سالهاست که آنالیز تواناترین شاخه ریاضیات بوده و مبحث معادلات دیفرانسیل بخش عمده آن است. هدف اولیه ی معادلات دیفرانسیل آن است که وسیله ای برای مطالعه تغییرات جهان مادی فراهم آورد. نظریه معادلات دیفرانسیل، بهترین و عمومی ترین نظریه ریاضی است که به وسیله ی آن بسیاری از قوانین طبیعی و انسانی را می توان تبیین نمود. این نظریه شاخه ای از آنالیز ریاضی است که از دو دسته ی معادلات دیفرانسیل معمولی، و معادلات دیفرانسیل جزئی تشکیل شده است. کار بر روی این نظریه در قرن هفدهم میلادی توسط توابع مقدماتی آغاز شد. در قرن هجدهم میلادی با بررسی تار مرتعش، اولین معادله دیفرانسیل جزئی پدید آمد. سپس اویلر ضمن بررسی شرایط وجود و یکتایی جواب، به حل مسائل مقدار مرزی با استفاده از سری های توانی پرداخت که بعدها این روش توسط فوریه کامل و به نام او ثبت گردید. تاکنون نظریه معادلات دیفرانسیل عرصه بهترین تحقیقات ریاضی بوده و منشأ ابداع نظریه های گوناگون در ریاضی و علوم دیگر گردیده است. هم چنین با توجه به رابطه نزدیک آن با علوم دیگر، مخصوصاً فیزیک به نقش کلیدی و اهمیت وافر آن می توان پی برد. معادلات ناشی از زمینه ی تکنولوژی، بسیار پیچیده هستند. این معادلات معمولاً دارای ضرایب متغیر بوده، غیر خطی هستند، مرزهای نامنظم دارند و به صورت دستگاه های توأم از انواع مختلف (مثلاً سهموی و هذلولوی ) ظاهر می شوند. در ریاضیات محض، روش های حل معادلات دیفرانسیل با استفاده از شیوه های تحلیلی مانند انتگرالگیری یا بسط به سری خاص، مورد بررسی قرار می گیرد. در این روش ها تأکید بر یافتن عبارت دقیق برای جواب است. متأسفانه مسائل مهم زیادی در مهندسی و علوم، به خصوص مسائل غیر خطی، وجود دارند که روش های تحلیلی یا در آن ها به کار نمی روند و یا به کار گیری آن ها بسیار مشکل است. در این پایان نامه به حل چند نمونه از معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل جزئی با استفاده از روش آنالیز هوموتوپی می پردازیم. این پایان نامه شامل چهار فصل به صورت زیر است در فصل اول برخی مفاهیم و تعاریف اولیه در معادلات دیفرانسیل جزئی ارائه می شود. در فصل دوم به معرفی روش آنالیز هوموتوپی پرداخته شده و ساختار کلی این روش بیان می شود. در فصل سوم کاربردهایی از روش آنالیز هوموتوپی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل جزئی ارائه شده است. در فصل چهارم به حل مسأله شکار و شکارچی و تجزیه اُزن مرتبه دوم در محلول آبدار و معادله زاخاروف با استفاده از روش آنالیز هوموتوپی اختصاص دارد و با ارائه ی مثال هایی، کارایی این روش نشان داده شده است. برنامه های کامپیوتری این روش برای معادلات فصل چهار در پیوست ارائه گردیده است.

