فرض کنید r یک حلقه ی جابجایی، یکدار و نوتری باشد. نیز فرض کنید که m یک r-مدول بوده و i,j دو ایده آل در r باشند. در این رساله، با معرفی زیرمجموعه ی (w(i,j از (spec(r تعمیمی از کوهمولو‍‍ژی موضعی را ارائه میدهیم که آن را کوهمولو‍ژی موضعی نسبت به دو ایده آل (i,j) خوانده و با نماد (hii,j(m نمایش میدهیم. پس از بررسی خواص اساسی فانکتور hii,j (-) و مجموعه ی (w(i,j، با معرفی همبافت چک تعمیم یافته نشان میدهیم که مدولهای (hii,j(m را میتوان به شکل مدولهای کوهمولوژی همبافت چک تعمیم یافته محاسبه کرد. سپس، تعمیمی از قضایای صفرشدن گروتندیک و لیختن بوم-هارتشورن را ارائه داده و در انتها، به تعمیم قضیه ی دوگان موضعی خواهیم پرداخت.

هدف این پایان نامه مطالعه و بررسی رده ی خاصی از p-گروههای متناهی است که p-گروههای توانا نامیده می شوند. p-گروه متناهی g را توانا گوییم هرگاه به ازای p>2، ?_(p-1)(g)?g و به ازای p=2، g??g^4. نشان می دهیم که اکثر خواص p-گروههای توانمند به این گروهها قابل تعمیم است. به عنوان مثال به ازای هر p-گروه توانای g، g^(p^i) مجموعه توان p^i ام از عناصر g است و به ازای p>2، ?_i(g) دارای نمای حداکثر p^i است. همچنین ثابت می شود که به ازای هر زیرگروه نرمال n از g، n^p توانمند است. در نهایت نشان می دهیم هر زیرگروه نرمال مشمول در g^2 توان آبلی است.

در این پایاننامه ابتدا به بررسی مفاهیم و قضایایی در مورد زیرمدولهای اول در مدولهای یکدست وآزاد می پردازیم. بعلاوه ارتفاع زیرمدولهای اول وزنجیرهای اشباع زیرمدولهای اول نیز مورد بحث قرار می گیرد. سپس به مطالعه مدولهای ضربی وپرو‍ژ‍کتیو می پردازیم.

در این پایان نامه وجود اعضای اول در برخی از حلقه های سری های توانی تعمیم یافته اثبات می شود.در واقع با استفاده از ارزیاب اردینال مقدار معرفی شده توسط براردوچی نشان داده می شود که اگر k یک میدان با مشخصه صفر باشد، آنگاه حلقه متشکل از سری های توانی تعمیم یافته با ضرایب در k و نماها در اعداد حقیقی نامثبت شامل عناصر اول می باشد. همچنین اگر g یک گروه مرتب شامل یک زیر گروه محدب سره ی ماکسیمال باشد، آنگاه حلقه متشکل از سری های توانی تعمیم یافته با ضرایب در k و نماها در g نامثبت شامل عناصر اول می باشد.

فرض کنیم r یک حلقه جابجایی و یکدار باشد. خانواده f از ایده آل های r را خانواده oka می نامیم هرگاه برای هر ایده آل i و هرعضو a از r، از اینکه (i,a) و (i:a) متعلق به f باشند نتیجه شود i نیز متعلق به f است. همچنین خانواده f از ایده آل های r را خانواده ako می نامیم هرگاه برای هر ایده آل i واعضای a,b از r، از اینکه (i,a) و (i,b) متعلق به f باشند نتیجه شود (i,ab) نیز متعلق به f است. اصل ایده آل اول بیان می کند که اگر f یک خانواده oka یا ako باشد، آنگاه ماکسیمال مکمل f یک ایده آل اول است. مثالهای متنوعی از خانواده های oka یا ako آورده شده است که استفاده از اصل ایده آل اول در مورد آنها منجر به نتایجی شناخته شده و یا شناخته نشده در جبر جابجایی می شود. به عنوان مثال می توان نتیجه گرفت حلقه r نوتری (حوزه ددکیند یا حلقه ایده آل اصلی)است هرگاه هر ایده آل اول غیرصفر با تولید متناهی (به ترتیب: معکوس پذیر یا اصلی) باشد. خانواده های oka با زیررسته هایی از رسته مدولهای دوری که تحت توسیع بسته هستند، متناظر می شوند. با استفاده از این تناظر می توان نمونه های دیگری از خانواده های oka را مورد بررسی قرار داد.

