در این پایان نامه به مطالعه ی گراف های با تعداد کم مقدار ویژه ی متمایز، نسبت به سه ماتریس مجاورت، لاپلاسین و لاپلاسین فاقد علامت می پردازیم. مطالعه ی گراف ها با تعداد کم مقدار ویژه ی متمایز، نسبت به ماتریس مجاورت، اولین بار توسط دوب در سال 1970 مورد توجه قرار گرفت. اولین بررسی ها در مورد گراف های با تعداد کم مقدار ویژه ی متمایز، نسبت به ماتریس لاپلاسین، توسط ون دام و همرز در سال 1995 انجا م گرفت و این کار در مورد لاپلاسین فاقد علامت برای اولین بار در این پایان نامه مورد توجه قرار خواهد گرفت. گراف ها با یک و دو مقدار ویژه ی متمایز نسبت به این سه ماتریس ، به ترتیب گراف های تهی و گراف های کامل می باشند. دو خانواده ی شناخته شده از گراف ها با سه مقدار ویژه ی متمایز نسبت به ماتریس مجاورت، گراف های قویاًً منظم و دوبخشی کامل هستند. رده بندی گراف های غیر منظم و غیر دوبخشی کامل با سه مقدار ویژه ی متمایز نسبت به ماتریس مجاورت، اولین بار توسط همرز مطرح شد. گراف های قویاًً منظم، خانواده ا ی از گراف ها با سه مقدار ویژه ی متمایز نسبت به ماتریس های لاپلاسین و لاپلاسین فاقد علامت نیز می باشند. در این پایان نامه نتایج مهم موجود در مورد گراف های با سه مقدار ویژه ی متمایز، نسبت به مجاورت و لاپلاسین و نتایج جدید به دست آمده در مورد گراف ها ی با سه مقدار ویژه ی متمایز نسبت به ماتریس لاپلاسین فاقد علامت ارایه خواهد شد و در ادامه ی هر بحث سعی می کنیم مطالعه ای روی گراف های با تعداد کم مقدار ویژه ی متمایز و با طیف صحیح نسبت به این ماتریس ها داشته باشیم.

هدف اصلی این پایان نامه مطالعه ی

چکیده ندارد.

در این پایان نامه به مطالعه گسترده رنگ آمیزی ستاره ای گراف ها بر اساس مقاله آلبرتسن و همکاران (2004) می پردازیم. یک رنگ آمیزی معتبر رأسی برای گراف g یک تخصیص از رنگها به رأس های g است به طوری که هیچ دو رأس مجاوری همرنگ نباشند. یک رنگ آمیزی معتبر برای گراف g را یک رنگ آمیزی ستاره ای گوییم هرگاه زیرگراف القایی روی اجتماع هر دو کلاس رنگی یک جنگل ستاره ای باشد. کمترین تعداد رنگ هایی که برای رنگ آمیزی ستاره ای گراف g لازم است را عدد رنگی ستاره ای گراف g می نامیم. رنگ آمیزی ستاره ای گراف ها در سال 1973 توسط گرونباوم معرفی شد. کلمن و مور در سال 1983 دریافتند که مسئله تخمین ماتریس های هسین را می توان به مسئله رنگ آمیزی ستاره ای گراف ها تبدیل کرد. فرتین و همکاران طی دو مقاله در سالهای 2001 و 2002، به مطالعه رنگ آمیزی ستاره ای گراف ها پرداختند و مقادیر دقیق و نیز کران هایی برای عدد رنگی ستاره ای برخی خانواده های معروف گراف ها به دست آوردند. همچنین آنها کران هایی برای عددرنگی ستاره ای یک گراف بر حسب پارامترهای دیگر گراف مثل ماکسیمم درجه و عرض درختی به دست آوردند. در سال 2001، نستریل و اوسانا دمندز به نتایج مهمی در مورد رنگ آمیزی ستاره ای دست یافتند. در سال 2004، آلبرتسن و همکاران با ایده های جدید و به طور گسترده به بررسی رنگ آمیزی ستاره ای گراف ها پرداختند و یک تعمیم از رنگ آمیزی معتبر گراف ها ارائه دادند که رنگ آمیزی ستاره ای را به عنوان حالت خاص در برداشت. وود و پور در سال 2007 کرانی برای عددرنگی ستاره ای حاصل ضرب دکارتی گراف ها به دست آوردند. در سال های 2008 و 2009، کران هایی برای عددرنگی ستاره ای گراف های مسطح به دست آمده است، در حالی که بهترین کران برای عدد رنگی ستاره ای گراف های مسطح هنوز به عنوان یک مسئله باز مطرح است. لیونز در سال 2009 طی چند مقاله نتایجی در مورد عدد رنگی ستاره ای الحاق گراف ها و نیز در مورد عدد رنگی ستاره ای برخی خانواده های خاص از گراف ها و الگوریتم هایی برای تعیین این پارامتر در این گراف ها به دست آورده است. این پایان نامه شامل یک گردآوری از رئوس اصلی نتایج مذکور در بالا است. فصل های این پایان نامه به صورت زیر هستند: در فصل اول با مفاهیم اولیه و تاریخچه مختصری از موضوع آشنا می شویم. در فصل دوم عددرنگی ستاره ای برخی خانواده های خاص و معروف از گراف ها را مشاهده می کنیم. در فصل سوم کران هایی برای عددرنگی ستاره ای یک گراف برحسب پارامترهای دیگر آن را مطالعه می کنیم. در فصل چهار کران هایی که تاکنون برای عددرنگی ستاره ای گراف های مسطح به دست آمده است را مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل پنجم یک کران برای عددرنگی ستاره ای حاصل ضرب دکارتی گراف ها و نتیجه ای در مورد رنگ آمیزی ستاره ای الحاق گراف ها را مشاهده می کنیم. در فصل ششم با یک کاربرد از رنگ آمیزی ستاره ای گراف ها آشنا می شویم و مسئله k-رنگ پذیری ستاره ای گراف ها را مورد بررسی قرار می دهیم.

یکی از مباحث مهم در نظریه گراف، رنگ آمیزی است. رنگ آمیزی راًسی برای یک گراف، تابعی است که به هر راًس گراف یک عدد صحیح نامنفی اختصاص می دهد. در این پایان نامه، نوعی از رنگ آمیزی راًسی به نام رنگ آمیزی هامیلتونی را برای گراف های همبند مورد مطالعه قرار می دهیم. در تعریف این رنگ آمیزی، طولانی ترین مسیر میان هر دو راًس دلخواه در گراف مورد توجه قرار می گیرد. پارامتر مهم این رنگ آمیزی، عدد رنگی هامیلتونی است که مقدار آن برای دسته ای از گراف ها به نام گراف های همبند هامیلتونی برابر یک است. بر این اساس، برخی از گراف های همبند هامیلتونی با ویژگی های خاص را نیز معرفی می کنیم.

فرض کنیم (g=(v,eیک گراف ساده با مجموعه رئوس (v(gو مجموعه یال های (e(gباشد. vرارأسی دلخواه در gدر نظر میگیریم که واقع بر یال eباشد. زوج (v,e)را یک وقوع در گراف می نامیم. مجموعه ی همه ی وقوع ها در گراف را با(i(g نمایش می دهیم. دو وقوع مجزای (v,e) و (w,f)را در گراف مجاور گوییم هرگاه یکی از حالات زیر رخ دهد: الف) v=w: ب)e=f: ج)یال vw برابر با e یا f باشد. رنگ آمیزی وقوع در گراف را نگاشتی از مجموعه ی (i(gبه مجموعه رنگی sتعریف می نماییم به طوری که هر دو وقوع دلخواه مجاور رنگهای متفاوت دریافت نمایند. اندازه ی کوچک ترین مجموعه ی sموجود به طوری که چنین رنگ آمیزی ای برای گراف موجود باشد را به عنوان عدد رنگی وقوع گراف می شناسیم. مفهوم رنگ آمیزی وقوع اولین بار توسط بروالدی و ماسی در سال 1993 معرفی شد. در مقاله ی مربوطه مولفین حدس زدند که هر گراف دلخواه حداکثر با delta+2رنگ قابل رنگ آمیزی است. با رویکرد نسبت به اثبات این حدس مفهوم رنگ آمیزی وقوع گسترش یافت و طی سالیان اخیر مورد توجه محققین قرار گرفته است. در این پایان نامه پس از معرفی رنگآمیزی وقوع و ارتباطات این نوع رنگ آمیزی با سایر مفاهیم در نظریه گراف، به دستاوردهای موضوع از بدو معرفی آن تا کنون خواهیم پرداخت.

رنگ آمیزی یکی از زمینه های مهم در نظریه گراف است. رنگ آمیزی های متعددی برای گراف ها وجود دارد، به عنوان مثال می توان به رنگ آمیزی های رأسی، یالی و کلی اشاره نمود. در سال 2002، هاکمن و دیگران مفهوم [r,s,t]- رنگ آمیزی را معرفی کردند. گراف (g=(v,e با مجموعه رأس های g و مجموعه یال های e و اعداد صحیح نامنفی r,s,t را در نظر بگیرید. یک [r,s,t]- رنگ آمیزی با k رنگ یک نگاشت مانند c از (v(g)?e(g به مجموعه رنگ های {0و1و...k-1} به طوری که برای هر دو رأس مجاورv_i,v_j |c(v_i )-c(v_j)|?r و برای هر دو یال مجاور e_i و c(e_i )-c(e_j)|?s و برای رأس v_i و یال واقع بر آن c(v_i )-c(e_j)|?t [r,s,t]_عدد رنگی گراف) مینیمم kای است که g یک [r,s,t]-رنگ آمیزی با k رنگ داشته باشد.بنابراین [r,s,t]- رنگ آمیزی تعمیمی از رنگ آمیزی های رأسی یالی و کلی است. در این پایان نامه مفهوم [r,s,t]- رنگ آمیزی را بررسی می کنیم . در فصل اول تعاریف مورد نیاز در این پایان نامه و همچنین تاریخچه ی [r,s,t]-رنگ آمیزی را بیان می کنیم. در فصل دوم کران های کلی (g) ?،??_(r,s,t) و همچنین مقادیر دقیق آن در حالت min{r,s,t}=0 یا اینکه g گراف کامل باشد به دست آمده است. در فصل سوم به ازای هر مقدار مثبت r,s,t مقدار دقیق و در یک حالت کران (g) ?،??_(r,s,t) برای گراف های ستاره ای به دست آمده است. در فصل چهارم خواص o(r,s,t,k)={g: ?_(r,s,t) (g)?k} را به ازای k=1,2,3و همچنین در حالت k?3و max{r,s,t}=1 بررسی می کنیم.

