بسیاری از شبکه های واقعی، دارای ساختار همایه هستند. همایه ها ساختارهای توپولوژیکی موجود در یک شبکه در یک مقیاس میانی میباشند. آن ها در واقع گروههایی از رئوس شبکه هستند که اتصالات شبکه درون آنها خیلی بیشتر از اتصالات بین خود این گروهها می باشد. تا کنون الگوریتمهای زیادی جهت شناسایی همایه ها ارائه شده است. در ابتدا، یک روش طیفی کلی برای پیدا کردن همایه های شبکه بر پایهی مفاهیم متمم شبکه و ساختار پادهمایه ارائه میکنیم. نتایج تحلیلی و محاسباتی نشان می دهند که استفاده از ویژه بردارهای ماتریس های متمم گراف برای پیدا کردن همایه های شبکه بهتر از ویژه بردارهای ماتریس های خود گراف است. به نظر می رسد که استفاده از ویژه بردارهای ماتریس لاپلاسی بهترین گزینه برای این الگوریتم می باشد. چرا که در این صورت الگوریتم همایه های با اختلاف اندازه ی زیاد را نیز پیدا می کند. همچنین یک روش طیفی جدید برای یافتن همایه های شبکه ارائه می شود که از ویژه بردارهای مختلط ماتریس های شبکه ی جهت دار متناظر با شبکه ی اصلی استفاده می کند. روش ارائه شده کاملا وابسته به نوع جهت دهی شبکه می باشد. نقش نحوه ی جهت دهی بحث شده و نشان داده شده است که اگر شبکه را طوری جهت دار کنیم که تفاوت درجات ورودی و خروجی کلیه ی رئوس شبکه کمینه شود، ویژه بردارهای ماتریس لاپلاسی این گراف جهت دار به خوبی ساختار همایه های شبکه را آشکار می کنند. الگوریتم دیگری نیز برای شناسایی همایه ها و رئوس همپوشانی آن ها با استفاده از روش فاکتورگیری یک ماتریس نامنفی nmf معرفی شده است. نتایج محاسباتی نشان میدهند که ماتریس همبستگی رئوس شبکه بهترین انتخاب برای ماتریس مشخصه در روش nmf می باشد. نحوه ی عملکرد الگوریتم های فوق بر روی شبکه های واقعی و مصنوعی که دارای ساختار همایه هستند، امتحان شده است.

مدل هابارد یونی یکی از مدلهای مهم در فیزیک حالت جامد است که همواره به دست آوردن نمودار فاز آن مورد توجه بسیاری از محققان بوده است. اما بررسی چنین مدلی به دلیل حضور عملگرهای خلق و فنای فرمیونی پادجابه جا شونده در آن بسیار دشوار است به همین علت به بررسی همیلتونی کلاسیکی می پردازیم که چالشهای حالت کوانتومی را ندارد. این مدل مدل هابارد یونی کلاسیک نام دارد که به روش تبدیل یکانی پیوسته به دست آمده است. در این پایان نامه با استفاده از روش مونت کارلوی کلاسیک خواص این مدل را برای شبکه یک و شبکه دو بعدی مربعی در دمای غیرصفر و در حالت نیمه پر بررسی کرده ایم.گرمای ویژه برای شبکه 2و4و6 سایتی به صورت تحلیلی به دست آمده و با نتایج حاصل از کد مونت کارلو مقایسه می شودو بعد از اطمینان از درستی کد مونت کارلو محاسبات را در اندازه های بزرگتر ادامه میدهیم. همچنین روش ماتریس گذار عنوان می شود و نتایج به دست آمده از این روش با کد مونت کارلو در اندازه های بزرگتر مقایسه میشوند که تطابق خوبی نشان میدهند. شبیه سازی این مسئله و به دست آوردن کمیتهای فیزیکی نظیر گرمای ویژه و یونیدگی برای حالت یک بعدی حاکی از گذار فاز عایق نواری-فلزی-عایق مات در دمای صفر بود در حالی که گذار فاز در دمای محدود برای آن مشاهده نشد. در صورتی که همین محاسبات برای حالت دو بعدی گذار فاز لاندا در دمای محدود را نشان میدهد.

چکیده ندارد.

تا کنون الگوریتم های عددی بسیاری برای سیستم های الکترونی همبسته ی قوی ارائه شده و روی سیستم های متعددی نیز به کار گرفته شده اند، همچون روش های مونت کارلو و گروه بازبهنجارش ماتریس چگالی. اما باز هم خاصیت حالت پایه بدلیل نارسایی ابزارهای عددی، یک مسئله ی چالش برانگیز است. در این پایان نامه، روش گروه بازبهنجارش انتگرال مسیر را معرفی می کنیم. این روش می تواند روی هر ساختار شبکه عمل کند و امکان شبیه سازی های موثری را ارائه دهد که بوسیله ی الگوریتم های موجود دیگر نمی تواند انجام شود. بنابراین ما روش گروه بازبهنجارش انتگرال مسیر را برای مدل هابارد بر روی شبکه ی مربعی به کار می گیریم. لغات کلیدی: گروه بازبهنجارش انتگرال مسیر، مدل هابارد، دترمینان اسلیتر، سیستم های الکترونی همبسته ی قوی.

