با بررسی در درخت جستجوی دودویی، دو نوع فاصله تصادفی را مورد توجه قرار می دهیم؛ عمق یک گره به تصادف انتخاب شده در درخت و فاصلۀ دو گره به تصادف انتخاب شده در درخت جستجوی دودویی. ابتدا با طرح چند قضیه و تشریح جستجوی موفق و جستجوی ناموفق در درخت جستجوی دودویی، به بررسی، عمق گره به تصادف انتخاب شده در درخت جستجوی دودویی می پردازیم و با کمک روشهای قدیمی (انتخاب تابع مولد احتمال برای متغیر تصادفی مورد نظر، یعنی و مشتق گیری از آن) میانگین و واریانس عمق گره به تصادف انتخاب شده از درخت جستجوی دودویی را به دست می¬آوریم و از نتایج به دست آمده برای بررسی ، فاصلۀ دو گره به تصادف انتخاب شده از درخت جستجوی دودویی، استفاده می¬کنیم و میانگین و واریانس آن را به دست می¬آوریم. سپس فاصله ای را که به شکل نرمال نوشتیم، به صورت بازگشتی می¬نویسیم و برای حد معادله بازگشتی مورد نظر، یک معادلۀ نقطۀ ثابت در نظر می¬گیریم. سپس با کمک قضیۀ نقطۀ ثابت باناخ و با انتخاب یک متریک احتمالاتی مناسب و با استفاده از روش انقباض، نشان می¬دهیم معادله فقط و فقط یک جواب دارد و این جواب، توزیع فاصله تصادفی بین دو گره را نشان می¬دهد.

در این پایان نامه هدف ارائه روشی به نام انتخاب مدل برای خوشه بندی احتمالاتی با استفاده از درستنمایی ارزیابی متقابل است که اولا فرضهای دلخواه اشخاص در مورد معیار تشابه در آن نقشی ندارد ثانیا چون این روش بر اساس مدل است با تجزیه طیفی ماتریش کوواریانس می توان معیارهای ساده ای برای مشخص کردن حجم ، شکل و جهت خوشه ها به دست آورد.ثانیا بر اساس آزمون نسبت درستنمایی توزیع های آمیخته می توان تعداد خوشه ها را تعیین نمود . نهایتا می توان با استفاده از معیارهای ‏‎bic‎‏ و درستنمایی ارزیابی متقابل بهترین مدل خوشه بندی را انتخاب نمود.