رنگ آمیزی گراف ها یکی از مباحث اصلی در نظریه گراف است که هم از دیدگاه نظری و هم از دیدگاه کاربردی همواره مورد توجه بوده است. یک تخصیص رنگ به رأس های گرافg را یک رنگ آمیزی معتبر از گراف g گوییم هرگاه رأس های مجاور رنگ های متمایزی دریافت کنند. به کمترین عدد صحیح k به طوری که g یک رنگ آمیزی معتبر داشته باشد عدد رنگی گراف می گوییم و با نماد(?(g نشان می دهیم. رنگ آمیزی لیستی یا انتخاب پذیری به عنوان تعمیم رنگ آمیزی معمولی در دهه ی 1970 توسط ویزینگ و به طور مستقل توسط اردوش رابین و تیلور مطرح گردید. گراف g را k-انتخاب پذیر گوییم هرگاه برای هر تخصییص مجموعه های s(v)?z به رأس های گراف g, رنگ آمیزی معتبر c:v?z وجود داشته باشد به طوری که برای هر(v?v, c(v)?s(v و c(u)?c(v هرگاه uv?e. به کمترین عدد صحیح k به طوری که k g-انتخاب پذیر باشد, عدد انتخاب گراف g می گوییم و با نمادx_l(g) نشان می دهیم. به راحتی می توان نشان داد ?_l (g)? ?(g . گراف های زیادی وجود دارند که نامساوی فوق برای آن ها به صورت اکید است. اما حدس جالب توجه این است که اگر g یک گراف یالی باشد, نامساوی هرگز رخ نمی دهد. حدس برابری عدد رنگی و عدد انتخاب هر گراف یالی که به حدس رنگ آمیزی لیستی یا lcc مشهور است, برای اولین بار در سال 1985 در مقاله ی بالاباش و هریس به چاپ رسید. در این پایان نامه تمامی نتایج به دست آمده برای این حدس به طور مفصل مورد بررسی قرار می گیرد.

چکیده اکنون درسراسر جهان صنعت الکتریسیته در حال حرکت به سمت بازارهای رقابتی و فرایند تجدید ساختار است . تجدید ساختار در صنعت برق منجر به افزایش بهرهوری، جذب و مشارکت سرمایهگذاری خصوصی وکاهش تصدیگری دولت میشود، در کنار این مسائل رسیدن به سطح پایین قیمت، ارائه خدمات بهتر به مصرفکننده و افزایش رفاه اجتماعی نیز حاصل میشود. صنعت برق در ایران نیز در حال گذر ازیک ساختار انحصار به یک ساختار جدید میباشد که در این ساختار جدید تولیدکنندگان برای فروش انرژی به رقابت با یکدیگر میپردازند. با تجدید ساختار در صنعت برق و ایجاد بازارهای رقابتی در این صنعت و با در نظر گرفتن این مسئله که تولیدکنندگان محدودی در این صنعت فعالیت دارند، بازار برق به یک بازار انحصار چندبنگاهی تبدیل میشود. در این بازار چندبنگاهی تولیدکنندگان باید تابع پیشنهادی خود برای مقادیر تولید و قیمت متناظر با این مقادیر را در حراج پرداخت بر مبنای پیشنهاد به مدیر بازار ارائه دهند. در این پژوهش چگونگی پیشنهادات بهینه در حراج پرداخت بر مبنای پیشنهاد در صنعت برق مورد بررسی قرار میگیرد. برای رسیدن به این مقصود از نظریه بازیها مدد گرفته شدهاست. بازاری با دو تولیدکننده در شرایط متقارن در نظر گرفته می- شود. هر تولیدکننده قصد دارد استراتژی را ارائه کند که پیامدش را حداکثر نماید. استراتژی تولیدکنندگان همان تابع عرضه در حراج پرداخت مبتنی بر پیشنهاد و پیامدشان سود مورد انتظار بنگاههاست. بنابراین تولیدکنندگان طوری تابع عرضه را پیشنهاد میدهند که سود مورد انتظارشان حداکثر شود و نیز توابع عرضه پیشنهادی در حالت تعادل باشد. برای بازار matlab در پایان تعادل تابع عرضه در حراج پرداخت مبتنی بر پیشنهاد استخراج شده، با استفاده از برنامه برق اصفهان اجرا میشود. با استفاده از تعادل تابع عرضه در حراج پرداخت مبتنی بر پیشنهاد و اجرای آن برای بازار برق اصفهان نتیجه میشود که توابع عرضه پیشنهادی در بازار برق اصفهان بهینه نیست.

چکیده: این پایان نامه اولین مطالعه ی نظریه اثباتی و نظریه مدلی از ترکیب منطق های با زمان محدود و منطق های ساختی است. ابتدا به منظور فراهم کردن یک پایه نظری مفید برای استدلال های زمانی که دارای خاصیت ساختی و فراسازگارند، دو منطق ib[l] و pb[l] معرفی می شود. این منطق ها دو مدل محدود و ساختی از ltl و توسیع هایی از منطق شهودی یا منطق فراسازگار نلسون هستند که تحت عنوان حساب های رشته ای گنتسنی b[l] و pb[l] معرفی می شوند. در این منطق ها با وجود محدودیت دامنه ی زمان همه ی اصول موضوعه ی زمانی مانند اصل استقرای زمان نتیجه می شوند. با استفاده از اِین سیستم ها قواعد جانشانی مناسبی به ترتیب درون منطق های شهودی و فراسازگار نلسون تعریف می شود و از این قواعد برای اثبات قضایای حذف برش، تصمیم پذیری، سلامت و تمامیت ib[l] و pb[l] استفاده می شود. سپس به معرفی سیستم های استنتاج طبیعی nib[l] و npb[l] و بیان قضیه ی نرمال-سازی برای آن ها پرداخته می شود. در پایان حساب های رشته ای?ib[l] و ?pb[l] معرفی می شود و قضایای حذف برش، سلامت و تمامیت برای آن ها بیان می شود. رده بندی موضوعی: (44b03) 53b03. کلمات کلیدی: منطق زمانی، ساختی، فراسازگار، استنتاج طبیعی، سلامت، تمامیت، نرمال سازی و حذف برش.

فرض کنید??????…???? ابرگراف های ? یکنواخت باشند. عدد رمزی ????????…???? کوچکترین عدد صحیح و مثبت ? تعریف می شود. به طوری که هر ? رنگ آمیزی از ابریال های ابرگراف کامل ? یکنواخت با رنگ های ????…?? ،به ازای?یک ? ، شامل کپی تک رنگ ?? با رنگ ? باشد. محاسبه ی این اعداد رمزی در حالت کلی بسیار مشکل است. حتی در حالتی که ?? ها گراف باشند محاسبه ی این اعداد ساده نیست و حدسهای بسیاری در این زمینه وجود دارد. در این رساله بر آن هستیم تا برخی از این اعداد رمزی را در حالتیکه ?? گراف یا ابرگراف خاصی هستند، محاسبه کنیم. به عنوان مثال، این اعداد رمزی را در حالتیکه??? مسیر یا دورهای خاصی باشند، محاسبه خواهیم کرد. به علاوه، نتایجی را نیز درحالتیکه???? ابرمسیر یا ابردورهای خاصی هستند، بدست خواهیم آورد.

یک رنگ آمیزی رأسی مجاز برای گراف دلخواه ‎$g$‎ اختصاص رنگ به رئوس گراف است به‏ طوری که رئوس مجاور رنگ های متفاوت دریافت نمایند. به دلیل جذابیت های کاربردی و تحقیقاتی این مفهوم، تاکنون تعمیم های گوناگونی از رنگ آمیزی رأسی تعریف شده و مورد بررسی قرار گرفته است. در این پایان نامه یکی از این تعمیم ها به نام مفهوم رأس-رنگ آمیزی یال-وز‏ن دهی یک گراف را مورد بررسی قرار می دهیم. فرض کنید ‎$g$‎ یک گراف متناهی، غیرجهت دار و ساده با مجموعه رئوس ‎$v(g)$‎ و مجموعه یال های ‎$e(g)$‎ است. یک ‎$k$-‎یال-وزن دهی مانند ‎$w$‎ از گراف ‎$g$‎ را به عنوان یک تخصیص از وزن های صحیح ‎$‎w(e)in{{mbox 1},{mbox 2},ldots,k}$‎ به تمام یال های ‎$g$‎ درنظر می گیریم. به طور طبیعی هر یال-وزن دهی ‎$w$‎ یک رنگ آمیزی رأسی ‎$c$‎ القا می کند که برای هر رأس ‎$v$‎ به صورت ‎$c(v)=sum_{esim v} w(e)$‎ تعریف می شود. یک ‎$k$-‎یال-وزن دهی از گراف ‎$g$‎ یک رأس-رنگ آمیزی نامیده می شود، اگر رنگ آمیزی رأسی القایی ‎$c$‎ مجاز باشد، یعنی برای هر ‎$uvin e(g)$‎، ‎ $c(u) eq c(v)$‎. به چنین رنگ آمیزی یک رأس-رنگ آمیزی ‎$k$-‎یال-وزن دهی گفته می شود. هدف این پایان نامه مطالعه مفهوم رأس-رنگ آمیزی یال-وزن دهی و نتایج مربوط به این مفهوم است. به ویژه روند بهبود نتایج در تلاش برای اثبات این حدس و نتایج حاصل از آن را مورد بررسی قرار خواهیم داد. بدین منظور ضمن جمع آوری کلیه نتایج به دست آمده و روشهای مشابه رنگ آمیزی، تعمیم این نوع رنگ آمیزی و بهبود نتایج مورد توجه می باشد.‎ در این فصل به معرفی و دسته بندی رنگ آمیزی های مشابه و بعضاً مرتبط پرداختیم و در هر مورد نتایجی را که تا به امروز به دست آمده است‏، اجمالاً بیان کردیم. محور اصلی این پایان نامه حدس ‎$‎3‎$-‎$2$-‎$1$‎ ‏و‎‎‎ بررسی وزن دهی یالی نظیر آن است. لذا تعیین مقدار پارامتر ‎$‎mu‎$‎‏‏‏ و نشان دادن درستی حدس برای خانواده های معروف از گراف ها و نیز بیان شرایط کافی برای اطمینان از برقراری حدس مدنظر می باشد. ‏در‎‎ این مسیر مسأله یافتن گراف هایی با ‎$‎mu(g)leq2‎$‎ اهمیت پیدا می کند که در فصل سوم به تفصیل به آن خواهیم پرداخت. هم چنین در این فصل در مورد دسته بندی گراف های دوبخشی بر اساس پارامتر ‎$‎mu‎$‎‏ بحث خواهیم نمود. در آخرین فصل از این نوشتار‏،‎ مسأله ‎‎‏یافتن یک یال-وزن دهی برای گراف ‎$‎g‎$‎‏ با استفاده از دو عدد حقیقی را بررسی می کنیم. هم چنین‎ ‏نتایج‎ جدید مستخرج از این پایان نامه تحت قالب مقاله ای در دسترس قرار گرفته است cite{ourpaper}‎.