در این پایان نامه می خواهیم رفتار جایگزیدگی حالت های الکترونی در گرافین دو لا یه ی و نوار های نانومتری با آرایش a-b در حضور بی نظمی قطری با مدل تنگابست را بررسی کنیم. گرافین دو لایه ی یک نیمه رسانای بدون گاف می باشد که از دو زیر شبکه a و b تشکیل شده است. اگر لایه های آن را در میدان های الکتروستاتیکی مختلفی قرار دهیم گاف انرژی محدودی باز می شود که این یکی از مزیت های گرافین دو لایه ی بر گرافین تک لایه-ی می باشد چون اگر خواسته باشیم گرافین تک لایه ی را گاف دار کنیم باید گرافین را در قطعات نانومتری بسازیم که قطعات نانومتری مرزهای ناصافی دارند که اثرات قابل توجهی روی ویژگی های ترابرد در گرافین می گذارد. علت باز شدن گاف در طیف انرژی به این بر می گردد که ما با اعمال میدان تقارن بین اتم های a و b را می-شکنیم و جایگزیدگی در گرافین دو لایه ی اتفاق می افتد. اثر بی نظمی هم مانند اثر اعمال میدان می باشد که تقارن بین اتمها را می شکند. ما برای مطالعه اثر بی نظمی از روش عددی چند جمله ای های چبیشف kpm که مبتنی بر بسط بر حسب مجموعه ی کاملی از چند جمله ای های کامل می باشد استفاده می کنیم. با این روش عددی دقیق می-توانیم شبکه های بزرگ را نیز مورد مطالعه قرار دهیم. این روش عددی یک سری نوسانات ذاتی موسوم به نوسانات گیبس دارد که برای رفع آنها از فاکتور های گیبس استفاده می کنیم. از این روش عددی چگالی حالت های موضعی را بدست می آوریم که با آن کمیتی معروف به نام پارامتر تشخیص را می سازیم که با آن بتوانیم حالت های جایگزیده را از حالت های گسترده تمییز دهیم و ببینیم که به ازای چه شدت بی نظمی گذار فلز به عایق در گرافین دو لایه ی را خواهیم داشت. نتایج محاسبات را در دو رژیم جایگزیدگی ضعیف و قوی آورده ایم. در رژیم جایگزیدگی ضعیف حالت ها در ترابرد شرکت می کنند و جایگزیده نمی شوند ولی در رژیم جایگزیدگی قوی حالت-ها در لبه های نوار شروع به جایگزیده شدن می کنند که این حالت ها در ترابرد شرکت نمی کنند. با افزایش شدت بی-نظمی، شدت بی نظمی بحرانی داریم که تمام حالت ها وجود دارند ولی در رسانش شرکت نمی کنند که می گوییم گذار فلز به عایق رخ می دهد. برای تجزیه و تحلیل دقیق نتایج بدست آمده ما پارامتر نظم تعریف می کنیم. پارامتر نظم را برای مرتبه های بسط مختلف بدست آورده ایم می بینیم که با افزایش مرتبه های بسط شدت بی نظمی بحرانی که گذار فلز به عایق رخ می دهد تغییر ی نمی کند. همچنین از این پارامتر برای مشاهده ی رفتار مقیاس بندی استفاده کرده ایم که با دیدگاه های رایج در مقیاس بندی که با افزایش اندازه ی سیستم حالت ها شروع به جایگزیده شدن می-کنند سازگار می باشد.

حالت های هم گام در شبکه های پیچیده ای که از نوسان گرهای فاز در حال برهم کنش تشکیل شده اند اهمیت ویژه ای دارند. در این پایان نامه پس از تعریف و بررسی پایداری جواب های هم گام نشان می دهیم که به جز این حالت ها، پاسخ های دیگری به نام حالت های پایا نیز قابل تعریف اند. که در آن ها اگرچه فاز نوسان گرها با زمان تغییر می کند این تغییرات با الگوی خاصی صورت می گیرد به طوری که پارامترنظم به صورت یک تابع متناوب از زمان در می آید. همچنین پایداری این حالت ها در شبکه های کامل، دوبخشی کامل، شبه دوبخشی کامل و با توزیع فرکانس دوقله ای مورد بررسی قرارگرفته است. هم چنین جواب های مسئله به صورت عددی و توسط شبیه سازی کامپیوتری نیز مورد بررسی قرار گرفته و تطابق حل عددی و تحلیلی به خوبی دیده می شود.

