قضایای نقاط ثابت علاوه بر اینکه در ریاضیات محض و کاربردی اهمیت و استفاده فراوان دارند ، از زیبایی خاصی نیز برخوردارند. تعیین نقاط ثابت نگاشت های غیر انبساطی، یک مسئله معمول در علوم ریاضی و مهندسی است. ارائه روش های تکرار مناسب برای تولید دنباله هایی که به نقاط ثابت نگاشت ها همگرا شوند از اهمیت بالایی برخوردارند. روش تکراری هالپرن اساساً الگوریتمی برای پیدا کردن نقاط ثابت نگاشت های غیر انبساطی است، که در این پایان نامه به بررسی آن پرداخته ایم. هدف اصلی بررسی کاری از ویتمن و نتیجه ای از لیونز است. تاکاهاشی و برخی از محققین دیگر برخی از قضایای همگرایی قوی بر اساس فرآیند تکراری هالپرن برای تعداد نامتناهی از نگاشت های غیر انبساطی ارائه کرده اند. برای این فرایند تکراری با تعداد متناهی از نگاشت های غیرانبساطی یک نتیجه کامل توسط بُشکه ارائه شده است. در این پایان نامه ما برخی از جدیدترین قضایایی که در این رابطه ثابت شده است را بررسی می کنیم

ریشه- تقریب پذیری گروه های توپولوژیک در رابطه با توابع محدب در گروه های توپولوژیک قبلا مطرح شده است. هدف ما در این پایان نامه این است که این مسأله را در حالت خاص گروه خودریختی های رویه های ریمان بررسی می کنیم. در آنالیز مختلط رویه ی ریمان به یک خمینه ی مختلط یک بعدی همبند گفته می شود که در قضیه ی مشهور یکنواخت سازی رویه های ریمان همبند ساده ثابت می شود که از لحاظ همدیسی، تنها سه رویه ی ریمان همبند ساده وجود دارد که عبارتند از: کره ی ریمان، صفحه ی مختلط و قرص یکه. سایر رویه های ریمان خارج قسمت های این سه رویه می باشند که در واقع جز چند رویه ی معدود، تمام رویه ها خارج قسمت قرص یکه هستند. آنچه که به مطالعه ی رویه های ریمان جذابیّت بیشتری بخشیده، نگاشت های تمام ریختی است که بین آن ها تعریف می شود. مجموعه ی توابع تمام ریخت روی یک رویه ی ریمان m به خودش، با توپولوژی همگرایی یکنواخت روی فشرده ها تشکیل یک گروه توپولوژیک می دهد که آنرا گروه خودریختی های m می نامند و با (aut(m نمایش داده می شود. قبلا ریشه- تقریب پذیری گروه خودریختی های قرص یکه در مقاله ای از شادمان و میرزاپور نشان داده شده است. بررسی های ما نشان داد که گروه خودریختی های c ( صفحه ی مختلط )، ? ? c (صفحه ی مختلط توسعه یافته )و {d-{0 نیز ریشه- تقریب پذیرند؛ در حالی که گروه خودریختی های {c-{0 و طوقه ی {a={ z?c:0<r_1<|z|<r_2 ریشه-تقریب پذیر نیستند، امّا هر کدام دارای یک زیرگروه ریشه- تقریب پذیر می باشند. لغات کلیدی: روی ی ریمان، نگاشت تمام ریخت، گروه خودریختی، گروه ریشه- تقریب پذیر

بررسی گروه خودریختی های شیئ مفروض xدر یک رسته موضوع جالب وغالبا پیچیده ای است. در آنالیز و هندسه مختلط نگاشت های تمامریخت بین دامنه های مختلط منجر به بررسی خمینه های مختلط می شود و در این راستا گروه خود ریختی های شیئ xرا با aut(x)نمایش می دهند. دامنه های کراندار با مرز هموار در cnدو دسته اند: یکی با گروه خودریختی های فشرده و دیگری با گروه خودریختی های غیرفشرده. با دانستن این که یگانه دامنه کراندار در cn با مرز هموار تا درجه دو که اکیدا شبه محدب باشد و گروه خودریختی هایش غیرفشرده باشد فقط گوی یکه است توجه به حالت های غیرفشرده جذب شد. ما دراین پایان نامه ضمن آنکه اثبات جدیدی از کرانتس و کیم که در سال 2003 برای قضیه ونگ -روزه با استفاده از حلقه توابع تمامریخت ارائه شده است را می آوریم دامنه هایی غیر از گوی یکه از قبیل دامنه های رینهارت و دامنه های مدور غیررینهارت و بسقرص را نیز بررسی و کارهای این زمینه را درک و ارائه می کنیم. در این میان نیز نگاهی گذرا به گروههای لی داریم. توجه داشته باشیم که رابطه بین گروه لی وخمینه های مختلط منحصر به دامنه و خمینه های مختلط نیست بلکه به فضاهای مختلط نیز توسعه می یابد هر چند که ما وارد بحث آن نخواهیم شد.