یک گراف قویاً منظم با پارامترهای ( v, k, ?, µ ) که باsrg-( v; k; ?; µ) نمایش داده می شود، گرافی k-منظم از مرتبه ی v است، به طوری که هر دو رأس مجاور آن ? همسایه مشترک و هر دو رأس غیر مجاور آن µ همسایه مشترک دارند. گراف های قویاً منظم یکی از مهم ترین و جالب ترین خانواده از گراف های منظم هستند که ارتباط زیادی با دیگر ساختارهای ترکیبیاتی مانند آرایه های متعامد، مربع های لاتین و طرح ها دارند به طوری که بسیاری از گراف های قویاً منظم را می توان از این ساختارها به_دست آورد. سه تعمیم مهم گراف های قویاً منظم، گراف های دزا، ( ?, µ )-گراف ها و گراف های تقسیم پذیر طرحی هستند که در این پایان نامه به بررسی نتایج به دست آمده در مورد این گراف ها می پردازیم. ( ?, µ)-گراف های نامنظم به طور کامل مشخصه_سازی می_شوند. هم_چنین برای ساخت گراف_های دزا و گراف_های تقسیم پذیر طرحی، روش_هایی ارائه و در چند حالت خاص این گراف ها نیز رده_بندی می_شوند.

-شودرا سدح هب هک م?نک?م حرطم فارگ ?طارفا یه?رظن هب عجار یاهلأسم ،هماننا?اپ ن?ا رد یهزادنا اب n یهبترم زا g فارگ ره ،دنداد ناشن ???? لاس رد ی?اگ و شودرا .تسا فورعم شش یارب یاهز?گنا ،هج?تن ن?ا .تسا فارگر?ز ک? ناونع هب k لوط هب ر?سم ک? لماش e(g) > n(k??) .دننک نا?ب ار ر?ز سدح ???? لاس رد ات دش شش و شودرا تخرد ره لماش g هاگنآ ،دشاب e(g) > n(k??) یهزادنا اب n یهبترم زا ?فارگ g رگ ا :شش-شودرا سدح .تسا فارگر?ز ک? ناونع هب t ?لا? k یور ن?نچمه و g فارگ یور ??اهطرش نتشاذگ اب نآ زا ?صاخ ت?اح ?لو ،تسا زاب زونه سدح ن?ا .تسا هد?سر تابثا هب t تخرد .تسا ر?ز دروم ود هلمج زا فلتخم ت?اح رد شش-شودرا سدح ?سررب ،هماننا?اپ ن?ا رد ام فده .تسا ? رثک ادح رطق یاراد t تخرد • .تسا k?,s فارگر?ز دقاف g فارگ •

و g? فارگ ود یارب .تساهفارگ یزمر دادعا هعلاطم ،فارگ ه?رظن رد مهم تاعوضوم زا ?ک? لماش g فارگ ،n یهبترم زا g فارگ ره یارب هک تسا یاn ن?رتکچوک ،r(g?, g?) یزمر ددع g? ی هبترم زا لماک فارگ ار kn و m لوط هب یرود ار cm .دشاب g? لماش ،g لمکم ،g¯ ا? و g? فارگ .تسا r(cm , kn ) یزمر ددع یهعلاطم همان نا?اپ ن?ا ?لصا یهلأسم ،م?ر?گ?م رظن رد n .r(cm , kn ) ? (m ? ?)(n ? ?) + ? ن?اربانب تسا kn دقاف g¯ و cm رود دقاف g = (n ? ?)km?? ق?قد یهبساحم درومرد .تسا r(cm, kn) یارب ?اب نارک نتفا? رظن دروم هلأسم رتلکشم شخب r(cm , kn ) = (m ? ?)(n ? ?) + ? سدح 1978 لاس رد شناراکمه و شودرا r(cm , kn ) رادقم تباث ? ? n ? ? یارب سدح ن?ا نونک ات .دندرک حرطم (m, n) = (?, ?) و m ? n ? ? یارب ار .تسا زاب زونه هلأسم ن?ا m و n ر?داقم رگ?د یارب ?لو ،هدش هو?عهب .تسا ? ? n ? ? یارب شناراکمهو شودرا سدح ?تسرد یهعلاطم هماننا?اپ ن?ا فده ن?نچمه .تسا هتفرگ رارق هعلاطم دروم درف یاهm یارب r(cm , kn) دروم رد هدمآ تسد هب یهج?تن

منظور از پوشش یک گراف ساده یک خانواده از زیرگراف های یک گراف است به طوری که هر یال گراف حداقل توسط یکی از زیرگراف ها پوشانده شوند. اگر این خانواده خانواده زیرگراف های دوبخشی کامل باشد این پوشش، پوشش دوخوشه ای نامیده می شود. اگر زیر گراف های پوشش دهنده یال مجزا باشند یعنی هر یال دقیقاً توسط یکی از زیر گراف ها پوشانده شود آن گاه پوشش یک افراز دوخوشه ای نامیده می شود. یکی از مفاهیم مورد توجه در نظریه گراف پوشش یالی یک گراف با خانواده های مختلفی از گراف ها مانند گراف های کامل، گراف های کامل چندبخشیف گراف های کامل دوبخشی، مسیرها، دورها و انواع مختلف دیگری از گراف ها است. کم ترین تعداد زیرگراف کامل دوبخشی برای پوشش یال های یک گراف عدد پوشش دوخوشه ای نام دارد در این پایان نامه به مطالعه پوشش دوخوشه ای گراف ها پرداخته شده است.

فرض کنید ‎$c$‎‏ یک ‎$k$-‎رنگ آمیزی معتبر از گراف همبند ‎$g$‎‏ با کلاس های رنگی ‏ ‎$v_1$‎‏‏، ‎$v_2$‎‏‏، ‎$ldots$‎‏‏، ‎$v_k$‎ باشد.‏ ‎$pi:=(v_1,v_2,...,v_k)$‎ را افراز مرتب حاصل از این رنگ آمیزی در نظر بگیرید.‎ کد رنگی رأس ‎$vin v(g)$‎‏‏ یک ‎$k$‎‏-تائی مرتب است که به صورت زیر تعریف می شود vspace*{3mm}‎‎ $$‎c_{{}_pi}(v)‎:=(d(v,v_1),d(v,v_2),ldots,d(v,v_k)).$$‎‏ اگر رئوس متمایز ‎$g$‎‏ کدهای رنگی متمایز داشته باشند‏، آن گاه ‎$c$‎‏ یک ‎‎‏ ‎$k‎$‎‎-رنگ آمیزی مکان یاب‎‏ ‎ نامیده می شود. کوچک ترین عدد صحیح ‎$k$‎‏ با این خاصیت را ‏ عدد رنگی مکان یاب‏‏ ‎‎$‎g‎$‎، ‎‎‎$‎cchi_{{}_l}(g)‎$‎‎‏‏،‎‎‎‎ می نامند. در این رساله ‎‏ عدد رنگی مکان یاب ‏ را برای گراف های کنسر‏، حاصل ضرب دکارتی‏ گراف ها، و الحاق گراف ها مورد مطالعه و بررسی ‏ قرار می دهیم. ‎ ابتدا‏ ثابت می کنیم که برای هر ‎‎$‎ngeq5‎$‎ مقدار دقیق عدد رنگی مکان یاب ‎$kg(n,2)$‎ برابر ‎$n-1$‎ است. ‏ در حالت ‎$kgeq 3$‎‏ نشان می دهیم که اگر ‎$ngeq k^2$‎‏، آن گاه عدد رنگی مکان یاب ‎‎$‎kg(n,k)‎$‎‏ حداکثر ‎$n-1$‎ است. ‎‏‏سپس‏، با ارائه کران هایی برای عدد رنگی مکان یاب گراف های فرد‏، نشان می دهیم که فاصله ی بین عدد رنگی و عدد رنگی مکان یاب گراف های فرد را به هر میزان دل خواهی می توان بزرگ کرد. هم چنین‏، عدد رنگی مکان یاب حاصل ضرب دکارتی دو مسیر‏ و حاصل ضرب دکارتی یک مسیر با یک گراف کامل را به طور دقیق محاسبه می کنیم. عدد رنگی مکان یاب حاصل ضرب دکارتی دو گراف کامل را نیز در برخی از حالت ها مشخص‏، و برای بقیه ی حالت ها حدس هایی ارائه می کنیم. برای بررسی عدد رنگی مکان یاب الحاق گراف ها‏، یک پارامتر جدید تعریف می کنیم که ارتباط بسیار نزدیکی با عدد رنگی مکان یاب دارد. سپس‏، با استفاده از این پارامتر جدید‏ مقدار دقیق عدد رنگی مکان یاب الحاق مسیرها‏، دورها‏، و گراف های چندبخشی کامل را به دست می آوریم.‏

زیست شناسی مولکولی علمی است که شناختی از طبیعت همه موجودات زنده در سطح مولکول برای ما فراهم می کند، امروزه پیشرفت های زیادی در این زمینه ایجادشده است که بدون ارتباط با علوم دیگر، از جمله ریاضیات، هرگز ممکن نبوده است. به منظور استخراج کارآمد اطلاعات در این زمینه نیاز است که ابزارهای ریاضی توسعه یابند، اصول نظریه گراف که معمولاً در زمینه های مهندسی الکترونیک و شبکه های کامپیوتری کاربرد فراوان دارد، امروزه در تحقیقات، درباره ی انواع ساختارهای بیولوژیکی مورد استفاده قرار گرفته است. به منظور مطالعه کاربردهای نظریه گراف در زیست شناسی مولکولی، هم‏ چنین تأثیر متقابل زیست شناسی مولکولی در گراف، این پایان نامه، در دو قسمت اصلی گردآوری شده است. ابتدا به کاربردهای ابزار گراف در مباحثی هم چون توالی یابی ‎dna‎، یافتنrna ‎‏های جدید‏، مطالعه ساختار و عملکرد پروتئین ها و شبکه های برهم کنش پروتئینی، طراحی و کشف داروهای جدید پرداخته می شود. در قسمت دوم به عنوان کاربردی از زیست شناسی مولکولی در حل مسائل سخت گراف، نانورایانه هایی به نام ‎dna‎ رایانه معرفی می شوند که ممکن است در آینده با توسعه ابزارهای زیست شناسی، مسائل ‎-np‎کامل و غیرقابل حل به وسیله کامپیوترهای سیلیکونی، با به کارگیری این رایانه ها، در زمان چندجمله ای به جواب دست یابند. الگوریتم هایی برای انواع مختلفی از مسائل پیچیده گراف به این روش نیز ارائه می گردد.

