعف یکنوای ماکسیمال بررسی شده است. این پایان نامه به صورت زیر تنظیم شده است. فصل اول شامل برخی اطلاعات مقدماتی از آنالیز محدب و آنالیز تابعی می باشد که در فصول بعدی استفاده خواهد شد. در فصل دوم برخی تعاریف، خواص و قضایای عملگرهای یکنوا مانند زیردیفرانسیل ها، مخروط نرمال، مخروط مماس و غیره را بیان می کنیم. فصل سوم به توابع مضاعف یکنوا اختصاص دارد. در این فصل یکنوایی ماکسیمال توابع مضاعف را تعریف می کنیم و برخی از تعاریف، ویژگی ها و نتایج اولیه را شرح می دهیم. فصل چهارم با نظری? عملگرهای sigma-یکنوا و توابه مضاعف sigma-یکنواسروکار دارد. در این فصل رد? تمام عملگرهای sigma-یکنوای ماکسیمال و sigma-یکنوا در فضای باناخ و تحلیل خواص شان را مطرح می کنیم. همچنین رد? توابع مضاعفی که وابسته به مفهوم عملگرهای پیش -یکنوا هستند را معرفی و بررسی می کنیم.

هدف اصلی این پایان نامه‏، معرفی و مطالعه ویژگی های برخی از مجموعه چندجمله ای های متعامد مانند چندجمله ای های شیفر و چندجمله ای های مربوط به توابع بیضوی ژاکوبی می باشد. علاوه بر این‏، نشان می دهیم که چگونه می توان با استفاده از عملگر دیفرانسیل خطی از مرتبه نامتناهی‏، مجموعه های اپل را تعمیم داده و با استفاده از آن چندجمله ای های شیفر را به دست آورد. همچنین به بررسی چندجمله ای های شیفر تعمیم یافته با استفاده از تعریف عملگر دیفرانسیل مناسب می پردازیم. فصل اول شامل دو بخش می باشد که در فصول آتی به کار می روند. در بخش اول به تعریف توابع گاما‏، بتا‏، فاکتوریل‏، فوق هندسی‏، فوق هندسی تعمیم یافته‏‏ و بیضوی پرداخته و نیز برخی از خواص آن ها را بیان می کنیم. در بخش دوم تعریف تابع بیضوی ژاکوبی و خواص مقدماتی آن ها را بیان کرده و به بررسی برخی چندجمله ای های وابسته به توابع بیضوی می پردازیم.فصل دوم، مجموعه های ساده از چندجمله ای های تیپ-a‎‎، و به طور خاص چندجمله ای های تیپ-a صفر شیفر را در بر می گیرد. در راستای موضوع این فصل، قضایا، تعاریف و مفاهیمی بیان می شود که در واقع کاربرد چندجمله ای های تیپ‎a‎-‎ صفر شیفر را در حل معادلات دیفرانسیل نشان می دهد.فصل سوم، تعمیمی از چندجمله ای های شیفر را در بر می گیرد. ‏در پایان مطالعه چندجمله ای شیفر به تعمیم چندجمله ای شیفر با استفاده از عملگر دیفرانسیل با مشتقات جزئی تلاش شده است. همچنین برخی خواص چندجمله ای های از تیپ‎ سیگما صفر در یک و دو متغیره را بیان میکنیم.