پدیده هم گام سازی در مجموعه ای از اجزای دارای برهم کنش، موضوع تحقیقاتی علوم گسترده ای از جمله فیزیک، شیمی، زیست شناسی و علوم اجتماعی است. یک رهیافت موفق برای حل مساله ی هم گام سازی در نظر گرفتن هر یک از اجزای مجموعه به عنوان یک نوسانگر فاز است. در این پایان نامه نوسانگرهای فاز در حال برهم کنش در شبکه های پیچیده مورد بررسی قرار گرفته اند. ابتدا به تعریف شبکه های پیچیده می پردازیم و با چهار شبکه اصلی جهان کوچک، منظم، بی مقیاس و تصادفی آشنا می شویم و با خصوصیات اصلی شبکه ها یعنی «ضریب خوشگی» و «طول کوتاهترین مسیر» آشنا شده و نحوه محاسبه تحلیلی و هم چنین نحوه شبیه سازی آن ها را فرا خواهیم گرفت و تعریف های مختلف را با هم مقایسه خواهیم کرد. سپس برهم کنش نوسانگرها در دو شبکه منظم و جهان کوچک با استفاده از مدل کوراموتو شبیه سازی و بررسی خواهد شد و حالات پایدار آن ها بدست آورده می شود. در ادامه نتایج با دو شبکه بی مقیاس و تصادفی مقایسه شده است. نشان داده خواهد شد که بر خلاف دو شبکه تصادفی و بی مقیاس که تنها یک حالت پایدار با پارامتر نظم (r) مساوی با یک (هم گامی کامل) دارند، شبکه منظم دو حالت پایدار r=1 و r=0 دارد. علاوه بر این روشی برای شناخت حالات پایدار در شبکه منظم ارائه شد، که بر خلاف روش معمول (ماتریس پایداری) که نیاز به محاسبات پیچیده و طاقت فرسا به ازای هر حالت ایستا دارد، در این روش تنها از مشاهده ظاهر شبکه در حالت ایستا می توان پی به پایداری و یا عدم پایداری آن برد. در شبکه جهان کوچک بر خلاف شبکه منظم که فقط دو حالت پایدار r=1 و r=0 دارد و دو شبکه بی مقیاس و تصادفی که فقط حالت پایدار r=1 دارند، مشاهده شد که بی نهایت حالت پایدار با پارامتر نظم بین صفر و یک دارد. سپس به بررسی علت این پدیده پرداخته شد و وجود دسته هایی از نوسانگرهای ناهم گام با شبکه در آن مشاهده و اثبات شد. سپس افزایش نوفه سفید را بر روی شبکه جهان کوچک مورد بررسی قرار خواهیم داد و مشاهده می کنیم که بر خلاف شبکه های تصادفی و بی مقیاس که افزایش شدت نوفه سفید به سیستم، باعث کاهش هم گامی نوسانگرها و در نتیجه کاهش پارامتر نظم می شود، در شبکه جهان کوچک در بازه ای از شدت نوفه، اختلال خارجی (نوفه) کمک به هم گام شدن بیشتر نوسانگرها می کند. این پدیده که به پدیده هم گامی تصادفی مشهور است باعث بروز اتفاقاتی زیبا درون طبیعت می شود، مانند هم گامی نرون های مغز، نوسانگرهای ژن و غیره. در ادامه علت وقوع این پدیده در شبکه جهان کوچک را بررسی می کنیم. برای این منظور با پارامترهایی از جمله «خوشه» آشنا می شویم و نواقص آن را شناسایی می کنیم. برای نفع نواقص موجود پارامتر جدیدی به نام «خوشه های هم بسته» را تعریف خواهیم کرد و با استفاده از آن و محاسبه انحراف معیار مربوطه، خواهیم دید چگونه نوفه کمک به یکسان کردن فاز نوسانگرها در بازه ای از شدت خواهد کرد. در نهایت شرایطی که باعث بروز هم گامی تصادفی در شبکه جهان کوچک می شوند را خواهیم یافت و وابستگی بازه فاز اولیه به پدیده هم گامی تصادفی را مورد تحقیق قرار می دهیم.