بعد متریک گراف ها فرض کنید ‎$g$‎ یک گراف همبند و ‎$w={w_1,w_2,ldots,w_ k}$‎ زیرمجموعه ای مرتب از ‎$v(g)$‎ باشد. برای هر رأس دلخواه ‎$v$‎ از ‎$g$‎ ‎{fgi{g:mrep}}‎ رأس ‎$v$‎ نسبت به ‎$w$‎ عبارت است از بردار ‎$k$-‎تایی ‎vspace*{4mm}‎ ‎$$r(v|w):=(d(v,w_1),d(v,w_2),ldots,d(v,w_k)).$$‎ اگر کدهای متریک رأس های متمایز ‎$g$‎ نسبت به ‎$w$‎ از هم متمایز باشند، ‎$w$‎ یک مجموعه کاشف برای ‎$g$‎ نامیده می شود. هر مجموعه کاشف با کم ترین اندازه برای ‎$g$‎ یک ‎{f gi{g:mbas}‎ } از ‎$g$‎ و اندازه آن بعد متریک ‎$g$‎ نامیده می شود. این مفهوم در سال ‎$1975$‎ توسط اسلاتر معرفی شده و پس از آن در مقاله های بسیاری مورد مطالعه قرار گرفته است. مجموعه های کاشف در زمینه هدایت روبات ها، بازی حافظه برتر، وزن کردن سکه ها، جستجو و رسیدگی در شبکه و داروسازی دارای کاربردهای قابل توجهی است. ‎par‎ در این رساله به مطالعه بعد متریک گراف ها و مسائل باز پیرامون آن پرداخته شده است. بعد متریک حاصل ضرب دکارتی گراف ها در سال ‎$2007$‎ مورد مطالعه قرار گرفته است. در این رساله بعد متریک ‎{f gi{g:lexpro}‎ } گراف ها بررسی و تشریح شده است. گراف های ‎{f gi{g:randy}}‎ گراف هایی هستند که هر زیرمجموعه ‎$k$-‎تایی از رأس های آن ها یک پایه متریک است. در این رساله خواص این خانواده از گراف ها مطالعه و گراف های با این خاصیت رده بندی شده اند. در واقع گراف های تصادفی ‎$k$-‎بعدی بیش ترین تعداد پایه متریک را دارند‎;‎ در نقطه مقابل، گراف های با پایه یکتا هستند که خواص آن ها در این رساله مورد مطالعه قرار گرفته است. در راستای رده بندی گراف های با بعد متریک مشخص، در این رساله گراف های ‎$n$‎ رأسی با بعد متریک ‎$n-3$‎ رده بندی شده اند.

تحقیق حاضر برمسئله زمانبندی لینکها در شبکه های بی سیم متمرکز است. ضمن مرور مقالات مرتبط با مسئله زمان بندی لینک ها، به ‏بررسی پیچیدگی و تأخیر یک الگوریتم زمان بندی با گذردهی بهینه به نام ‏mws (maximum weight scheduling)‎‏ و ‏ارائه راه کارهایی برای رفع چالش های آن در ابعاد مختلف می پردازیم. الگوریتم ‏‎ mwsدر حالت کلی یک الگوریتم ‏‎-np‏ سخت ‏و از نوع الگوریتم های متمرکز است. ابتدا نقش توپولوژی شبکه را برروی پیچیدگی الگوریتم بررسی می کنیم تا شرایط توپولوژیکی ‏لازم و کافی برای کاهش پیچیدگی الگوریتم ‏mws‏ بدست آید. سپس تحت شرایط بدست آمده الگوریتمی متمرکز با پیچیدگی ‏چندجمله ای ارائه می گردد که عملاً ‏mws‏ را به یک مسئله ساده تر به نام‎(maximum weight matching)‎‏ ‏mwm‏ تبدیل ‏می کند. ‏ از آنجا که الگوریتم های زمان بندی برروی تأخیرمتوسط شبکه نیز تأثیرگذار هستند، با تحلیل ریاضی، ارتباطی بین توپولوژی شبکه و ‏تأخیر متوسط بدست میآید تا به کمک آن بتوان اثر اعمال شرایط توپولوژیکی به منظور کاهش پیچیدگی الگوریتم ‏mws‏ را ‏برروی تأخیر متوسط آن نیز بدست آورد.‏ چالش دیگر ‏mws‏ آن است که یک الگوریتم متمرکز به حساب میآید و لذا برای پیادهسازی در شبکه های بیسیمی که ماهیتاً ‏فاقد یک ایستگاه کنترلکننده مرکزی هستند مناسب نیست. درراستای پیاده سازی توزیع شده این الگوریتم به کمک روش های ‏تقریبی، از الگوریتمهای تصادفی استفاده می کنیم. با انجام آنالیزی برروی تأخیر الگوریتمهای تصادفی، کمیتی ازدرون آن ها ‏استخراج می شود که مربوط به نحوه پیاده سازی الگوریتم بوده و می توان تأخیر متوسط را به آن کمیت ارتباط داد. برمبنای این یافته‏ ها بهبودی برروی یک نسخه پیاده سازی شده اعمال میگردد تا تأخیر متوسط آن کاهش یابد. ‏ در کاربردهای عملی لازم میشود که علاوه بر تأخیر متوسط کل شبکه، تأخیر بسته های خاصی نیز قابل کنترل باشد. در این رساله ‏ثابت می شود که در الگوریتمهای تصادفی، چنانچه به بستههای مربوط به کاربردهای خاص، اولویت سرویس داده شود در میزان ‏گذردهی شبکه تغییری ایجاد نخواهد شد. این امر باعث می شود که بتوان تأخیر کلاس خاصی از بسته های حساس به تأخیر را بدون ‏آن که در گذردهی سیستم تأثیری داشته باشد، تحت کنترل در آورد. نتایج شبیه سازیها موید یافته های تئوری این رساله هستند.‏

گسترش شبکه های اطلاع رسانی، افزایش دسترسی مردم به کامپیوتر و جایگزینی روشهای الکترونیکی ارتباط به جای روشهای سنتی، افزایش نیاز به امن سازی اطلاعات و ارتباطات را نیز به دنبال داشته است. رمزهای قالبی از مهمترین ابزارهای رمزنگاری هستند که هدف اولیه از کاربرد آنها محرمانه نمودن داده هاست و از این رو طراحی این رمزها در دهه ی اخیر مورد توجه بیشتری قرار گرفته است. هر رمز قالبی شامل چندین مرتبه تکرار یک تابع به نام تابع دور است که این تابع به طور معمول از اجزایی مانند ترکیب با زیر کلید، لایه ی غیر خطی (sbox) و تبدیل انتشار (diffusion layer) تشکیل شده است. معمولاً لایه غیرخطی به صورت اعمال چند لایه غیر خطی کوچک به طور موازی طراحی می شود و تبدیل انتشار اثر تبدیل های غیر خطی کوچک را در کل قالب انتشار می دهد و ترکیب تبدیل انتشار با تبدیل غیر خطی باعث مقاومت رمز قالبی در مقابل حملات مطرح فعلی از جمله حملات خطی و تفاضلی می شود. در این رساله پس از بررسی تبدیل های انتشار در رمزهای قالبی جدید، تبدیل انتشار جدیدی معرفی می شود که در صورت جایگزینی آن به جای تبدیل انتشار رمز قالبی hierocrypt، سرعت این رمز قالبی در نرم افزار، بدون تغییر ویژگی های امنیتی، حدود دو برابر خواهد شد. همچنین در تبدیل انتشار معرفی شده، ایده ی جدیدی مبتنی بر معکوس پذیری توابع خطی استفاده شده است. در ادامه به عنوان تعمیمی از تبدیل انتشار جدید، دو تبدیل انتشار خودمعکوس و تبدیل انتشار بازگشتی معرفی می شود و با جایگزینی آن در ساختار nspn، سرعت آن با رمز های قالبی موجود مقایسه می شود. در انتها روند طراحی ماتریس های mds خودمعکوس با ابعاد بزرگ مبتنی بر ماتریس های واندرموند ارایه می گردد. در روش ارایه شده علاوه بر طراحی ماتریس های mds خودمعکوس، دسته ای از ماتریس های واندرموند به نام ماتریس های sv معرفی می شود که هم محاسبه ی معکوس آنها از مرتبه ی n2 است و هم ماتریس mds حاصل از این ماتریس ها علاوه بر خودمعکوس بودن، هادامارد نیز می باشد.

در این رساله ابتدا قضیه رمزی کانونیک و سپس نسخه ای از قضیه کاناموری مک آلون از جنبه نظریه مدل مورد مطالعه قرار می گیرد. در هر مورد نشانگرهای جدید و نتایج مستقل از حساب مرتبه اول پئانو به دست می آید. سپس به قضیه مجموعه تین و محاسبه مقدار دقیق عدد رمزی متناظر با آن برای برخی گراف های خاص که مسیرها از جمله آن است پرداخته می شود.