در این پایان نامه متناهی بودن مجموعه ی ایده آل های اول وابسته ی مدول های کوهمولوژی موضعی را در شرایط خاص مورد بررسی قرار می دهیم. پس از بیان مفاهیم مقدماتی در فصل اول، فصل دوم که براساس مقاله ی هلاس تحت عنوان «مجموعه ی ایده آل های اول وابسته ی دوگان ماتلیس مدول های کوهمولوژی موضعی» نوشته شده است، با ارایه ی حدسی شروع می شود. بر مبنای این حدس و مفهوم دوگان ماتلیس، مجموعه ی ایده آل های اول وابسته ی دوگان ماتلیس مدول های کوهمولوژی موضعی را محاسبه می کنیم. همچنین، در این فصل نشان می دهیم که بعد کرول را می توان از طریق صفرشدن مدول های کوهمولوژی موضعی بیان کرد. در فصل سوم فرض می کنیم یک حلقه ی موضعی، نوتری و جابجایی از بعد باشد. همچنین، فرض می کنیم ایده آلی از و یک - مدول با تولید متناهی باشد. ثابت می کنیم که مجموعه ی ایده آل های اول وابسته ی مدول کوهمولوژی موضعی به ازای هر در حالات زیر متناهی است: (1) ؛ (2) و یک حلقه ی منظم باشد؛ (3) و یک حلقه ی موضعی، منظم و غیر یکپارچه بوده و یک - مدول بدون تاب باشد. علاوه بر این، در این فصل نشان می دهیم که اگر ، آنگاه به ازای هر ، و ، مدول دارای تکیه گاه متناهی خواهد بود.

در این پایان نامه برای مدولهای با تولید متناهی و با بعد پروژکتیو متناهی ثابت میشود که مجموعه عناصر محمل با ارتفاع متناهی متناهی است . همچنین مفهوم بعد متناهی مدولها و بعد آرتینی مدولها و ویژگیهای آنها بحث می شود

فرض کنیم (r, m)یک حلقه موضعی با بعد کرول n و a ایده آلی از r باشد. دستیابی به نتایجی در صفر شدن و ناصفر شدن مدول های کوهمولوژی موضعی برای هر r-مدول m در جبر جابجایی و هندسه جبری از اهمیت بسزایی برخودار است. با توجه به قضیه صفر شدن گروتندیک به ازای هر i>n , i-امین مدول کوهمولوژی موضعی m نسبت به ایده آل a برابر با صفر است. یک شرط لازم و کافی برای صفر شدن n- امین مدول کوهمولوژی موضعی r نسبت به a در قضیه لیختن باوم- هارت شورن بیان شده است. این مساله اولین بار توسط هارت شورن بیان و اثبات شده است. تعمیمی از این قضیه برای مدول های متناهی مولد نیز وجود دارد. فرض کنیم یک همریختی حلقه ای از حلقه موضعی (r, m) به حلقه s مانند f موجود باشد. r-مدول m را متناهی مولد روی f گوییم هرگاه m یک s-مدول متناهی مولد باشد و توسط f دارای ساختار r- مدولی باشد. در این پایان نامه تعمیمی از قضیه لیختن باوم- هارت شورن برای چنین مدول هایی بیان شده است. همچنین دو تعمیم از قضیه ناصفر شدن گروتندیک و کاربردهایی از این مطالب در بحث همبندی محمل (تکیه گاه)ارایه شده است. در فصل دوم از این پایان نامه تعمیمی از قضیه لیختن باوم- هارت شورن برای مدول های کوهمولوژی تعمیم یافته با استفاده از مفهوم یک دستگاه از ایده آل های حلقه r آورده شده است.

در این پایان نامه رابطه ایده آل کامل و ایده آل های m- کامل را بررسی می کنیم. ملاحظه می شود که هر ایده آل m- کامل، یک ایده آل کامل است. همچنین شرط کافی برای اینکه ایده آل های کامل، ایده آل m- کامل باشند ارائه می شود. همچنین شرایط معادل بودن ایده آل کامل، m- کامل، بطور صحیح بسته، انقباض یافته و نرمال، برای کلاسی از ایده آلهای پارامتری بیان می شود و شرایطی را که تحت آن هر ایده آل پارامتری اساساً کامل، یک ایده آل کامل می شود بیان خواهد شد. بالاخره، در این پایان نامه، بعضی از نتایج روی ایده آل های کامل و بعضی از کلاسهای وابسته به این نوع ایده آل ها در حلقه های منظم موضعی با بعد2 را به حلقه های منظم موضعی با بعد بالاتر توسعه داده می شود. این کلاس از ایده آل ها را با کلاسهایی از ایده آلهای m- کامل، ایده آل های اساساً کامل و ایده آلهای انقباض شده در حلقه منظم موضعی با بعد بالاتر مقایسه می شود.