محوریت اصلی این پایان نامه بررسی نظریه ی پیوندهای ظرفیت تشدیدی بر روی شبکه های دو بخشی می باشد. از پایه ترین قسمت ها در این زمینه که مربوط به آشنایی با مدل هایزنبرگ به عنوان ریزساخت این نظریه و حسابان پیوند ظرفیت تشدیدی که لازمه ی محاسبات در این زمینه می باشد، شروع می کنیم.این حسابان شامل روابط هم پوشانی بین این پیوندها و تاثیر لین پیوندها بر انرژی سیستمی که با مدل هایزنبرگ توصیف می شود، می باشد. سعی بر این است که این حسابان ها کلی باشند و محدودیت در نوع شبکه و تعداد triplon نداشته باشند.سپس تابع موج حالت پایه و اولین حالت برانگیخته یک مولکول بنزن گونه را محاسبه می کنیم. حالت پایه ای که ککوله برای این مولکول پیشنهاد داد شامل پیوندهایی با طول پیوندهای کوتاه تر بود. در این پایان نامه یک گام جلوتر می رویم و با حل تحلیلی و به صورت دقیق در می یابیم که پیوندهایی با طول پیوندهای بلندتر نیز در دو حالت پایه و حالت برانگیخته سهیم می باشند ولی سهم آن ها نسبت به پیوندهایی که ککوله در نظر گرفت کم تر است. به طوری که در حالت پایه (اولین حالت برانگیخته) نسبت ظرایب پیوندهای کوتاه تر به بلندتر بزرگ تر از یک می باشد. اگر یکی از این پیوندهای ظرفیتی که در حالت یگانه قرار دارد را بشکنیم، حالت اسپینی سه گانه تشکیل می شود و یک حالت برانگیخته موسوم به triplon به وجود می اید. در ادامه به بررسی تحول زمانی triplon در یک مولکول بنزن می پردازیم و تابع گرین جهت گذار بین حالت-هایی با طول پیوند مختلف را بررسی می کنیم و همان طور که انتظار داریم (با توجه به ضرایب بسط حالت پایه و اولین حالت برانگیخته) گذار از حالت هایی با طول پیوندهای کوتاه تر به حالت هایی با طول پیوندهای بلندتر دشوارتر می باشد. چرا که سیستم در حالت هایی با طول پیوندهای کوتاه تر پایدارتر می باشد. در نهایت سیستم هایی بزرگ تر از یک مولکول بنزن را در نظر می-گیریم و با روش شبیه سازی مونت کارلوی کوانتومی انرژی و تابع موج وردشی حالت پایه برای شبکه ی مربعی و گرافینی و پلی اسین ها را که از خانواده ی پلیمرها می باشند محاسبه می کنیم. از این محاسبات در می یابیم که در شبکه ی گرافینی و مربعی نظم نیل بر قرار می باشد. برای پلی اسین ها همبستگی را نیز محاسبه می کنیم و دیگر شاهد نظم نیل در سیستم نمی باشیم و تابع موج توصیف کننده ی سیستم کوتاه برد است

در این پژوهش ابتدا به بررسی مدل آیزینگ بر روی شبکه ی دو بعدی مربعی و کاگومه به روش بسط سری دمای بالا پرداخته شد. با استفاده از روش بسط سری دمای بالا، بسط دمای بالای پذیرفتاری مغناطیسی میدان صفر مدل آیزینگ فرومغناطیس بر روی شبکه مربعی تا مرتبه ی 12 محاسبه شد. سپس به کمک تقریب پد به آنالیز بسط سری پذیرفتاری مغناطیسی میدان صفر پرداخته و دمای بحرانی و نمای بحرانی محاسبه شد. با بالا رفتن تعداد جملات بسط نتایج نشان دادند که دمای بحرانی به یک مقدار عددی مشخص میل می کند. نتیجه ای که به کمک تقریب پد برای نمای بحرانی حاصل شد با بالا رفتن مرتبه ی بسط مطابق فرضیه جهان شمولی در تطبیق خوبی با نمای بحرانی آیزینگ مربعی با حل دقیق بود. به طوری که می توان نتیجه گرفت که با بالا بردن تعداد جملات بسط سری می توان به نمای به دست آمده از حل دقیق مدل آیزینگ مربعی رسید. در ادامه بسط دمای بالای پذیرفتاری مغناطیسی میدان صفر مدل آیزینگ فرومغناطیس و مدل آیزینگ ترکیبی با دو برهمکنش فرومغناطیس و یک برهمکنش پادفرومغناطیس و مدل آیزینگ ترکیبی با دو برهمکنش پادفرومغناطیس و یک برهمکنش فرومغناطیس و مدل آیزینگ پادفرومغناطیس بر روی شبکه دو بعدی کاگومه تا مرتبه ی 12محاسبه و به کمک تقریب پد تحلیل شد. شبکه کاگومه شبکه ای غیر براوه متشکل از مثلث های پایه است. نتایج حاصل از این بررسی به این صورت بود که دو مدل آیزینگ فرومغناطیس و مدل آیزینگ ترکیبی با دو برهمکنش پادفرومغناطیس و یک برهمکنش فرومغناطیس به طور کاملا مشابه رفتار می کنند به نحوی که دمای بحرانی برای هر دو مدل تقریبا در یک دمای بحرانی رخ می دهند. نمای بحرانی پذیرفتاری مغناطیسی میدان صفر این دو مدل مطابق با فرضیه جهان شمولی در تطابق بسیار خوبی با نمای بحرانی به دست آمده برای پذیرفتاری مغناطیسی میدان صفر مدل آیزینگ مربعی با حل دقیق بود. اما در مورد دو مدل آیزینگ ترکیبی با دو برهمکنش فرومغناطیس و یک برهمکنش پادفرومغناطیس و مدل آیزینگ پادفرومغناطیس به علت اثر ناکامی مغناطیسی هیچ گونه گذار فازی مشاهده نشد. در آخر بسط گراف آزاد پذیرفتاری مغناطیسی میدان صفر مدل xy بر روی شبکه مربعی تا مرتبه 8 محاسبه شد. نتایج حاصل از این بررسی گذار فازی را برای این سیستم نشان نداد.