هدف شبکه های نسل جدید فراهم کردن شرایطی است که علاوه بر پوشش کاربردهای موجود، امکان پوشش کاربردهایی که در آینده بوجود می آیند نیز وجود داشته باشد. یکی از نکاتی که می بایست در ارائه مکانیزم های جدید مسیریابی مورد توجه قرار گیرد، پاسخ گویی به چالش های پیش روی شبکه های نسل جدید است. مسیریابی در این شبکه ها باید توزیع ترافیک ورودی را برای مصرف بهینه منابع و یافتن مسیرها مبتنی بر کیفیت مورد نظر کاربران، مهندسی کند. نکته دیگری که در طراحی مکانیزم های مسیریابی از اهمیت به سزایی برخوردار است ، وجود قابلیت پیاده سازی توزیع شده در الگوریتم مسیریابی می باشد. در طول سال های اخیر تحقیقات زیادی برای فراهم کردن کیفیت سرویس و یا مهندسی ترافیک باتوجه به اهداف شبکه از جمله مصرف بهینه منابع انجام شده و نتایج بسیار خوبی حاصل شده است. این رساله نیز به تحقیق در مورد الگوریتم های مسیریابی مناسب برای شبکه های نسل جدید می پردازد. رویکرد این رساله به دست آوردن مکانیزمی برای مسیریابی است که بطور همزمان بهینگی مصرف منابع و کیفیت سرویس ارائه شده به کاربران را مورد توجه قرار دهد.برای رسیدن به چنین مکانیزمی از حل تحلیلی مدل ریاضی مسأله مسریابی استفاده خواهد شد. ویژگی اصلی مدل مورد نظر ما، وجود توأمان شرایط لازم برای حل تحلیلی و قابلیت پیاده سازی الگوریتم حل در انواع شبکه های داده است. بنابراین مسیریابی به صورت یک مسأله بهینه سازی محدب، مقید و مشتق پذیر فرمول بندی و مدل می شود. در این رساله محدود بودن هزینه انتها به انتها به عنوان معیار کیفیت سرویس نشست ها در نظر گرفته می شود. در گام اول با فرض وجود محدودیت بر روی حداکثر هزینه نشست ها، مسأله فرمول بندی می شود. در این حالت نشان می دهیم که مدل ارائه شده با انجام یک تغییر متغیر خطی می تواند مدل کننده مسیریابی در شبکه های مدار مجازی و یا شبکه های دیتاگرام باشد. در گام بعدی با فرض اعمال محدودیت بر روی هزینه متوسط نشست ها فرمول یندی مسأله تغییر داده می شود. برای حل تمامی این مسائل بهینه سازی محدب و مقید، یک روش حل مناسب و کارآمد با هدف رسیدن به یک الگوریتم توزیع شده انتخاب می شود. در این راستا برای حل مسائل بهینه سازی، قیود مناسب انتخاب و دوگان جزئی مسأله نوشته شده و برای حل آن نیز از روش زیر مشتق استفاده می شود. این رساله با ارائه یک فرمول بندی مناسب و انتخاب روش کارآمد مناسب برای حل مسأله نشان می دهد که با پیاده سازی شکل اصلاح شده ای از الگوریتم مسیریابی کمترین تأخیر در کنار یک مکانیزم توزیع شده تبادل اطلاعات می توان مسیرهای بهینه و منطبق با محدودیت کیفیت سرویس را بدست آورد. علاوه بر اثبات تحلیلی همگرایی الگوریتم حل مسأله، با انجام شبیه سازی هم همگرایی الگوریتم های توزیع شده نشان داده می شود. نتایج شبیه سازی نشان دهنده صحت عملکرد این الگوریتم ها در استفاده بهینه از منابع شبکه و تبعیت از محدودیت های مورد نظر کاربران می باشد. بر اساس نتایج شبیه سازی نشان داده می شود که این مکانیزم مسیریابی در اتواع شبکه های سوئیچ بسته قابل پیاده سازی می باشد

نظریه ی رمزی بخشی از گرایش ترکیبیات می باشد. این نظریه برای اولین بار توسط فرانک رمزی ریاضی دان انگلیسی در سال 1930 مطرح گردید. در این نظریه به مطالعه ی وجود ساختارهای مشخص در گراف های با تعداد رئوس بالا پرداخته می شود. عدد رمزی برای گراف عبارت است کوچکترین عدد صحیح مثبتی که بتوان در هر دو رنگ امیزی دلخواه از گراف کاملی با آن تعداد رأس بتوان گراف تک رنگ مد نظر را پیدا کرد.

یک گراف را بدون پنجه گوییم هرگاه دارای رأسی نباشد که دارای سه همسایه ی دو به دو نامجاور باشد. در نگاه اوّل، این طور به نظر می رسد که انواع بسیار زیادی از گراف های بدون پنجه وجود دارد. به عنوان مثال، گراف های یالی، گراف بیست وجهی، مکمل گراف های منشوروار و گراف اشلفلی (یک گراف بسیار متقارن زیبا با ‎??‎‎ رأس) را می توان به عنوان نمونه هایی از گراف های بدون پنجه نام برد. به علاوه، اگر رئوس یک گراف را روی یک دایره مرتّب کنیم، سپس تعدادی بازه روی دایره انتخاب کرده و رئوس داخل بازه ها را به یک دیگر متّصل کنیم؛ گرافی که از این روش به دست می آید، بدون پنجه است. مثال های بسیار زیاد دیگری مانند گراف های گفته شده وجود دارند که به عنوان گراف های بدون پنجه ی ‎«اولیّه»‎ در نظر گرفته می شوند. در واقع، این امکان وجود دارد که بتوان یک قضیه ی ساختاری برای گراف های بدون پنجه ارائه کرد. سیمور و چادنووسکی در یک سری از هفت مقاله ثابت کرده اند که هر گراف بدون پنجه را می توان از یکی از گراف های بدون پنجه ی اولیّه و با استفاده از اعمال گسترشی ساده به دست آورد. در این پایان نامه، گراف های بدون پنجه را بررسی کرده، صورت دقیق قضیه ی رده بندی گراف های بدون پنجه و شمایی از اثبات آن را بیان خواهیم کرد. در آخر سعی می کنیم با استفاده از قضیه ی ساختاری ذکر شده، در مورد عدد رنگی گراف های بدون پنجه، نتایجی را ارائه دهیم.

رنگ آمیزی برداری متعامد گراف ها چکیده فرض کنید f یک میدان ، s ، a ، b و c زیرمجموعه هایی از f ، d یک عدد صحیح مثبت و تابع f (x , y) یک فرم دوخطی ناتبهگون روی باشد ، یک نمایش برداری از گراف ساده g با رأس های , … , عبارت است از لیست بردارهای , … , متعلق به به طوری که بردار به رأس تخصیص داده شود ، مولفه های هر بردار در s قرار گیرد ، برای هر i و j ،a f ( , ) ، اگر با در g مجاور باشد ، آن گاهb f ( , ) و اگر با در g نامجاور باشد ، آن گاهc f ( , ) . این تعریف در سال ???? توسط پارسنز و پیسانسکی ارائه شد . سپس در سال ???? جرالد هاینس و همکارانش با اختیار مجموعه های a = (0 , ?) ، b = { 0 } ، f = c = s و f به عنوان تابع دو خطی ضرب داخلی ، یک نوع خاص از نمایش برداری را برای گراف g در نظر گرفته و آن را رنگ آمیزی برداری گراف g نامیدند و بر این اساس گراف های k- انتخاب پذیر برداری و k- انتخاب پذیر زیرفضایی را که معادل برداری تعریف گراف های k- انتخاب پذیر است ، معرفی نمودند . دسته بندی تمامی گراف های ?- انتخاب پذیر برداری و ?- انتخاب پذیر زیرفضایی ، معرفی نمایش های برداری مختلف و نتایج مربوط به آن و بیان چند کاربرد از نمایش های برداری موضوع اصلی این پایان نامه را تشکیل می دهد .

چکیده گراف یالی ابرگراف h گرافی است که مجموعه رأس هایش، خانواده ابریال های h است و دو رأس آن مجاور هستند اگروفقط اگر ابریال های متناظرشان در h دارای اشتراک ناتهی باشند. گراف یالی با l(h) نمایش داده می شود. همچنین کلاس گراف های یالی ابرگراف های k-یکنواخت را با lk و کلاس گراف های یالی ابرگراف های k-یکنواخت خطی را با lkl نشان می دهیم. بینکه کلاس l2l را با استفاده از یک لیست متناهی متشکل از زیرگراف های القایی ممنوع شناسایی کرد. کروز نیز این کلاس را با استفاده از پوشش های خاصی رده بندی کرد. مسأله شناسایی کلاس lk و lkl برای k?3، npc است و این کلاس ها هنوز به وسیله یک لیست متناهی از زیرگراف های القایی رده بندی نشده اند. اما برای k=3 مسأله فرق می کند. موضوع اصلی این پایان نامه حل مسأله g?l3l است. مسأله شناسایی کلاس l3 و l3l توسط لواز مطرح شد. او به این نتیجه رسید که این کلاس ها به وسیله یک لیست متناهی متشکل از زیرگراف های القایی ممنوع رده بندی نمی شوند. لوین و تیشکویچ نیز نشان دادند که مسأله g?l3، npc است. اما با اعمال محدودیت روی درجات رئوس مسأله شناسایی کلاس l3l به صورت چند جمله ای قابل حل است و این کلاس با یک لیست متناهی متشکل از زیرگراف های القایی ممنوع رده بندی می شود. کلاس l3l برای گراف های با مینیمم درجه 10 به صورت چند جمله ای حل شده است. همچنین در ابتدا یک لیست متناهی متشکل از زیرگراف های القایی ممنوع با حداقل درجه 69 پیدا شد. در سال 1997 متلسکی، تیشکویچ وجیکوبسون از یک طرف و از طرف دیگر کزی و لحل این باند را به 19 بهبود دادند. در نهایت در سال 2005 اسکومز، سوزدال و تیشکویچ این کران را به 16 رساندند. کلمات کلیدی: ابرگراف ها، گراف یالی ابرگراف ها، گراف اشتراک یالی، تجزیه کروز

این پایان نامه از دو قسمت تشکیل شده است. در قسمت اول به بررسی مفهوم جریان های همه جا ناصفر پرداخته شده است یک k- جریان همه جا ناصفر روی گراف g عبارتست از یک جهت دهی به گراف g و تخصیص اعداد صحیح 1+،...،(1-k)+ به یال های آن به طوری که درهر راس g مجموع اعداد وابسته به بال های ورودی برابر با مجموع اعداد وابسته به یال های خروجی می باشد. این مفهوم با اثبات قضیه ای توسط تات در سال 1954 در نظریه ی گراف مطرح شد. ان در این قضیه نشان داد که هر گراف مسطح k- وجه رنگپذیر است اگر و تنها اگر یک k- جریان همه جا ناصفر داشته باشد. پس از آن چاگر ودیگران تعمیمی از مفهوم جریان های همه جا با صفر را تحت عنوان همبندی گروهی گراف ها معرفی کردند. در این قسمت ابتدا مهمترین نتایج به دست آمده در اتباط با جریان های همه جا ناصفر را بررسی می کنیم و سپس به مطالعه ی همبندی گروهی گراف ها می پردازیم. در قسمت دوم مطالعه ی گراف ها با حداکثر سه مقدار ویژه ی متمایز پرداخته شده است. مطالعه ی گراف ها با مقادیر ویژه ی متمایز کم اولین بار توسط دوب مورد توجه قرار گرفت. دو خانواده ی شناخته شده از این نوع گراف ها گراف های قویا منظم و دو بخشی های کامل هستند. رده بندی گراف ای غیر منظم و غیر دو بخشی کامل با سه مقدار ویژه ی متمایز اولین بار توسط همرز مطرح شد. در این پایان نامه ابتدا نتایج موجود درمورد گراف ها با سه مقدار ویژهی متمایز را بیان کرده و سپس جریان گراف های با بزرگترین مقدار ویژهی کمتر از 8 را رده بندی می کنیم.