فرض کنید iایده آلی از حلقه ی جابجایی و نوتری r باشد به طوری که ara(i)=t ? 2. هدف از این پایان نامه این است که نشان دهیم دنباله ی منظم –iصافی y1،...، yt از ایده آل i وجود دارد به طوری که rad(i)=rad(y1,…,yt) و به ازای هر 1? i? t، cd((y1,…,yi),r)=i که یک نتیجه ی مهم از کرونکر1 [17] است. بعلاوه، در این پایان نامه نشان می دهیم که برای هر –rمدول باتولید متناهی مانند m و به ازای هر i ? r که r ? 1، اگر hii(m) یک مدول مینیماکس باشد، آنگاه hii(m) یک مدول آرتینی است. همچنین، نشان می دهیم که اگر به ازای هر i ? r، hii(m) یک مدول کواتمیک باشد، آنگاه به ازای هر i ?r ، hii(m) یک مدول باتولیدمتناهی است. بعلاوه، شرایطی را برای یک مدول موضعاً مینیماکس پیدا می کنیم تا یک مدول مینیماکس باشد.

مفاهیم اوکاوآکو برای ایده آلهایدرحلقه ی جابجایی اولین بار توسط لم وریز درسال2008 معرفی شدند.

در این پایاننامه که بر اساس مرجع [1]تنظیم شده است، تاثیر مجموعه طولهای کلاسهای تزویج اعضای p-منظم g برp-منظم g بر p-ساختار گروه g را مطالعه می کنیم که در آن p عدد اول ثابت وg گروهp-حلپذیر متناهی است.بویژه، نشان می دهیم که اگر m و n اعداد طبیعی بزرگتر از 1 و نسبت به هم اول باشند و مجموعه طولهای کلاسهای تزویج اعضای p-منظم گروه p-حلپذیر متناهی g برابر مجموعه {1وmوn} باشد، آنگاه گروه g حلپذیر و یک p-متمم g یک گروه شبه فروبنیوس با هسته و متمم آبلی است. همچنین ساختار گروه p-حلپذیر g را در حالتی که مجموعه طولهای کلاسهای تزویج اعضای p-منظم و غیر مرکزی g یک مجموعه از اعداد طبیعی باشد که همه این اعداد طبیعی توانی از یک عدد اول باشند، مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم

از دیدگاه همولوژیکی‎،‎ مهم ترین دسته از مدول ها‎‏‎ روی یک حلقه جابجایی و نوتری r‎‎‎‏، مدول های پروژکتیو‏، یکدست و انژکتیو می ‎‎باشند. بررسی پروژکتیو بودن یک مدول با استفاده از معیار معروفی که بیان می ‎‎دارد یک مدول‏ پروژکتیو است اگر و تنها اگر موضعاً آزاد باشد‏، نسبتاً ‎آسان‎ است. با این حال بررسی یکدست بودن و انژکتیو بودن مشکل تر می ‎‎باشد. برای دسته های خاصی از مدول ها‏، معیارهای ساده ای برای بررسی یکدست بودن وجود دارند. به عنوان مثال یک مدول متناهی مولد‏‏، یکدست است اگر و تنها اگر پروژکتیو باشد. برای انژکتیو بودن یک معیار محک بئر است. همچنین می دانیم‏، یک مدول آزاد تاب ‎‎‎m‎ روی یک حوزه صحیح ‎‎‎r‎‎‎ انژکتیو است اگر و تنها اگر تقسیم شدنی باشد. اما چون بیشتر مدول های انژکتیو‏، آزاد تاب نیستند‏، لذا این معیار چندان مفید نیست. در این پایان نامه‏ با بررسی آزاد تاب بودن‏، ایده آل های اول وابسته‏، انواع مختلف تقسیم پذیری و ایده آل های اول هم وابسته و سپس با کاهش دادن سوال های یکدست بودن و انژکتیو بودن روی حلقه خارج قسمتی کامل‏، معیاری برای یکدست بودن و انژکتیو بودن ارائه شده است. در حالت خاص برای حلقه های کاهشی، بر حسب آزاد تاب بودن و ایده آل های اول وابسته‏، معیاری برای یکدست بودن و بر حسب ‎‎-h تقسیم پذیری‏، معیاری برای انژکتیو بودن بدست می آوریم.

فرض کنیم ‎$( r‎, ‎mathfrak{m}) $‎ حلقه ی موضعی، صوری یکسان بعد و از بعد ‎$ d $‎ باشد. فرض کنیم ‎$ phi $‎ یک دستگاه ایده آلی غیر صفر از ‎$ r $‎ باشد بطوریکه به ازای هر ایده آل اول مینیمال ‎$ mathfrak{p} $‎ از ‎$ r $‎ و هر ‎$ mathfrak{a}in phi $‎، ‎$ mathfrak{a}+mathfrak{p} $‎ ایده آل ‎$ mathfrak{m} $-‎اولیه باشد. در این پایان نامه هدف اصلی این است که نشان دهیم به ازای هر ایده آل ‎$ mathfrak{b} $‎ از ‎$ r $‎، بستار صحیح ‎$ mathfrak{b}^*^{(h_phi^d (r))} $‎ از ‎$ mathfrak{b} $‎ نسبت به ‎$ r $-‎مدول آرتینی ‎$ h_phi^d (r) $‎ برابر است با ‎$ mathfrak{b}_a $‎، بستار صحیح کلاسیک نورثکات-ریس.