هدف اصلی در این پایان نامه بررسی شیوه های اختلال برای نگاشت های غیرانبساطی می باشد. یک الگوریتم تکراری شامل نگاشت های ناهموار در فضای باناخ توسط لپز، مارتین وخو در سال 2009 منتشر شد، که ثابت شده این الگوریتم به طورقوی همگرا به یک نقطه ثابت از نگاشت اولیه می باشد. کاربرد این تکنیک ها در حل مسئله ی امکان پذیری شکاف، مسئله ی امکان پذیری شکاف مجموعه های چندتایی و صفر عملگرهای افزایشی می باشد.

استیفن سمیل در سال 1981 میلادی طی مقاله ای یک نامساوی که ارتباطی بین ریشه های یک چند جمله ای مختلط درجهn با نقاط بحرانی بود، ارائه داد. این نامساوی در سال 1989 توسط تیشلر برای درجه کمتر مساوی 4به اثبات رسید و در طول سالها روی آن برای حالات خاص چندجمله ایها کار شد. ثابتی که سمیل در نامساوی مذکور حدس زده بود در حالت کلی به دست نیامد اما در مقالات مختلف توسط افرادی چون ادوارد کرین، سوگاوا، قاضی الرحمان و ...تقلیل داده شد و تاکنون این حدس به طور کامل به اثبات نرسیده است.

چکیده فرض کنیم p یک چندجمله ای یک متغیّره با ضرایب مختلط باشد‎.‎ می گوییم ‎p یک چندجمله ای سندوف است‎،‎ هرگاه تکین بوده و ریشه های آن در قرص یکه بسته قرار داشته باشند‎.‎ پنداره ی سندوف می گوید‎:‎ اگر ‎$a$‎ یک ریشه ی دلخواه یک چندجمله ای سندوف ‎ باشد‎،‎ آنگاه قرص ‎شامل دست کم یک نقطه ی بحرانی p است‎.‎ ‎ جولیوس بورچیا پس از آن که نشان داد‎،‎ ادعای اثبات پنداره ی سندوف توسط ‎گرالد شمیدر نادرست است‎،‎ به مطالعه ی وسیعی در زمینه ی چندجمله ای ها پرداخت‎.‎ از مقاله های مهم او «‎چندجمله ای های ماکزیمال و بسط ناپذیر و هندسه ی طیف عملگرهای نرمال»‎ که در ‎arxiv:math‎ و دیگر با عنوان «‎چندجمله ای های ماکزیمال و بسط ناپذیر خطی‎» در ‎scand. math.‎ چاپ شده است‎.‎ در این پایان نامه‎،‎ این دو مقاله ی بورچیا را باز و تشریح نموده ایم‎.‎ اگر ‎ مجموعه ی تمام چندجمله ای های سندوف از درجه ‎ ‎ باشد‎،‎ که یک ریشه ی آن ها صفر است‎،‎ و ‎ ‎ فاصله ی مبدأ از نقاط بحرانی p‎ باشد‎،‎ آنگاه چندجمله ای p را صفر-ماکسیمال گویند هرگاه برای هر ‎ داشته باشیم ‎ .‎ بورچیا با استفاده از روش وردشی مرتبه دوم نشان داد‎،‎ که هر چندجمله ای بسط ناپذیر لزوما‎ً‎ ماکزیمال موضعی برای حدس سندوف نیست‎،‎ و ضعف کار شمیدر را نشان داد؛ زیرا‎،‎ او فقط از روش وردشی مرتبه ‎1‎ استفاده کرده بود‎.‎ نهایتا‎ً‎ بورچیا بررسی هندسه چندجمله ای ها را به بررسی طیف عملگرهای خطی و دیفرانسیل گر آنها تحویل نمود‎،‎ هم چنین با بیان قضیه ی گاوس-لوکا برای عملگرهای نرمال‎،‎ ارتباط بین طیف عملگرهای نرمال و نقاط بحرانی را مورد بررسی قرار داده است‎.‎ این قسمت را نیز شرح داده شده ایم‎.‎