تابع گاما در سال ‎????‎ توسط آهارونی، برگر و مشولام معرفی شد. در حالت کلی محاسبه تابع گاما برای گراف های مختلف کار ساده ای نیست. کران های بالا و پایین برای این پارامتر داده شده است که با استفاده از آن ها مقدار دقیق تابع گاما برای درخت ها، مسیرها و دورها محاسبه شده است. هم چنین این تابع یک کران پایین برای همبندی همولوژیکی مجتمع مستقل گراف است و بنابراین مقداری برای مطالعه مسأله تطابق از طریق روش های توپولوژیکی است. این تابع ماهیتی مشابه با تابع تتا دارد. در این مفهوم با استفاده از بردارها مشابه با روش تابع تتای لواز که عدد استقلال گراف را نمایش می دهد عدد احاطه گر گراف به طور برداری نمایش داده می شود. تابع تتا که به عدد لواز معروف است در سال ‎1979‎ توسط لواز‎ معرفی شد که در تعریف این تابع از نمایش برداری متعامد استفاده شده است. نکته مهم و قابل توجه در مورد تابع تتا قابل محاسبه بودن آن در زمان چندجمله ای است. هم چنین از آن جا که این تابع بین دو پارامتر عدد رنگی گراف ها و عدد خوشه ای قرار می گیرد و محاسبه این دو پارامتر ‎$ m{-np}$‎ کامل است، برای گراف هایی مانند گراف های بی نقص که در آن ها این دو پارامتر با هم برابر است می توان گفت از طریق محاسبه تابع تتا این دو پارامتر در زمان چندجمله ای به دست می آید‎. هدف این پایان نامه آشنایی و مطالعه تابع گاما و کلیه نتایج به دست آمده در این رابطه است. بدین منظور ابتدا به تعریف دقیق تابع گاما پرداخته می شود. سپس برخی از پارامترهای مختلف احاطه گری که کران های خوبی برای تابع گاما به دست می دهند مورد مطالعه قرار می گیرند. در ادامه نوع دیگری از تابع گاما تحت عنوان تابع گامای ضعیف معرفی شده و مطالب گفته شده برای تابع گاما برای آن نیز بررسی می شود. در نهایت بررسی هایی بر روی بعد نمایش برداری و ارتباط آن با تابع گاما صورت می گیرد. در راستای شناسایی رفتار تابع گاما عمل های مختلفی نظیر جمع و ضرب گراف ها و نیز تکثیر رأس ها در گراف در نظر گرفته می شود و رفتار تابع گاما و تابع گامای ضعیف روی این اعمال مورد مطالعه قرار می گیرد. هم چنین نشان داده می شود حدس ویزینگ که در ارتباط با عدد احاطه گر است برای تابع گامای ضعیف برقرار است. کاربردهای ترکیبیاتی تابع گاما از اهمیت خاصی برخوردارند که از جمله آن ها می توان به کاربردی که این تابع در اثبات تعمیم قضیه هال برای ابرگراف ها دارد و نیز اثبات حالت کسری حدس رایزر اشاره کرد.

فرض کنید r حلقه ی جابه جایی یک دار باشد. در این پایان نامه ابتدا به ازای یک حلقه ی تقلیل یافته r خواص گرافی r® و ارتباط آنها با خواص توپولوژیکی spec® مورد مطالعه قرار می گیرد. متناظر با خواص جبری r یا خواص گرافی r® خواص توپولوژیکی متناظر مشخص می شود. به عنوان مثال نشان داده می شود که عدد خوشه ای گراف r®، عدد سلولی spec® و بعد گلدی حلقه r برابرند. همچنین ثابت می شود وقتی r شرط پوچ ساز را دارد و 2?z® ، r® تکمیل شده است اگر و تنها اگر min® فشرده باشد. در یک حلقه گلفاندنیم اولیه نتیجه می شود که عدد احاطه گر r® بین چگالی و وزن spec® قرار دارد. ثابت می شود r® مثلث بندی نمی شود و مجموعه مراکز r®، یک مجموعه ی احاطه گر است اگر و تنها اگر مجموعه نقاط تنهای spec® در spec® چگال باشد. سپس گراف های 6،7،...،14 راسی مورد مطالعه قرار می گیرند که می توانند به عنوان گراف های مقسوم علیه صفر حلقه های جابجایی یک دار در نظر گرتفه شوند و لیست همه حلقه ها (با تقریب یکریختی) که این گراف ها را تولید می کنند داده می شود. برای به دست آوردن گراف مقسوم علیه صفر روی n راس برای هر n>1 الگوریتمی برای یافتن همه ی حلقه های تقلیل یافته جابجایی یک دار با تقریب یکریختی ارایه شده است. همچنین گراف مقسوم علیه صفر حلقه ای جابجایی متناهی برای یافتن کران هایی روی مرتبه ی حلقه استفاده شده است.

در این پایان نامه چند نسخه متفاوت از بازی های ایتلافی معرفی می شود. در این بازی ها مفاهیمی چون قانع شدن بازیکن ایتلاف مینیمال بازیگر کلیدی و مجموعه پایدار تعریف می شوند. برای صورت بندی در استدلال در مورد مسایل مطرح شده در هر بازی منطق های متفاوتی متناسب با شرایط بازی ایجاد شده است که در این پایان نامه مورد بررسی قرار میگیرند. منطق cl توسط پایولی برای بررسی قدرت ایتلاف ها در بازی های ایتلافی مطرح شد. او یک تناظر بین خواص بازی ها و اصول منطق ایجاد نمود. همچنین او به ارضاء پذیری و مسیله بررسی گر مدل برای منطق cl پرداخت. آگوتنس منطق k(qcg) را برای صورت بندی مسایل مربوط به بازیکن ها در بازی ایتلافی qcg معرفی نمود. در این منطق مفهوم اساسی قانع شدن بازیکن است. بازی ایتلافی با منابع هزینه crg توسط اسپرن معرفی شد و آگوتنس نشان داد که برای صورتبندی مسایل مربوط به این بازی نیز می توان از منطق k(qcg) استفاده کرد. بازی ایتلافی qcg با اولویت اهداف برای هر بازیکن توسط اسپرن معرفی شد و آگوتنس برای صورت بندی مفاهیمی مانند مجموعه پایدار هسته و مجموعه توافقی در بازی منطق cgl را تعریف کرد.

در این پایان نامه ارتباط بین خواص جبری و خواص گرافی, گراف ایده آل پوچ کن حلقه های تعویض پذیر بیان می شود. فرض کنیم r یک حلقه تعویض پذیر و یکدار باشد. در این صورت ایدآل‎ i از r‎ را ایده آل پوچ‏ساز می گوییم هرگاه ایده آل ناصفرj‎ از r‎ وجود داشته باشد به طوری که ij=(0)‎. مجموعه ی همه ی ایده آل های پوچ ساز حلقه ی ‎‎r را با ‎a(r) ‎ نشان می دهیم. گراف ایده آل پوچ کن گرافی است با مجموعه رئوس a( r ) (0) که این گراف را با ‎ag(r) ‎ نشان می دهیم و در این گراف دو رأس i و j‎ را مجاور می گوییم اگر و تنها اگرij= (0). این پایان نامه شامل4 فصل می باشد. فصل اول شامل مقدمه و تاریخچه است. فصل دوم شامل پیش نیاز هاست. در فصل سوم گراف های ایده آل پوچ کن حلقه های تعویض پذیر رده بندی می شوند. در فصل چهارم رنگ آمیزی رئوس گراف های ایده آل پوچ کن حلقه ی کسرها و حاصل ضرب مستقیم حلقه ها را مطالعه می کنیم. همچنین در ادامه فرمول هایی را برای عدد خوشه ای و عدد رنگی حاصل ضرب مستقیم حلقه ها را فراهم می کنیم. ابتدا حلقه هایی را که گراف ایده آل پوچ کن آن ها کامل, مسیری, دوبخشی یا دوبخشی کامل هستند را فراهم می کنیم. در این راستا عدد طبیعی مثبت n یافت می شود به طوری که {ag}(r)‎‎‎ ‎cong ‎k‎_{n}. جایی که k‎_{n} یک گراف کامل از مرتبه ی n است. همچنین ثابت می شود که گراف ایده آل پوچ کن یک حلقه ی تعویض پذیر دو بخشی است اگر و تنها اگر گراف ایده آل پوچ کن فاقد مثلث باشد. به علاوه نتایجی درباره ی حلقه هایی که همه ی ایده آل های نابدیهی آن ها, ایده آل پوچ کن هستند مطرح می شود. به عنوان مثال نشان داده می شود که اگر حلقه ی r آرتینی و عدد رنگی گراف ایده آل پوچ کن آن برابر2 باشد آن گاه r یک حلقه ی گورنشتاین است. همچنین در این پایان نامه نتایجی درباره ی عدد خوشه ای و عدد رنگی گراف های ایده آل پوچ کن حلقه های تعویض پذیر مطرح می شود. در بین نتایج دیگر نشان داده می شود که اگر عدد رنگی گراف مقسوم علیه صفر متناهی باشد آن گاه عدد رنگی گراف مقسوم علیه صفر نیز متناهی است. در بهبودی و راکعی حدس زده شد که کمر گراف ایده آل پوچ کن یک حلقه ی تقلیل یافته با بیش از دو ایده آل اول مینیمال برابر است. در این پایان نامه ثابت می شود که برای هر حلقه ی تعویض پذیر (نه لزوما تقلیل یافته) عدد رنگی گراف ایده آل پوچ کن آن بزرگتر یا مساوی تعداد ایده آل های اول مینیمال آن است. که نشان می دهد حدس بالا در حالت کلی درست است.

فرض کنید ‎$g$‎ یک گراف بدون پل و ‎${mathcal{c}}={c_1,ldots‎ , ‎c_k}$‎ گردایه ای از دورهای ‎$g$‎ باشد، به طوری که هر یال ‎$g$‎ دقیقاً در دو عنصر ‎${mathcal{c}}$‎ ظاهر شود، در این صورت ‎${mathcal{c}}$‎ را یک ‎gi{cdc}‎ ‎$g$‎ می نامند و آن را به اختصار با ‎gi{n:cdc}‎ نشان می دهند. در سال ‎1979‎ سیمور‎ ‎%‎‎‎ ‎gi{seymour}‎ حدس زد هر گراف بدون پل دارای یک ‎gi{n:cdc}‎ است. تاکنون هیچ مثال نقضی برای این حدس که به حدس ‎gi{n:cdc}‎ شهرت یافته، پیدا نشده و هم چنان بررسی درستی این حدس یکی از مسائل پژوهشی مهم و نسبتاً سخت در نظریه گراف است. از طرفی ارتباط تنگاتنگ این مفهوم با مفاهیم پرکاربردی مانند ‎gi{4-nzf}‎ بر اهمیت این حدس می افزاید. بنا بر رسم دیرینه، تعمیم هر مفهوم نیز درخور توجه است. از این رو حدس هایی تحت عناوین حدس ‎gi{ocdc}‎ و حدس ‎gi{scdc}‎ به عنوان مهم ترین تعمیم های حدس ‎gi{n:cdc}‎ مورد توجه محققان بوده اند. در این رساله در اولین گام به بررسی ‎gi{oppdc}‎ گراف ها می پردازیم. سپس حدسی را تحت عنوان حدس ‎gi{socdc}‎ ارائه و بررسی می کنیم که ترکیبی از حدس ‎gi{ocdc}‎ و حدس ‎gi{scdc}‎ است. سپس با بررسی مفهوم ‎gi{se}‎، رابطه ای بین ‎gi{2se}‎ و ‎gi{cdc}‎ به دست می آوریم. در پایان به مفهوم ‎gi{cdc}‎ برای گراف های نامتناهی می پردازیم.