در این رساله مدول های کوهمولوژی موضعی نسبت به دو ایدآل مورد مطالعه قرار می گیرند. در این راستا، بعضی از نتایج موجود درباره مدول های کوهمولوژی موضعی معمولی را به مدول های کوهمولوژی موضعی نسبت به دو ایدآل تعمیم می دهیم. ابتدا صفر بودن، ناصفر بودن، متناهی مولد بودن، آرتینی بودن و ایدآل های اول چسبیده آخرین مدول های کوهمولوژی موضعی نسبت به دو ایدآل را مطالعه می کنیم. در ادامه با به کار بردن تابعگون ‎$hom$‎، شرایطی را تعیین می کنیم که تحت آنها، مدول های کوهمولوژی موضعی نسبت به دو ایدآل، متناهی مولد هستند. سرانجام با استفاده از مفهوم رشته های منظم و عمق، روابطی بین مدول های کوهمولوژی موضعی معمولی و مدول های کوهمولوژی موضعی نسبت به دو ایدآل و اعداد باس این مدول ها پیدا می کنیم.

فرض کنید (r,m)‎‎ ‎‎‎یک حلقه ی موضعی (نوتری) وi وj ‎ دوایده آل واقعی از‎ ‎r باشند. فرض کنید‎‎ ‎‎m‎‎ ‎یک ‎-r‎‎مدول غیرصفر با تولیدمتناهی باشد. دراین پایان نامه خواص آخرین مدول کوهمولوژی موضعی‎‎‎ ‎‎‎‎h_(i,j)^dim?m (m) ‎بررسی می شود و بعضی نتایج در مورد ایده آل های اول چسبیده ی مدول های کوهمولوژی موضعی ‎‎‎ ‎‎‎‎h_(i,j)^dim?m (m) را به دست می آوریم. به عنوان نتیجه‎‎‎ یک مدول خارج قسمتی مانند ‎ ‎l‎‎‎ از m ‎ را پیدا می کنیم بطوری که‎‎‎h_i^dim?m (l) h_(i,j)^dim?m (m) ? همچنین تعمیمی از قضیه ی صفرشدن لیختنباوم-هارتشورن برای مدول های کوهمولوژی موضعی نسبت به دو ایده آل را بیان و ثابت می کنیم.

این پایان نامه بررسی عملگرهای بستار در ایده آل هایی از حلقه های جابجایی با تأکید بر ویژگی های ساختاری و استفاده از ابزار های یک قسمت برای تجزیه و تحلیل ساختارهای بخش دیگر می باشد. این بررسی به اندازه کافی گسترده است که در بر گیرنده بستار رادیکال، بستار کیپ، بستار صحیح، بستار راتلیف-اش و بستار بطور اساسی کامل می باشد.

در مرجع ‎[‎5‎]‎‏، مارک لویس سوال زیر را مطرح کرد: اگر گروه متناهی ‎g‎‎ دارای دقیقا چهار درجه کاراکتر تحویل ناپذیر بصورت ‎1 ‎m, ‎n,mn‎, باشد که در آن ‎‎ ‎(m ,‎ n‎ ) =1‏،‎ در اینصورت آیا طول مشتق گروه ‎g‎‎ حداکثر برابر ‎‎‎‎3‎‎ است‏؟ در مرجع ‎[‎10‎]‎‏، جفری ریدل‏، یک خانواده از گروههای متناهی ‎‎ h‎ (‎ q‎,e, ‎n)‎ ‎‎ ساخت بطوریکه گروه ‎‎ h‎ (3,3,2) ‎‎‎ دقیقا دارای چهار درجه کاراکتر تحویل ناپذیر ‎‎‎‎1‎‎‎‏، ‎‎‎‎3‎‎‎‏، ‏‎‎‎‎13‎‎ و ‎‎‎‎‎39‎است در حالیکه طول مشتق این گروه نیز ‎4‎ است. بنابراین جواب سوال لویس منفی است. اما این سوال مطرح می شود که آیا مثال نقض جفری ریدل‏، مثال نقض منحصربفرد است. در این پایان نامه، به این سوال مطرح شد‏ه تا حدودی جواب مثبت می دهیم و ثابت می کنیم که قضیه‎ a‎ :‎‎‎‎ ‎اگر‎ ‎g‎‎ یک گروه متناهی باشد بطوریکه ‎‎ cd (g) =‎ ‎{1,m,n,mn} ‎که در آن ‎ ‎‎‎‎‎‎‎‎‎m,n > 1‎‎‎ و ‎‎ ‎(m ,‎ n‎ ) =1‎‎‎‎‏،‎ آنگاه ‎‎‎‎g‎‎ یک گروه حلپذیر است. بعلاوه‏، طول مشتق گروه ‎‎‎‎g‎‎ حداکثر برابر ‎‎‎‎3‎‎ است مگر اینکه ‎cd (g) =‎ {1,3,13,39} در‎‎‎ این پایان نامه‏ که براساس مرجع ‎[9]‎‏ تهیه و تنظیم شده است، گروه ‎‎g‎‎‎‏،‎‎‎‎‎ یک گروه متناهی است و ‎irr ‎ (g)‎ ‎‎ مجموعه تمام کاراکترهای تحویل ناپذیر ‎‎‎‎g‎‎ است و ‎ cd (g)‎ ‎ مجموعه تمام درجات کاراکترهای تحویل ناپذیر ‎g‎‎ است. همچنین در این پایان نامه‏، ثابت خواهیم کرد که ‎قضیه‎‎‎‎b‎‎ : ‎‎فرض کنیم ‎‎‎‎m, n‎> ‎1‎‎‎ اعداد صحیح دلخواه و ‎‎‎‎g‎ یک گروه متناهی با cd (g)‎= ‎{1,m,n,mn} در اینصورت ‎g حلپذیر است و یکی از گزاره های زیر برقرار است:‎ ‎‎)1(‎ طول‎‎ مشتق گروه g حداکثر ‎‎‎‎3‎‎ است. ‎ (2) ‎cd (g) =‎ { ‎1, ‎3, ‎13, ‎39 } ‎‎‎‎‎‎‎)3(‎‎عدد اول ‎‎‎‎p‎‎ وجود دارد بطوریکه cd (g) = { ‎1‎ , ‎p^(r_1 ) ,‎p^(r_2 ) ,‎p^(r_1+r_2 )}‎‎‎‎‎‎‎