در این پایان نامه، بنا داریم که به دو بحث در رابطه با ناهمگنی ها در سیستم های ابررسانا بپردازیم. یکی از این مباحث عبارت است از محاسبه ی حالت های مقید اندریف در پیوندهای ابررسانا و فلزنرمال. حل معادله ی میدان میانگین بوگولیوبوف–دوژن برای سیستم های ناهمگن ابررسانا، وجود حالت هایی مقید و کوانتیزه ‎–‎حالت های مقید اندریف- با انرژی های کمتر از انرژی گاف ابررسانایی، را به دست می دهد. حل تحلیلی این معادله برای یک بعد و همچنین برای هندسه های ساده در دو و سه بعد، امکان پذیر است، اما برای هندسه های پیچیده روش های عددی مورد نیاز است. در این پایان نامه روش عددی جدیدی، ‎ kpm، برای حل این معادله ارائه شده است. این روش مبتنی بر بسط کمیت های فیزیکی، از جمله چگالی حالات الکترونی، بر حسب مجموعه ی چندجمله ای های کامل چبیشف است. در فصل ‎2‎ معادله ی بوگولیوبوف–دوژن را، برای چند پیوند ابررسانا-فلزنرمال، با استفاده از این روش عددی، حل کرده ایم. در این جا، برای جدا کردن حالت های مقید به دست آمده از حالت های غیرمقید، از معیار چگالی حالات الکترونی موضعی استفاده شده است؛ بدین معنی که چگالی حالات موضعی، برای حالات مقید، در ناحیه ی فلزنرمال مقادیر غیرصفر دارد و برای نواحی ابررسانا به سرعت به صفر میل می کند‎. ‎‎ مبحث دیگر ارائه شده در این پایان نامه، محاسبه ی ابرجریان در پیوندهای جوزفسون بر پایه ی گرافین، است. اخیراً، این کمیت با استفاده از روش های مختلفی از جمله ماتریس پراکندگی، روش خودسازگار و انتشارگر زوج کوپر، محاسبه شده است، اما در این جا قصد داریم که آن را با استفاده از روش اختلالی تابع گرین در چارچوب انتگرال مسیر و با استفاده از هامیلتونی تونل زنی بین ناحیه ی ابرسانا و ناحیه ی نرمال گرافین، محاسبه کنیم. ویژگی اصلی کار ما در این جا در این است که ما در ناحیه ی ابررسانا هم، سیستم را گرافین در نظر گرفته ایم. یعنی فرض کرده ایم که ابررسانایی بر روی شبکه ی لانه زنبوری گرافین، به صورت جفت شدگی الکترون های موجود در دره های مقابل، القا می شود. نشان داده می شود که پایین ترین مرتبه ی اختلال ، بر حسب دامنه ی تونل زنی، که در جریان جوزفسون شرکت می کند، مرتبه ی چهارم اختلال است. هامیلتونی تونل زنی را، شامل تونل زنی الکترون های درون یک دره و تونل زنی بین دره های مقابل، فرض کرده ایم. محاسبات ابرجریان جوزفسون، در دو حالت با تونل زنی بین دره ها و بدون تونل زنی بین درها، انجام شده و نتایج آن نشان داده شده است. درنتایج ابرجریانی که درمحاسبه ی آن تونل زنی الکترون ها بین دره های مقابل لحاظ شده است، بر حسب پهنای پیوند جوزفسون که در واقع همان فاصله ی ابرساناها از هم می باشد، نوسانات تیزی دیده می شود که طول موج این نوسانات متناسب با عکس بردار موجی است که دو دره را در ناحیه ی اول بریلوئنِ گرافین به هم متصل می کند. این نوسانات در نتایج محاسبات با روش های دیگر، مشاهده نشده است. اما خواهیم دید که نتایج محاسباتی که در آن تونل زنی بین دره ها وجود ندارد، با نتایج محاسبات دیگران تطابق خوبی دارد. ‎