مسایل مسیرهای رله ای با کمترین هزینه ( mcppr ) : شامل پیدا کردن یک مسیر با کمترین هزینه از یک مبدا به یک مقصد بوده که در طول مسیر ، گره های رله ای با هزینه های مشخص و محدودیت وزنی وجود داشته باشند . این پایان نامه مساله ( mcppr ) را بعنوان یک مسئله مسیر دو معیاری ویژه ، شامل تابع جمع شده هزینه مسیر و هزینه رله ها و یک تابع وزنی ، مدل بندی می کند . فرمول بندی ( mcppr ) بعنوان یک قسمت از یک مسئله مسیر دو معیاری ، اجازه ی توسعه الگوریتم برچسب گذاری را می دهد که کران وزنی مسیرها ، شماره برچسب گره ها را کنترل می کند . الگوریتم برای این نسخه از تابع هدف محدود شده ، پیچیدگی زمانی از مرتبه o(wm+wnlog(max{w,n})) را دارد که n تعداد گره ها ، m تعداد یالها و w کران بالای وزن ها می باشد . نتایج محاسباتی روی مثال های تصادفی تا 000/10 گره و 000/100 یال ، گزارش شده است . مطالب ذکر شده برگرفته از مقاله زیر است : minimum cost path problems with relays gilbertlaporte,martam.b.pascoal , computers& operations research 38 (2011) 165-173

ریاضیات زیستی، یک حوزه بین رشته ای از مطالعات آکادمیک است که فرآیند های زیستی را با استفاده از ابزار ها و روش ها، مدل سازی می کند. این رشته هم کاربرد نظری و هم کاربرد علمی در تحقیقات بیولوژیکی داشته که اغلب با همکاری بین ریاضی دانان، فیزیک دانان، زیست شناسان، پزشکان، جانورشناسان، شیمی دانان و .. انجام می گیرد. تحقیق در زیست شناسی غالباً بر پایه آزمایش با مواد استوار است در حالی که در ریاضیات زیستی، این آزمایش ها یک ماهیت نظری دارند. ریاضی دانان مفاهیم و ویژگی های سازماندهی شده را به کار می گیرند تا برای سوال هایی که زیست شناسان درباره ساختمان موجودات زنده مطرح می کنند، جواب هایی بیابند. یک ضرورت اصلی به کار بردن ریاضیات در سیستم های زیستی، توانایی ساخت مدل های ریاضی است. این مدل ها، دستگاه های ریاضی هستند که بر هم کنش های پیچیده سیستم های زیستی را با یک روش ساده ارائه می کنند واین امکان را به زیست شناسان می دهند که ویژگی های آن ها را راحت تر تحلیل کنند. ریاضیات در اکثر شاخه های زیست شناسی کاربرد دارد. یکی از حوزه های تحقیقاتی ریاضیات زیستی، مدل سازی فرآیند زیستی با مهار تولید و اثر تکانه ای است. جمع شدن محصولات در محیط کشت، رشد میکروارگانیسم ها را متوقف می کند و باروری فرآیند های زیستی را کاهش می دهد. تحقیق بر روی فیزیولوژی میکروارگانیسم ها نگاه جدیدی را بر روی مکانیسم (ساز و کار) مهار محصول فراهم می کند که باعث کم شدن هزینه های تخمیر در محصولاتی چون استون، اتانول ، لاکتیک اسید و ال- گلوتامیک اسید (lga) می شود . ال-گلوتامیک اسید (شناخته شده به صورت گلوتامین) تاکنون یکی از مهمترین آمینو اسید های تجاری است. تولید جهانی این محصول ، که به طور وسیع با تخمیر بدست می آید، به بیش از 1 میلیون تن در سال می رسد.lga به عنوان یک افزودنی طعم دهنده استفاده می شود و مشتقات زیاد آن برای شروع بسیاری از سنتز های شمیایی خاص مختلف بکار می روند . خیلی از پدیده های بیولوژیکی مانند آستانه ها، مدل های ریتمی ناگهانی در پزشکی، داروشناسی و سیستم های فرکانسی، اثرات تکانه ای را در خود نشان می دهند . بنابراین معادلات دیفرانسیلی تکانه ای به عنوان یک توصیف طبیعی از پدیده های مشاهده شده از بعضی مشکلات واقعی دنیا ظاهر شده است. مقاله های زیادی معادلات دیفرانیسل تکانه ای را در حالت پویای خود معرفی کرده اند و نیز نتایج جالبی بدست آورده اند . در فرآیند های میکروبی محققان زیادی بر روی مدل های حالت وابسته با کنترل حالت تکانه مطالعاتی کرده اند که از اصل پوانکاره و بندیکسون-پوانکاره در معادله دیفرانسیل تکانه ای استفاده کرده اند. اما هیچ یک از تحقیقات، اثر مهار محصول را بر روی مدل ریاضی در فرآیند زیستی با اثر تکانه ای در نظر نگرفته اند. این مسئله ما را بر آن داشت که در این پایان نامه به مدل سازی فرآیند های تکانه ای با مهار تولید و به بهینه سازی متغیرها بپردازیم. برای بهینه سازی، از الگوریتم ژنتیک استفاده می کنیم. این الگوریتم از قاعده زنجیره مارکوفی پیروی می کند که اثبات شده که این زنجیره همگرا است

حل مسائل مقدار مرزی مرتبه پنجم مورد توجه بسیاری از محققان می باشدودر برخی ازعلوم، نظیر علوم فنی ومهندسی کاربرد دارد.افراد بسیاری این نوع مسائل را به کمک ر وشهای متعارف حل کرده اند. دراین پایان نامه روشی رابا استفاده از اسپلاین درجه شش غیر چند جمله ای ارائه کرده ایم که در مقایسه با روشهای ذکر شده ،ازتقریب بهتری برخوردار است . همچنین این روش با درنظر گرفتن مقادیر متفاوت برای پارامترهای مدل ، همگراازمرتبه دوم وچهارم است. دراین پایان نامه با توجه به مطالب ارائه شده ،جواب تقریبی برای حل مسائل مقدارمرزی مرتبه پنجم با استفاده از اسپلاین های غیر چند جمله ای وچند جمله ای درجه ششم رابدست آوردیم ونشان دادیم همگرایی این روشها ،به ترتیب دارای دقت مرتبه دوم وچهارم به ازای مقادیر مختلف و و برای اسپلاین غیر چند جمله ای و دقت مرتبه دوم برای اسپلاین چند جمله ای می باشد. همچنین نشان دادیم که روش اسپلاین ازکارایی بیشتری دربدست آوردن جواب مسئله مقدارمرزی برخوردار است. نتایج عددی نشان می دهدکه روش قابل اعتماد است و برای مسائل مقدارمرزی مرتبه پنجم بازدهی روشهای حاصله راعملا"نشان می دهد.