در این پایان نامه به بررسی و مطالعه گروههای متناهی حلپذیر که در فرض ‎n-اول صدق می کنند، خواهیم پرداخت.

-

فرض کنیم r یک حلقه ی نوتری که لزوما موضعی نیست و m یک r مدول متناهیا تولید شده با بعد متناهی d باشد. همچنین فرض کنیم a یک ایده آل r و m اشتراک همه ی ایده آلهای اول p باشد به طوری که ??. در این صورت نشان می دهیم : ؟؟ در آن برای یک r مدول آرتینی a قرار می دهیم : ؟؟؟ بعنوان یک نتیجه ثابت می شود که برای هر ایده آل aاز r فقط تعداد متناهی آخرین مدول کوهمولوژی موضعی he(m) غیر ایزومورفیک وجود دارد که محملهای یکسان دارند. به علاوه قضیه ای مشابه قضیه صفر شدن لیختنبام - هارتشورن روی حلقه هایی که لزوما موضعی نیستند، اثبات خواهیم کرد.

فرض کنیم ‎$r$‎ حلقه‎‎‎‎ای جابه‎جایی،‎ نوتری و با عنصر یکه ناصفر باشد. فرض کنیم ‎$i$‎ و ‎$j$‎ ایده‎آل‎هایی از ‎$r$‎ و ‎$s$‎ یک زیر مجموعه بسته ضربی در ‎$r$‎ باشد. راتلیف نشان داد که دنباله ‎$$ass_r‎, ‎r/overline{i}subseteqass_r‎, ‎r/overline{i^{ ext{2}}}subseteqass_r‎, ‎r/overline{i^{ ext{3}}}subseteqcdots$$‎ از ایده‎آل‎های وابسته، صعودی و ایستا به یک مجموعه می‎‎باشد که آن را با ‎$overline{a^ast}(i)$‎ نشان می‎دهیم.‎ مک‎‎آدام به کمک حلقه ریس نسبت به ایده‎‎آل ‎$i$‎، ‎$r[it,t^{- ext{1}}]$‎، یک توصیف جالب از این مجموعه ارائه داد. در این رساله به کمک حلقه‎‎های مقداریاب ریس ایده‎‎آل ‎$i$‎ توصیف دیگری از ‎$overline{a^ast}(i)$‎ ارائه می‎‎دهیم و به کمک آن به یک سوال از مک آدام پاسخ می‎دهیم.‎ سپس، نظریه رشته‎‎های فرامجانبی روی ایده‎‎آل ‎$i$‎ را معرفی می‎‎کنیم و نشان می‎‎دهیم که اگر ‎$r$‎ موضعی باشد، طول هر رشته فرامجانبی ماکسیمال روی ایده‎‎آل ‎$i$‎ برابر است با ‎$qacogd (i):=min{dim r^ast/ir^ast+zmid:zinmin (r^ast)}$‎ و به وسیله آن دو خانواده از حلقه‎‎های موضعی را شناسایی می‎کنیم.‎ همچنین، رابطه‎‎ی بین صفر شدن مدول کوهمولوژی موضعی تعمیم یافته ‎$h_{i,j} ^{dim r} (r)$‎ و توپولوژی‎‎های تعریف شده توسط صافی‎‎های ‎${(i^n+j)r_scap r}_{ngeq ext{0}}$‎ و ‎${(i^n)_a ^{(r/j)}}_{ngeq ext{0}}$‎ را مورد مطالعه قرار می‎دهیم.‎ در نهایت، به بررسی رابطه بین بستار صحیح ایده‎‎آل ‎$i$‎ نسبت به ‎$r$‎ -مدول آرتینی ‎$h_{frak m,j} ^{dim r} (r)$‎ و ‎$r$‎ -مدول نوتری ‎$r/j$‎ می‎پردازیم.