این پایان نامه درباره بلوری کردن منیفلدهای سه بعدی از دسته حداکثر دو با حداکثر 42 رأس می باشد و از چهار فصل تشکیل شده. فصل اول مقدمه، فصل دوم درباره گراف نشانده شده بر خمینه های سه بعدی، فصل سوم درباره نمایش گروه بنیادی و فصل چهارم درباره تجزیه و تحلیلی از کلاس های همولوژی می باشد.

در این پایان نامه ابتدا گروه های غیر پوچ توان با دو درجه ی سرشت را توصیف می کنیم. در ادامه کار گراف سرشت های تحویل ناپذیر گروه های متناهی را بررسی می کنیم. رأس های این گراف، که برای گروه g آن را با tg نشان می دهیم، مجموعه ی سرشت های تحویل ناپذیر و غیر خطی g یعنی (nl(g است و در دو رأس x و توسط بالی به هم وصل می شوند هر گاه . ثابت می کنیم که برای یک گروه حل پذیر مانند tg,g فاقد مثلث است اگر و تنها اگر .از این قضیه نتیجه می شود که برای هر گروه حل پذیر g، فاقد مثلث بودن (t(g یا فاقد دور بودن آن معادل است. بنابر این اگر g یک گروه حل پذیر باشد، (t(g فاقد مثلث است اگر و تنها اگر یک جنگل باشد.

فرض کنید g‎ یک گراف متناهی، غیرجهت دار و ساده با مجموعه رئوسv(g) و مجموعه یال های‎e(g) ‎ باشد. یک ‎ -kرنگ آمیزی رأسی از گراف g ، یعنی تخصیص ‎ k رنگ به رئوس g ‎به گونه ای که رأس های مجاور هم رنگ نباشند. اگر در گراف‎ g ‎یک -‎ k ‎رنگ آمیزی وجود داشته باشد به طوری که اختلاف اندازه ی کلاس های رنگی، حداکثر یک باشد، آنگاه گراف g را -k رنگ پذیر منصفانه گویند. کوچکترین عدد صحیح k ‎که به ازای آن گرافg ،‎-k ‎رنگ پذیر منصفانه است را عدد رنگی منصفانه گویند و با نماد ?_= (g) ‎ نشان می دهند. رنگ آمیزی منصفانه اولین بار در سال 1973 ‎توسط میر معرفی شده است. میر حدس زد که برای هر گراف همبند g، به جز گراف کامل و دور فرد، ‎?_= (g)??(g). این حدس به حدس رنگ آمیزی منصفانه ‎( ecc )‎ معروف شد و مورد توجه محققان قرار گرفت. ‎ برخلاف رنگ آمیزی رأسی، اگر گرافی دارای یک ‎ -k‎رنگ آمیزی منصفانه باشد، لزوماً‎ دارای- (k+1) ‎رنگ آمیزی منصفانه نیست. به عبارت دیگر گراف هایی با عدد رنگی منصفانه کمتر از ‎?(g)‎ وجود دارند که دارای?(g) -‎رنگ آمیزی منصفانه نیستند. چن و همکارانش در سال 1994 ‎حدس زدند که اگر ‎ gیک گراف همبند غیر از گراف کاملk_n ‎ و دور فرد c_(2n+1) و گراف دوبخشی کامل ‎k_(2n+1,2n+1) باشد، آنگاهg ‎،k ‎ -‎رنگ پذیر منصفانه است. این حدس به حدس? ‎ -‎رنگ آمیزی منصفانه ‎( e?cc )‎ معروف شد. مشاهده می شود که ‎( e?cc )‎ قوی تر از ‎( ecc )‎ است. ‎در این پایان نامه ضمن مروری بر اهمیت حدس ?‎ -‎رنگ آمیزی منصفانه برای کلاس های خاصی از گراف ها از جمله گراف های دوبخشی، درخت ها، گراف های کنسر، گراف های بازه ای، گراف های سری-موازی، گراف های با تباهندگی کم و گراف های با عرض درختی کران دار، به طور ویژه به بررسی دقیق ‎( e? cc )‎ برای گراف های مسطح و گراف های مسطح بیرونی می پردازیم.

فرض کنید‎ g گرافی ساده و همبند‏، و ‎s={s_1,…s_k} زیرمجموعه ای ازv(g) باشد. برای هر رأس ‎v از ‎g کد متریک v‎ نسبت به ‎‎s عبارت است از بردار-kتایی r(v?s)?(d(v,s_1 ),…,d(v,s_k ) ). که در آن d(v,s_i )فاصله‎‏ ی بین دو رأس ‎‎v و ‎s_i ‏‎در‎ گراف‎‎‎ g است. اگر کدهای متریک رأس های متمایز g نسبت به ‎‎s از هم متمایز باشند، ‎‎s یک مجموعه کاشف‎ برای‎‎ gنامیده می شود. در بین مجموعه های کاشف، مجموعه های با کمترین اندازه را پایه متریک گراف‎‎ و اندازه چنین مجموعه هایی را بعد متریکg ‎ می نامند و با نماد ?(g) ‎‎‎‎نمایش می دهند. این مفهوم در سال ‎1975 ‎معرفی شده و پس از آن در مقاله های بسیاری مورد مطالعه قرار گرفته است. ‎مجموعه های کاشف در زمینه هدایت روبات ها‏، بازی حافظه برتر‏، وزن کردن سکه ها‏، جستجو و رسیدگی در شبکه‏ و داروسازی دارای کاربردهای قابل توجهی است. ‎‎در این پایان نامه به مطالعه بعد متریک گراف های کنسر و جانسون و ارائه ساختار های مختلفی از مجموعه های کاشف برای ‏این گراف ها،‎ به‎ ویژه ارتباط بین مجموعه های کاشف برای گراف های کنسر و جانسون با اشیاء ترکیبیاتی، که برای گراف های جانسون‎‎‏‏، شامل صفحه های تصویری و طرح های متقارن و برای گراف های کنسر‏، شامل هندسه های جزئی، ماتریس های هادامارد و شبکه های حلقوی ‏می باشد،‎‏ پرداخته شده است.

فرض کنیمg یک گراف همبند نابدیهی باشد. برای رأسv از گراف g، مجموعه رأس های مجاور بهv را با n(v) نشان می دهیم. فرض کنید که c? v(g) ? nیک رنگ آمیزی رأسی ازg باشد که رأس های مجاور ممکن است، رنگ های یکسانی داشته باشند. ?(v)، مجموع رنگ های رئوسn(v) است. اگر برای هر دو رأس مجاورu وv داشته باشیم ?(u)??(v)، آن گاهc را یک رنگ آمیزی جمعی ازg می نامیم. مینیمم تعداد رنگ های مورد نیاز در یک رنگ آمیزی جمعی ازg را عدد رنگی جمعی نامیم و با?(g) نمایش می دهیم. عدد رنگی جمعی گراف g، هرگز از عدد رنگی?(g) تجاوز نمی کند و برای هر جفتa وb از اعداد صحیح مثبت که a?b، یک گراف همبند مانندg وجود دارد که?(g)=a و ?(g)=b. فرض کنیدk وn اعداد صحیح مثبتی باشد که k?n. یک گراف گراف همبندg از مرتبه یn وجود دارد که ?(g)=k، اگر و تنها اگر k?n-1. چندین نتیجه ی دیگر نیز راجع به عدد رنگی جمعی ارائه شده است. برای یک k-رنگ آمیزی جمعی c از گراف g، برد جمعی از g، کوچک ترین عدد صحیح مثبت k است، به طوری که یک k-رنگ آمیزی جمعی c از g با استفاده از رنگ های متعلق به مجموعه ی{1,2,…,k} وجود داشته باشد که آن را با?(g) نمایش می دهیم. ثابت می کنیم برای هر گراف مسطح g، ?(g)?468. این بهبود یافته ی کران قبلی ?(g)?5544 است که توسط نورین حاصل شد. در اثبات از قضیه ی صفرهای ترکیبیاتی و عدد رنگ آمیزی ابرگراف ها استفاده می کنیم. ما هم چنین ثابت می کنیم که برای گراف های مسطح 3-رنگ پذیر، ?(g)?36 و برای هر گراف مسطح با کمر حداقل 13، ?(g)?4. ما ثابت می کنیم که برای هر r?2، یک گراف g_r با عدد رنگی r، وجود دارد که هیچ رنگ آمیزی جمعی روی یک گروه آبلی متناهی از مرتبه ی r، ندارد.

برای استدلال در مورد فرایندهای ناشی از عملکرد چندین مرکز منطق های مختلفی ایجاد شده استکه به صورت بندی گزاره ها در زبان های تخصص یافته و بررسی مدل های متناظر و صدق کذب احکام در این مدل ها می پردازد. همچنین نرم افزارهایی برای بررسی این موارد ایجاد شده است. منطق زمانی atl برای بیان گزاره هایی در مورد آن چه ائتلافی از بازیکن ها در یک همکاری استراتژیک می توانند بدان نایل شوند ارایه شده است. دراین پایان نامه تمامیت این منطق بررسی شده است. منطق atel گسترش منطق atl به وسیله اضافه کردن ابزار شناخت با تعبیر جهان های ممکن که در منطق های شناختی معمول است حاصل شده است. که دراین پایان نامه ضمن بررسی این گسترش به خواص مشترک بین منطق های عمل و شناخت پرداخته شده است. این منطق ها هر چند قدرت بیان برخی بین منطق های عمل و شناخت را دارنداما به علت ناتوانی آن ها در بیان برخی خواص عمومی و جذاب مربوط به عمل و شناخت گسترش یافتند. منطق گسترش یافته atel-a به منظور افزایش قدرت بیان پذیری نسبت به منطق atel ارایه شد که ضمن افزایش بیان پذیری خاصیت چک کردن مدل به طریقه نرم افزاری نیز برای آن حفظ می گردد. در این پایان نامه پس از معرفی منطق atl به علت افزایش بیان پذیری این منطق به منطق atl-a,atel گسترش می یابد و سلامت و تمامیت نیز برای منطق atl بررسی می شود. ?