فرض کنیم ‎a‎ و‎a‎ به ترتیب نشانگر مجموعه ریشه های چندجمله ای‎p ‎ومجموعه ریشه های مشتق آن‎ p‎باشد. قضیه کلاسیک گوس-لوکا ‎بیان می کند‎: ‎پوش محدب ‎ a‎دربرگیرنده‎ a‎است‎. ارتباط بین دو مجموعه ‎a‎و‎ a‎موضوع تحقیقات دوقرن اخیربوده واین تحقیقات تاکنون نیزادامه دارد. اگر‎¯( d)(0‎,‎1)‎قرص یکه بسته با مرکزصفروشعاع واحدباشد، حدس سندوف(نام دیگرآن حدس ایلیف) بیان می کند هرگاه‎a?¯d(0‎,‎1)‎، آنگاه برای هر‎a?a‎ قرص بسته بامرکز‎a‎ وشعاع واحد محتوی حداقل یک نقطه بحرانی‎a?a‎است. ما در این زمینه مقالاتی راکه اخیراًمنتشرشده مطالعه نموده ونتایج آنهارادراین پایان نامه آورده ایم. ازجمله کارهای برون ‎،فلپس ورودریگز ،‎شمایسر ‎،بورچیا وکارهای دیگران. حدس سندوف درحالت عمومی بازاست امادرحالات مخصوصی ثابت شده است که این اثبات ها را ارائه می نماییم.

حدس سندوف در باره ارتباط بین مکان ریشه های یک چندجمله ای و نقاط بحرانی آن در سال 1959 توسط blagvest sendov ریاضیدان بلغاری مطرح شد. در این پایان نامه ما روند تاریخی حدس سندوف و اثبات های آن برای درجات مختلف چندجمله ای ها را بررسی کرده ایم.

موضوع این رساله که زیرهمسازی و چند زیرهمسازی توابع محدب ژئودزیک روی خمینه های ریمانی و کیلری می باشد. شرح مقاله ای از گرین و وو در همین موضوع است که هدف نهایی آن اثبات دو قضیه راجع به زیرهمسازی توابع محدب ژئودزیک روی خمینه های ریمانی و چند زیرهمسازی توابع محدب ژئودزیک روی خمینه های کیلری است . شرح بیشتر این مطالب در متن رساله خواهد آمد.

این رساله در سه فصل تحت عناوین مجموعه های محدب و شبه محدب ، مجموعه ها-m محدب خطی و محدب خطی ، محدب خطی ضعیف و ارتباط آن با محدب خطی و شبه محدب تنظیم شده است .

در این پایان نامه دو مقاله ارائه می شود یکی از آنها به فراگیری دامنه ها می پردازد که نوشته برومافریدمان است و در مجله پروسیدینگ انجمن ریاضی امریکا به سال 1986 منتشر گردیده است و دیگری نوشته برومافریدمان و اوژنی پولتسکی است که در مجله ماتماتیشه آنالن به سال 1994 منتشر شده است . مقاله اول به ساختن دامنه فراگیر می پردازد. که در پایان نامه آقای احمد زیره نیز ارائه شده است و مقاله دوم با استفاده از دامنه فراگیری به بررسی تقارن یک دامنه دلخواه در cn و نیم پیوستگی گروه خودریختیهای مختلط می پردازد که در این پایان نامه مورد بررسی قرار می گیرد. بررسی موضوع اشاره به موضوعهای مختلف از قبیل گروههای لی، خمینه های ریمان، متریک کوبایاشی، خمینه های هذلولوی، درجه توابع و اندازه روی خمینه ها دارد که در فصل کلیات گنجانده شده است . سه فصل دیگر پایان نامه وارد موضوع اصلی می شود و قضایای اساسی را در بر دارد. خواننده ای می تواند از پایان نامه استفاده کند که با مقدمات آنالیز مختلط و هندسه آشنایی داشته باشد.

این پایان نامه در هفت فصل تنظیم شده است: فصل اول ، کلیات. فصل دوم ، نقاط ثابت و خاصیت تمرکز. فصل سوم ، میانگین پذیری ، خاصیت تمرکز و سوال میلمن. فصل چهارم، میانگین پذیری گروههای گسسته. فصل پنجم، نتیجه های دینامیکی. فصل ششم، بررسی خاصیت تمرکز گروه ‏‎s(x)‎‏. فصل هفتم، میانگین پذیری به مفهوم بکا.