در این پایان نامه به بررسی ویژگی های عمق صافی، عمق تعمیم یافته و ایده آل های اول وابسته مدول کوهمولوژی موضعی می پردازیم. همچنین رفتار مجانبی مجموعه ایده آل های اول وابسته ی مدول های ‎ ext ‎ را مورد مطالعه قرار می دهیم‎.

در سال 2001 هاوی یک حدسی را مطرح کرد که اگر r یک حلقه ی جابجایی و کوهرنت باشد آنگاه یک ایزومورفیسمی از شبکه ها مابین کلاس زیرکاتگوری های کوهرنت از زیر کاتگوری کامل از کاتگوری r-مدولهای متناهیا نمایش داده شده و کلاس زیرکاتگوری های تیک از کاتگوری مشتق شده از هم بافت های کامل روی r وجود دارد. در این پایان نامه دو قضیه ی زیر را اثبات خواهیم کرد: قضیه a)فرض کنیم r یک حلقه ی جابجایی و نوتری باشد.دراین صورت هر زیر کاتگوری کوهرنت یک زیر کاتگوری سر است و ایزومورفیسمی از شبکه ها مابین کلاس زیرکاتگوری های کوهرنت از زیر کاتگوری کامل از کاتگوری r-مدولهای متناهیا نمایش داده شده و کلاس زیرکاتگوری های تیک از کاتگوری مشتق شده از هم بافت های کامل روی r وجود دارد. قضیه b)فرض کنیم r یک حلقه ی جابجایی و نوتری باشد.در این صورت ایزومورفیسمی از شبکه ها را مابین کلاس زیر مجموعه های تمامی ایدآل های اول r و کلاس زیر کاتگوری های کامل از زیر کاتگوری کامل از کاتگوری r-مدولهای متناهیا نمایش داده شده که تحت زیرمدولها و توسیع ها بسته هستند. علاوه بر این نشان خواهیم داد که کاتگوری گروههای آبلی p-کامل یک کاتگوری آبلی نیست.

فرض کنیم r یک حلقه ی جابجایی و نوتری، m یک r‎-مدول با تولید متناهی و i و j ایده آل هایی از r باشند بطوریکه i شامل j است. ‎یکی از مسائل مهم در جبر جابجایی یافتن شرایط معادلی برای با تولید متناهی بودن مدول کوهمولوژی موضعی m نسبت به i است. در این رساله نشان داده شده است که اگر(r,m‎) یک حلقه موضعی کامل باشد، در اینصورت nامین بعد متناهی m نسبت به i برابر کوچکترین عدد صحیح نامنفی مانند i‎ است بطوریکه i امین مدول کوهمولوژی موضعی در بعد کمتر از ‎ n‎ نیست. با استفاده از مطلب فوق نشان داده شده است که زیرمجموعه ای از ایده آلهای اول وابسته جمع مستقیمی از مدولهای کوهمولوژی موضعی یک مجموعه متناهی است. در فصل آخر ثابت می کنیم اگر مجموعه ایده آلهای اول وابسته خاصی از مدول کوهمولوژی موضعی ‎متناهی باشد، آنگاه اصل موضعی- کلی در هر مرحله برای مدول m برقرار است. ‎ این مطلب تعمیمی برای اصل موضعی-کلی فالتینگز می باشد.

این پایاننامه در سه فصل تنظیم شده است که فصل اول مقدمات و قضایایی می باشد که در فصل های بعدی مورد نیاز می باشند. در فصل دوم به بررسی رفتار و ویژگیهای مدولهای fsf ژرداخته شده است. و در فصل سوم برخی از ویژگیهای مدولهای کوهمولوژی مطرح شده است. که سه فصل پایاننامه بصورت ملموسی با یکدیگر در ارتباط هستند.

فرض کنیم گروه ‎$ a $‎ روی گروه پوچتوان ‎$ g $‎ بوسیله ی اتومورفیسم ها بصورت متباین عمل می کند. فرض کنیم ‎$ chi in irr(g) $‎ کاراکتر تحویل ناپذیری از ‎$ g $‎ باشد که این کاراکتر تحت عمل ‎a‎ پایاست. در این پایان نامه نشان داده می شود که تمام کاراکتر های تحویل ناپذیر ‎$ a $-‎اولیه از یک زیرگروه ‎$ a $‎- پایای ‎$ g $‎ که به ‎$ chi $‎ القا می شوند، دارای درجه برابر هستند. با بکار بردن این نتیجه اطلاعاتی در مورد کاراکتر های گروه هایی که از ‎$ p $-‎طول ‎1‎ هستند، بدست خواهیم آورد.