این پایان نامه از دو قسمت تشکیل شده است. در قسمت اول به بررسی یک بازی یا فرایند روی یک گراف به نام بازی شلیک چیپ می پردازیم.بازی شلیک چیپ یک بازی یک نفره با یک فرایند انتشار روی یک گراف است. در این قسمت بازی شلیک چیپ روی گراف های غیرجهت دار و جهت دار، هم چنین نسخه تغییر یافته ای از این بازی به نام بازی دلار را مورد تحلیل و بررسی جامع قرار می دهیم. قسمت دوم این پایان نامه به پاسخ به برخی از سوالات باز در زمینه یک نوع رنگ آمیزی راسی روی گراف ها به نام b-رنگ آمیزی اختصاص یافته است، که در این قسمت، حاصل ضرب دکارتی مسیرها، دورها و گراف های کامل و هم چنین گراف های کنسر را مطالعه می کنیم.

یکی از پارامترهای مهم در نظریه گراف هم از نظر کاربردی و هم از نظر جذابیت های تحقیقاتی پارامتر عدد احاطه گر یک گراف است. زیر مجموعه d از مجموعه راس های گراف v,e=g یک مجموعه احاطه گر برای g است هر گاه هر راس از v-d با راسی در d مجاور باشد تاکنون مقالات فراوان و کتابهایی در مورد این مفهوم و تعمیم هایی از آن نوشته شده است. از جمله تعمیم های این پارامتر مفهوم مجموعه احاطه گر مهارکننده کلی در گراف ها است که در سال 2005 توسط دی خیانگ ما و دیگران معرفی شده است. زیر مجموعه d از مجموعه راس های گراف g=(v,e را یک مجموعه احاطه گر مهارکننده کلی برای g هرگاه d یک مجموعه احاطه گر برای g باشد و زیر گراف های القایی d و v-d راس تنها نداشته باشند. اندازه مینیمم مجموعه احاطه گر مهارکننده کلی برای g را عدد احاطه گر مهارکننده کلی گراف g گوییم و با g نمایش می دهیم . در این پایان نامه ابتدا نتایج تحقیقاتی موجود راجع به این مفهوم مورد مطالعه قرار گرفته قرار گرفته و در ادامه به تعریف چند مفهوم جدید در این رابطه پرداخته شده است. هم چنین با کمک این مفاهیم کران هایی جدید برای عدد احاطه گر مهارکننده کلی گراف ها همراه با نتایجی جدید در این رابطه به دست آمده است

مجموعه ی s ? v از رئوس در گراف g = (v;e) را مجموعه ی احاطه گر می نامیم اگر هر رأس در گراف g عضو مجموعه ی s باشد یا حداقل به یکی از رئوس s متصل باشد. به دلیل جذابیت های کاربردی و تحقیقاتی این مفهوم، تا کنون مطالعات بسیاری بر روی این مبحث انجام شده است. هدف از انجام این پژوهش استفاده از قابلیت های این مجموعه در مکان یابی برای تخصیص امکانات در سطح شهر اصفهان بوده است.

نمایش گرافها علاوهبراین که ابزار مفیدی برای مطالعه ساختار و خواص گرافها هستند، در علوم کامپیوتر نظری نیز کاربردهای فراوانی دارند و همواره مورد توجه محققان قرار گرفتهاند. یکی از روشهای نمایش گراف که بیشترین توجه را به خود اختصاص داده، نمایش ‎$l$-اشتراکی است که‎ $lsubset {0,1,2,dots}$ ‎ تعیین کننده مجاورت و یا عدم مجاورت دو رأس در گراف است. به عبارتی، به هر رأس گراف یک مجموعه نسبت داده میشود بهطوری که دو رأس مجاور هستند اگر و تنها اگر اندازه اشتراک مجموعههای نظیر آنها متعلق به ‎$l$‎ باشد. موضوع پژوهش در این رساله مطالعه انواع نمایشهای اشتراکی گرافها و یافتن ارتباط آنها با سایر مفاهیم و پارامترها در نظریه گراف است. در این راستا ضمن معرفی انواع مهم نمایشهای ‎‎$l$-اشتراکی، کرانهای پایین مناسبی برای کمترین تعداد برچسبهای لازم در نمایشهای اشتراکی وابسته به ‎$l$‎های مختلف ارائه شده است. سپس به طور خاص، به نمایشهای ‎$l$-اشتراکی متناظر با $l = {1,2,dots}$ که با سایر مفاهیم در نظریه گراف مانند پوششهای خوشهای یالی در ارتباط تنگاتنگ است، پرداخته شده و کرانهایی به ویژه برای گرافهای بدون $k_{1,3}$‎ ارائه شده است. همچنین نمایش ضرب نقطهای به گرافهای جهتدار تعمیم داده شده و مورد مطالعه قرار گرفته است. در پایان، یک روش جدید متقارنسازی با استفاده از برچسبگذاری رأسها ارائه شده که به عنوان ابزاری برای حل مسائل اکسترمال قابل استفاده است.

فرض کنید مجموعه یال_های e(g) باشد. یک k-رنگ_آمیزی رأسی مجاز از گراف g، یعنی تخصیص k رنگ به رئوس g به گونه_ای که رأس_های مجاور هم رنگ نباشند. یک رنگ_آمیزی لیستی تعمیمی از مفهوم رنگ_آمیزی معمولی است، به این ترتیب که به هر یک از اجزای گراف، مجموعه_ی دلخواه از رنگ_ها نسبت داده می_شود و برای رنگ_آمیزی هر جزء باید از رنگ لیست متناظر آن استفاده شود و یک رنگ_آمیزی مجاز برای گراف به_دست آید. لیست تخصیصی l برای گراف g، k-یکنواخت است اگر برای هر v 2 v (g) داشته باشیم jl(v)j = k ، که در آن l(v) لیست رنگ_های اختصاص داده شده به v است. یک گراف k-انتخاب_پذیر گفته می_شود هر گاه برای هر لیست k-یکنواخت داده شده، حداقل یک رنگ_آمیزی لیستی داشته باشد. از رأس_ها ?n(g)k? در یک رنگ_آمیزی لیستی اگر همه لیست_ها از اندازه k باشند و هر رنگ در حداکثر ظاهر شود، آن_گاه رنگ_ آمیزی لیستی منصفانه نامیده می_شود. یک گراف k-انتخاب_پذیر منصفانه گفته می_شود اگر برای هر لیست k-یکنواخت داده شده، حداقل یکرنگ_آمیزی لیستی منصفانه داشته باشد. رنگ_آمیزی لیستی منصفانه اولین بار در سال 2003 توسط کاستاچکا و دیگران مطرح شد. در این پایان_نامه به مطالعه مفهوم k-انتخاب_پذیر منصفانه برای کلاس_های خاصاز گراف_ها از جمله جنگل_ها، گراف_های بازه_ای، گراف_های با تباهندگی کم، گراف_های سری-موازی، گراف_های مسطح، گراف_های مسطح بیرونی و رنگ_آمیزی لیستی منصفانه و عرض درختی گراف_ها می_پردازیم

شبکه های اجتماعی در سال های اخیر توسعه قابل توجهی داشته و به سرعت به شیوه های گوناگون در حال انتشار هستند. رایج ترین مدل برای نمایش و مطالعه شبکه های اجتماعی بر اساس نظریه گراف است که به طور گسترده ای در تجزیه و تحلیل شبکه های اجتماعی مورد استفاده قرار میگیرد. یک شبکه اجتماعی را می توان با گراف ساده و بدون جهت (g = (v, e نشان داد که v مجموعه رأس ها و e مجموعه یال ها است به طوری که هر رأس متناظر با یک کاربر در شبکه اجتماعی و وجود یال بین دو رأس بیانگر وجود ارتباط مختص آن شبکه اجتماعی متناظر، نظیر ارتباط دوستی، همکاری و ... بین کاربران آن شبکه است. اطلاعاتی که در شبکه های اجتماعی وجود دارند، منابع اطلاعاتی با ارزشی هستند که انتشار آنها به منظور تجزیه و تحلیل شبکه ضروری و سودمند است. از طرفی این اطلاعات شامل اطلاعات حساس، خصوصی و محرمانه بسیاری از افراد است. به این ترتیب،نگرانی های مربوط به حفظ حریم خصوصی کاربران، به یکی از مهم ترین نگرانی ها در استفاده از شبکه های اجتماعی، تبدیل شده است. بنابراین به منظور حفظ حریم خصوصی شبکه ناگزیر به انتشار نسخه گمنامی از شبکه اجتماعی هستیم که با نسخه اصلی شبکه تفاوت دارد. از طرف دیگر، به منظور کارآمدی نتایج حاصل از تحلیل های نسخه گمنام شبکه، بایستی شبکه گمنام تا حد ممکن شبیه به شبکه اصلی باشد. لذا مسأله مورد توجه،ارائه روش هایی برای برقراری تعادل بین حفظ امنیت شبکه و میزان اطلاعات از دست رفته در شبکه منتشر شده است. روش های مختلفی برای حفظ حریم خصوصی در یک شبکه اجتماعی با در نظر گرفتن میزان اطلاعاتی که در اختیار مهاجم قرار می گیرد و کارآمدی داده ها بعد از انتشار شبکه، وجود دارد و روزبه روز در حال توسعه است. در این پایان نامه به مطالعه انواع روش های حفظ حریم خصوصی در شبکه های اجتماعی مبتنی بر گمنام سازی به کمک نظریه گراف می پردازیم.

در رنگ آمیزی یالی ستار ه ای، یال های گراف به گونه ای رنگ می شوند که هیچ دو یال مجاوری هم رنگ نباشند و همچنین دور یا مسیر به طول چهار 2-رنگی ایجاد نشود. کمترین تعداد رنگ مورد نیاز برای رنگ آمیزی یالی ستاره ای نامیده می شود. در این پایان نامه ضمن مطالعه نتایج موجود پیرامون رنگ آمیزی یالی ستاره ای و بررسی رنگ آمیزی های مرتبط بااین رنگ آمیزی، یک کران بالا برای عدد رنگی یالی ستاره ای حاصل ضرب دکارتی دو گراف دل خواه ارائه می دهیم. همچنین عدد رنگی یالی ستاره ای حاصل ضرب دکارتی دو مسیر را به طور دقیق به دست آورده و یک کران تیز برای عدد رنگی یالی ستاره ای ابرمکعب ها ارائه می کنیم.