در حالت کلی گذارفاز ها را به دو دسته تقسیم می کنیم : گذارفاز گرمایی و گذارفاز کوانتومی. گذار فاز گرمایی گذارفازی است که در اثر افزایش اهمیت آنتروپی با افزایش دما در تعیین فاز سیستم اتفاق می اُفتد. در مقابل، گذارفاز کوانتومی گذارفازی است در دمای صفر مطلق اتفاق می اُفتد و از اُفت و خیز های ناشی از اصل عدم قطعیت هایزنبرگ ناشی می شود. در دمای صفر مطلق یک سیستم در حالت پایه خود قرار می گیرد پس گذارفاز کوانتومی بین حالت پایه های ممکن برای یک سیستم در فضای پارامتری هامیلتونی اتفاق می اُفتد. مطالعه گذارفازهای کوانتومی در دمای صفر مطلق برای یک ماده یک قدم ضروری برای درک کامل خصوصیات این ماده در دماهای بالای صفر است. در این تحقیق گذارفاز کوانتومی در سیستم های اسپینی را بررسی می کنیم. یکی از روش هایی که برای بررسی سیستم های اسپینی بکار می رود روش بسط سری ها است. روش بسط سری ها شامل انواع بسط سری های دمای بالا و دمای پایین و بسط خوشه است. در این پایان نامه روش بسط خوشه را مطالعه می کنیم. بسط خوشه روشی اختلالی بر اساس نظریه اختلال غیر تبهگن ریلی-شرودینگر است که برای بدست آوردن سری های اختلالی تا مرتبه های بالا برای سیستم های کوانتومی بس ذره ای توسعه داده شده است. روش بسط خوشه خود دو نوع دارد که بسط از نوع دمای بالا و بسط از نوع دمای پایین نامیده می شوند. با استفاده از روش بسط خوشه کمیت هایی مثل انرژی حالت پایه، انرژی حالت برانگیخته، مغناطش و پذیرفتاری مغناطیسی به طور اختلالی تا یک مرتبه بالا محاسبه می شوند.در بسط خوشه مسئله محاسبه سری های اختلالی در یک شبکه نامحدود به بررسی تعدادی خوشه محدود تبدیل می شود. پس از بدست آمدن سری های اختلالی مرتبه بالا، آنها را با روش های استاندارد آنالیز سری ها بررسی می کنیم. هدف از آنالیز سری ها مطالعه خصوصیات سیستم در باز های وسیع تر در فضای پارامتری و همچنین مطالعه خواص بحرانی کمیت ها است. در نهایت کاربرد روش بسط خوشه را در دو مسئله بررسی می کنیم. اول مدل هایزنبرگ آنتی فرومغناطیس با برهم کنش های همسایه اول و همسایه دوم روی شبکه لانه زنبوری را بررسی می کنیم. برای انرژی حالت پایه، مغناطش و پذیرفتاری موازی سیستم سری هایی تا مرتبه هشتم اختلالی بدست می آوریم و سپس سری های مغناطش را برون یابی می کنیم و یک گذارفاز کوانتومی مر بوط به صفر شدن مغناطش بدست می-آوریم. در مسئله دوم مدل آیزینگ کوانتومی با برهم کنش های ناکام بین همسایه های اول و دوم، در یک میدان عرضی را تحقیق می کنیم. این مدل سه فاز شناخته شده دارد، که فازهای فرومغناطیس، آنتی فاز و پارامغناطیس نام دارند، و یک فاز نسبتا ناشناخته به نام فاز شناور دارد. فاز-های فرومغناطیس و آنتی فاز فازهای منظم این مدل در یک میدان عرضی ضعیف هستند و فاز پارامغناطیس فاز نامنظم این مدل است در میدان عرضی قوی برقرار است. فاز شناور یک فاز میانه بین فاز های منظم و پارامغناطیس است. سوالات بسیاری در مورد طبیعت و محدوده فاز شناور وجود دارد. سری هایی اختلالی برای انرژی حالت پایه، مغناطش و پذیرفتاری مغناطیسی حول حد فرومغناطیس را تا یک مرتبه بالا (24) بدست آورده و با استفاده از روش های استاندارد آنالیز سری ها نقاط بحرانی و نماهای بحرانی مربوط به گذار از فاز فرومغناطیس بدست آورده ایم. انتظار داریم که نما های بحرانی گذافازکوانتومی فرو-پارا در یک مدل یک بعدی آیزینگ کوانتومی با نما های بحرانی گذارفاز کلاسیکی فرو-پارا در مدل کلاسیکی آیزینگ در دو بعد برابر باشد. در ستی این رابطه را در محدودی بزرگی مشاهده می کنیم. اما در یک محدوده خاص کوچک انحرافی از این نماها را مشاهده کرده ایم.