پوچسازها و ایده آلهای اول چسبیده ی مدولهای کوهمولوژی موضعی را در نقطه ی بعد مشخص کرده ایم و برای نقطه ی قبل از بعد نشان داده ایم که وقتی حلقه حوزه ی صحیح می باشد پوچساز مدول کوهمولوژی موضعی در نقطه ی قبل از بعد حلقه صفر است و به کمک آن ایده آلهای اول چسبیده ی مدولهای کوهمولوژی موضعی را در نقطه ی قبل از بعد حلقه مشخص کرده ایم.

در سال ‎1962‎، جبرئیل ‎ltrfootnote{gabriel}‎ در مرجع ‎cite{0}‎ ثابت کرد که یک ایزومورفیسم شبکه ی بین مجموعه? همه? زیرکاتگوری های ‎ extbf{‎‎ سر} از کاتگوری‎$r~$-مدول ‎های متناهی مولد و مجموعه? همه? زیرمجموعه هایی از ‎${ m spec}(r)$‎که تحت ویژگی سازی بسته هستند وجود دارد‎.‎ در این پایاننامه هدف ما بدست آوردن معیاری برای ‎ extbf{سر}‎ کاتگوری بودن ‎$(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})~$‎ است، که در آنها ‎$mathcal{s}_{1}~$‎ و‎$mathcal{s}_{2}~$‎ دو زیر کاتگوری ‎ extbf{سر}‎ از کاتگوری ‎$r~$-‎مدول ها و‎$r~$-همومورفیسم ‎ها است‎.‎ فرض کنیم‎$r~$‎ یک حلقه? جابجایی و نوتری باشد. کاتگوری ‎$r~$-‎مدول ها و‎$r~$-همومورفیسم ‎ها را با علامت‎$mathcal{c}(r)~$‎ و زیرکاتگوری تام، ‎$r~$-‎مدول ها ی متناهی مولد را با علامت ‎$rmathrm{-mod}$‎ نشان می دهیم‎.‎ در مرجع ‎cite{0}‎، ثابت شده است که یک ایزومورفیسم شبکه ی بین مجموعه? همه? زیرکاتگوری های ‎ extbf{سر}‎ از‎$mathcal{c}(r)~$‎ و زیرمجموعه هایی از ‎${ m spec}(r)~$‎ که تحت ویژگی سازی بسته هستند وجود دارد. ‎‎ از طرفی نیمان ‎ltrfootnote{ neeman}‎ در مرجع ‎cite{8}‎، وجود یک ایزومورفیسم شبکه ی بین مجموعه? همه? زیرکاتگوری های پرس شده‎ltrfootnote{ smashing subcategories}‎، از کاتگوری مشتق شده ‎$mathcal{c}(r)~$‎ و مجموعه? همه? زیرمجموعه هایی از ‎${ m spec}(r)~$‎ که تحت ویژگی سازی بسته هستند را نشان داد‎.‎ سپس تاکاهاشی‎ltrfootnote{takahashi}‎ یک تفسیر مدولی از قضیه? نیمان را بنا نهاد، که قضیه? جبرئیل را در مرجع ‎cite{6}‎ القا می کند‎.‎ یک extbf{زیرکاتگوری سر} از یک کاتگوری آبلی عبارتست از یک زیرکاتگوری تام که تحت زیرشی ها، اشیای خارج قسمت و توسیع ها بسته است‎.‎ اخیراً تعدادی از ریاضی دانان مفهوم زیرکاتگوری‎ extbf{‎‎ سر} را نه تنها در نظریه? کاتگوری، بلکه در نظریه? کوهمولوژی موضعی نیز مورد مطالعه قرار داده اند. (بعنوان مثال رجوع شود به مرجع ‎cite{9}.) ‎ به کمک نتیجه جبرئیل در بالا، می توانیم تمام زیرکاتگوری های ‎ extbf{سر}‎ از ‎$rmathrm{-mod}$‎ را توسط مجموعه هایی از ‎${ m spec}(r)~$‎ که تحت ویژگی سازی بسته هستند را ارائه دهیم. با این وجود، می خواهیم راه دیگری برای مطالعه? زیرکاتگوری های extbf{سر ‎}از$mathcal{c}(r)~$‎ به کمک نظریه? کوهمولوژی موضعی ارائه دهیم‎.‎ برای این منظور یکی از اهداف اصلی در این پایاننامه ارائه چنین روشی با در نظر گرفتن زیرکاتگوری های متشکل از توسیع مدول ها در دو زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ است‎.‎ فرض کنیم ‎$mathcal{s}_{1}~$‎ و‎$mathcal{s}_{2}~$‎ دو زیر کاتگوری ‎ extbf{سر}‎ از‎$mathcal{c}(r)~$‎ باشند. زیرکاتگوری متشکل از توسیع مدول ها در‎$mathcal{s}_{1}~$‎ توسط ‎$mathcal{s}_{2}~$‎ را با علامت ‎$(mathcal{s}_{1}‎, ‎mathcal{s}_{2}) $‎ نشان داده و تعریف می کنیم: $$(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})={minmathcal{c}(r)|s_{1}inmathcal{s}_{1},s_{2}inmathcal{s}_{2}, ext{وجود دارد},0 ‎ ightarrow s_{1} ightarrow m ightarrow s_{2} ightarrow 0, ext{دنباله? دقیق}}.