گسترش تعهدات یک دولت در عرصههای اقتصادی و اجتماعی، هزینههای دولت را با روندی افزایشی مواجه ساخته است و تأمین مالی چنین هزینههایی منابع درآمدی مطمئن و عمدهای را طلب میکند. از آنجا که درآمدهای عمومی کشور بیشتر متکی به نفت است و دیر یا زود این منبع سرشار از درآمد تقلیل خواهد یافت، دولت ناچار است برای تأمین هزینههای خود به دنبال منابع جایگزین باشد. امروزه، از میان منابع درآمدی مختلف، درآمدهای مالیاتی از بهترین، سالمترین و مطمئنترین روشهای تأمین مخارج دولتها میباشد و دستیابی هرچه بیشتر به این درآمد، تحت یک سیستم مالیاتی منصفانه و کارا از اهمیت بالایی برخوردار است. لذا شناخت منابع مالیاتی و راههای اخذ مالیات یکی از دغدغهها و ابزارهای مهم سیاست مالی در هر دولت و جامعهای میباشد. ازطرفی وجود پدیدهی انکارناپذیر فرار مودیان مالیاتی از پرداخت مالیات متعلقه، با توسل به روشهای مختلف این امر مهم را در هر جامعه و دولتی با مشکلات جدی روبرو کرده است، به طوریکه تنظیم و ارائه راهبردهایی جهت کاهش و جلوگیری از این پدیده، خود به تنهایی یکی از مهمترین سیاستهای مالیاتی هر کشور به شمار میآید. یکی از اساسیترین گامهای اتخاذ این دسته از راهبردها، شناخت دقیق تعاملات مالیاتی بین مودیان و ارگان متصدی مالیات، براساس متغیرها و عوامل گوناگون است. بررسی ارتباط مشمولین مالیاتی و دستگاه مالیاتی در قالب ابزارها و ترفندهای نظریهگرای ریاضی یکی از راههای بررسی این رویارویی است. ازاینرو در این تحقیق با استفاده از پارامترهای تعیین شده که به صورت زیر است، میتوان مقادیر بهینه را بدستآورده و با استفاده از آنها نتیجه گیری کرد. اما در قالب نظریه بازی ها، با توجه به استراتژی های تمکین مالیاتی، فرار مالیاتی بدون تبانی و فرار مالیاتی با تبانی از سوی مودی و استراتژی های عدم ممیزی اولیه، ممیزی اولیه بدون بازرسی مجدد و ممیزی اولیه با 1 نمایش داده شد که با استفاده از تعریف -3- بازرسی مجدد از سوی دولت، پیامدهای بدست آمده در جدول 4 78 تعادل نش به این نتیجه رسیدیم که هیچ تعادل نش محضی برای این بازی پیدا نشد؛ به همین دلیل به جستجوی 1، در بین تکیه گاه های موجود، یک مورد تعادل نش - تعادل نش آمیخته پرداختیم. که با توجه به الگوریتم 3 آمیخته یافت شد.با توجه به نتیجه گیری های انجام شده و بدست آوردن نقطه تعادل نش آمیخته، پیشنهاد ما این است که، مودیان به عنوان پرداخت کنندگان مالیات ودولت به عنوان دریافت کننده مالیات میتوانند به جای تعارض ومقابله به دنبال همکاری بوده تا هر دوطرف بازی از نتایج وپیامدهای در بازی راضی باشند. 79 البته در این زمینه میتوان، با تغییراتی در محدودیتها و نحوه اجرای بازی توسط بازیکنان، پیشنهاد کارهایی جدید را به علاقهمندان در این زمینه داد.