چکیده کشف گرافین و ویژگی‎های استثنائی ِ الکترونیکی و مغناطیسیِ آن توجه بسیاری از دانشمندان را به خود جلب کرده است.در این میان، مشتقات گرافینی از جمله نانوروبان‎های گرافینی و ریزساختارهای نانومتری آن برای استفاده در صنایع اسپبن‎الکترونی و نانوالکترونیکی مناسب هستند.مطالعات نظری نشان می‎دهند که مغناطش در این سیستم‎ها به دلایل مختلف مثل کاهش ابعاد یا در اثر بی‎نظمی و تهی‎جای‎ها ایجاد می‎شوند. با استفاده از مدل هابارد در تقریب میدان میانگین مغناطش در ریزساختارهای نانومتری گرافینی‎ِصفربعدی، نانوروبان‎های گرافینی ِ یک بعدی و گرافین انبوهه بررسی شد. در میان ریزساختارهای نانومتری گرافینی شکل‎های مثلثی ،پاپیونی و کورونن مطالعه شده‎اند و در مورد این‎که چگونه شکل آن‎ها و ناهماهنگی در تعداد اتم‎هایی که به هر زیرشبکه تعلق دارد منجر به ایجاد حالت‎های با انرژی صفر و در نتیجه مغناطش در این سیستم‎ها می‎شود؛ مطالعه شده است. ایجاد حالت‎های شبه‎جایگزیده در سطح فرمی ِنانوروبان‎های دسته‎صندلی و گرافین انبوهه در اثر ایجاد نقص که منجر به ایجاد ممان‎های مغناطیسی ِ موضعی می‎شود؛ نیز بررسی شد. با در نظرگرفتن ِ مدل هابارد توسعه‎یافته در تقریب میدان میانگین حالت‎های اسپین‎قطبیده و بارقطبیده که به ترتیب در اثر دافعه‎ی کولمب جایگاهی‎،u،‎ و دافعه‎ی کولمب نزدیکترین همسایگان‎،v،‎ در نانوروبان‎های گرافینی ِ زیگزاگ ایجاد می‎شوند؛ بررسی شد. در پایان اثر بی‎نظمی بر چگالی حالات نانوروبان گرافینی زیگزاگ را با در نظر گرفتن مدل بی‎نظمی اندرسون به همراه مدل تنگابست نزدیکترین همسایگان و مدل هابارد میدان میانگین بررسی کردیم.

?اخیرا بررس مواد همبستهی قوی مورد توجه زیادی قرار گرفته است که ی از دلایل آن، مشاهده ی بررساناهای? ?دمای بالا در این دسته از مواد است. ی از سادهترین مدلها برای مطالعه ی این مواد، مدل هابارد است. در این مدل،??علاوه بر انرژی جنبشی الکترونها، برهمکنش روی جایگاه الکترونها نیز لحاظ می شود. در حد برهمکنشهای روی? ?جایگاه بزرگ و حالت نیمه پر،این مدل به یک مدل اسپینی موثر به نام مدل هایزنبرگ تبدیل می شود. در این پایان نامه? ?مدل هایزنبرگ پادفرومغناطیس با برهم کنش همسایه ی دوم را بر روی شبکه ی لانه زنبوری مطالعه می شود. علاوه بر? ?انگیزههای تجربی، تقارنهاو ارتباط این شبکه ی دوبعدی به دسته ای از ابررساناهای دمای بالا ، عدد همآرایی و غیر برآوه? ?بودن شبکه ی لانه زنبوری، مطالعه ی آن را به لحاظ نظری نیز جالب کرده است. شبکه لانه زنبوری یک شبکه ی دوبعدی? ?است و در حالت که هامیلتونی تنها شامل برهم کنشهای پادفرومغناطیس بین همسایهای اول است، اسپینها در حالت? ?پایه دارای نظم نل هستند. برای مطالعه ی پایداری نظم نل در این شبکه با افزایش شدت برهم کنش همسایهی دوم، از روش? ?مونت کارلوی وردش و تابع موج وردش پیوند ظرفیت تشدیدی )? (rv b?استفاده می کنیم. این محاسبات نشان می دهد? ?که فاز نل تا نقطه ی 2 ?0 ? 1? j2 /j?به مرور کاهش می یابد و در این نقطه، طی یک گذار فاز، وارد فاز بی نظم می شود.?? بعد از این نقطه استفاده از نتایج محاسبات مونت کارلو اعتبار ندارد و باید از روش دیگری برای مطالعه ی ناحیه ی بی نظم? ?استفاده کنیم. یکی از این روشها که در همه ی ناحیه ها معتبر است روش قطری سازی دقیق است. مشکل روش قطری? ?سازی دقیق این است که پایه های کامل که برای نمایش ماتریس هامیلتونی استفاده می شود با بزرگ کردن اندازه ی شبکه? ?به طور نمایی افزایش می یابد. در این پایان نامه ما زیر مجموعه ای از پایه ی کامل را برای قطری کردن هامیلتونی معرف? ?می کنیم. ابعاد ماتریس هامیلتونی در این پایه ها به مراتب از بعاد نمایش ماتریس کامل هامیلتونی کوچ تر است. این? ?موضوع به ما اجازه می دهد که اثرات اندازه ی محدود را بر روی کمیتهای فیزیکی بهتر بررسی کنیم. نتایج محاسبه ی? ?توابع همبستگی تعریف شده ی فاز بلوک را در نزدی فاز منظم مغناطیس آشکار می کند. این فاز با افزایش شدت? ?برهم کنش همسایه ی دوم به یک فاز جفت دندانه ای تبدیل می شود. تغییرات ناگهانی تابعهای ساختار نشان می دهد که? ?این گذار فاز احتمالا مرتبه ی یک است. برای این اثرات اندازه ی محدود را به طور کامل حذف کنیم، این ناحیه ی از? ?مدل را با روش تحلیل عملگرهای پیوندی مجددا مطالعه می کنیم. در این روش برای خلق و فنای حالتهای چهارگانه ی? ک?ی جفت اسپین عملگرهایی تعریف می کنیم که به آنها عملگرهای پیوندی می گویند. با بازنویسی هامیلتونی برحسب? ?این عملگرها و قطری کردن آن بعد از بردن عملگرها به فضای فوریه، می توان حالت پایه و برانگیختگی های دستگاه? ?را محاسبه کرد. برانگیختگی های این مدل می توانند نقاط گذار فاز را مشخص کنند. این روش نقطه ی گذار فاز را در? ?80 ?0 = 1? j2 /j?گزارش می کند. همین محاسبات را برای عملکرهای یک خوشه ی شش اسپین به جای دواسپین تکرار? ?می کنیم. استفاده از این عملگرها نقطهی گذار فاز را تغییر نمی دهد ولی انرژی حالت پایهای که از این عملگرها به دست? ?م آید تا 3 ?0 ? 1? j2 /j?کمتر از حالت قبل است. بنابراین بعد از گذار فاز به فاز بینظم در بازهی 3 ?0 1?0? 8 j2 /j???تا 3 ?0 ? 1? j2 /j?حالت پایهی بلوک پایدارتر است و بعد از آن طی یک گذار فاز مرتبهی اول فاز جفت پایدار می شود.?