$$ یکی از اهداف اصلی این پایاننامه که بر اساس مرجع ‎cite{12}‎ تدوین شده است، یافتن یک شرط لازم و کافی برای ‎ extbf{سر}‎ بودن زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})~$‎ می باشد. برای مثال، زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{{ m f.g.}},mathcal{s}_{{ m artin}})~$‎ را در نظر می گیریم که در آن ‎$mathcal{s}_{{ m f.g.}}~$‎ زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ متشکل از ‎$r~$-‎مدول های متناهی مولد و ‎$mathcal{s}_{{ m artin}}~$‎ زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ متشکل از ‎$r~$-‎مدول های آرتینی است. ایده? اصلی مرجع ‎cite{12}‎، قضیه? نقی پور و بهمن پور در مرجع ‎cite{10}‎ است که نشان دادند زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{{ m f.g.}},mathcal{s}_{{ m artin}})~$‎، یک زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ است. با این وجود یک زیرکاتگوری مانند ‎$(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})~$‎ لزوماً زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ نیست. در حقیقت یک زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{{ m artin}},mathcal{s}_{{ m f.g.}})~$‎ یک زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ نیست. ‎‎ لذا در این پایاننامه برای اینکه زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})~$‎ یک زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ باشد، یک شرط لازم و کافی بدست می آوریم و مثال های متعددی از زیرکاتگوری های ‎ extbf{سر} $(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})~$‎ را ارائه خواهیم کرد‎.‎ به ویژه، خواهیم دید که زیرکاتگوری های ذیل، زیرکاتگوری های extbf{سر } هستند: ‎(1)‎ یک زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{1}‎, ‎mathcal{s}_{2}) $‎ برای زیرکاتگوری ‎ extbf{سر} $~mathcal{s}_{1}$‎و ‎$mathcal{s}_{2}$‎ از کاتگوری ‎$r$-‎مدول های متناهی مولد‎;‎ ‎(2)‎ یک زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{{ m f.g.}},mathcal{s})$‎ برای یک زیرکاتگوری ‎ extbf{سر} $mathcal{s}$‎ از ‎$mathcal{c}(r)$;‎ ‎(3)‎ یک زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s},mathcal{s}_{{ m artin}})$‎ برای یک زیرکاتگوری extbf{سر ‎}$mathcal{s}$‎ از ‎$mathcal{c}(r)$.‎ در این پایاننامه تمام حلقه ها نوتری، جابجایی و یکدار و تمام مدول ها یکانی هستند. اگر‎$r~$‎ یک حلقه باشد آنگاه کاتگوری همه ‎$r$-‎مدول ها و ‎$r$-‎همومورفیسم ها را با علامت ‎$mathcal{c}(r)~$‎ نشان می دهیم. همچنین این پایاننامه در پنج فصل به ترتیب زیر تنظیم شده است‎.‎ در فصل اول، تعاریف و مفاهیم مقدماتی از جبرجابجایی که در فصل های بعدی مورد استفاده قرار می گیرند، آورده شده است.در فصل دوم، مفهوم زیرکاتگوری های ‎$(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})~$‎ از توسیع مدول های مربوط به زیرکاتگوری های ‎ extbf{سر} $mathcal{s}_{1}$‎و ‎$mathcal{s}_{2}$‎ از ‎$mathcal{c}(r)~$‎ و خواص اساسی آنها مورد مطالعه قرار می گیرد‎.‎ در فصل سوم، زیرکاتگوری های extbf{سر ‎}‎از ‎$r~$-‎مدول های متناهی مولد را مورد بحث قرار خواهیم داد. به ویژه نشان می دهیم که مثال ‎$(1)$‎ بالا یک زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ از ‎$r~$-‎مدول های متناهی مولد است‎.‎ در فصل چهارم، یک شرط لازم و کافی را برای ‎ extbf{سر}‎ بودن زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})~$‎ بدست می آوریم‎.‎ در فصل پنجم، نتایج خود را در نظریه? مدول های کوهمولوژی موضعی که در شرط ‎$(c_{i})~$‎ صدق می کند، بکار می بریم.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.