اثر متقابل فاز پادفرومغناطیس (af) و ابررسانایی (sc) همواره مورد توجه فیزیکدانان تجربی و نظری بوده است. رقابت میان دو پارامتر نظم متفاوت در بسیاری از سیستم های گوناگون از جمله ابررساناهای دمای بالا دیده شده است. در برخی ترکیبات مثل اکسید مس فازهای پادفرومغناطیس و ابررسانایی بسیار نزدیک بهم ولی مجزا هستند؛ در حالی که در ترکیبات دیگری از قبیل ابررساناهای آلی، ترکیبات سه تایی و ترکیبات فرمیون های سنگین، دو فاز غالباً با هم مماس می شوند و یا گاهی به طور همزمان در نمودار فاز ظاهر می شوند. در این پژوهش رقابت میان فازهای پادفرومغناطیس و ابررسانایی d-wave در تقریب میدان میانگین برای یک هامیلتونی با دافعه کوتاه برد و جاذبه میان نزدیک ترین همسایگان مطالعه شده است. نشان داده ایم که در شبکه مربعی گذار فاز میان فازهای ابررسانایی و پادفرومغناطیس امکان پذیر است. این گذار زمانی رخ می دهد که هر دو فاز به طور همزمان با یک فاز سوم موسوم به دامنه اسپینِ سه گانه، که به طور دینامیکی تولید شده است، وجود داشته باشند. تولید دینامیکی پارامتر نظم جدید تنها به سیستم هایی با نظم پادفرومغناطیس و ابررسانایی محدود نمی شود، بلکه برای هر سیستم فرمیونی امکان پذیر خواهد بود. در شبکه لانه زنبوری با صرفنظر کردن از پارامتر نظم سوم به بررسی فازهای پادفرومغناطیس و ابررسانایی پرداخته ایم. همچنین در حالت نیمه پر، رقابت میان فازهای ابررسانایی s-wave و extended s-wave و d_(?x^2-y?^2 )-wave و dxy-wave را مورد بررسی قرار دادیم. در مرحله بعد، فازهای مغناطیسی مدل هابارد را برای شبکه لانه زنبوری در دو بعد، با استفاده از تابع گرین، مورد بحث قرار دادیم. نمودار فاز حالت پایه که وابسته به قدرت u و چگالی الکترونی n بود بدست آمد. برانگیختگی های مغناطیسی در فاز نارسانای پادفرومغناطیس با استفاده از تقریب فازهای کاتوره ای برای پذیرفتاری اسپینی محاسبه شدند. با استفاده از معادله دایسون پذیرفتاری اسپینی، u بحرانی که در آن گذار از فاز پارامغناطیس به فازهای فرومغناطیس و پادفرومغناطیس رخ می دهد، بدست آمد. همچنین احتمال ابررسانایی s-wave در شبکه لانه زنبوری را در مدل هابارد مورد بررسی قرار داده ایم. با معرفی تابع گرین f و تعریف پارامتر نظم ابررسانایی برحسب آن، رابطه میان پارامتر نظم ابررسانایی و چگالی الکترونی را بدست آوردیم.

موضوع اصلی این پایان نامه بررسی خواص و ویژگی های بلور مایع نماتیک در حضور ذرات ناخالصی است . فاز بلور مایع ، فاز میانی جامدات بلوری و مایعات همسانگرد است ‎;‎ خاصیت شارشی مایعات معمولی را دارد و در عین حال مانند جامدات بلوری خاصیت ناهمسانگردی از خود نشان می دهد. فاز نماتیک یکی از فازهای بلورهای مایع است که نظم مکانی دور برد ندارد اما دارای نظم سمت گیری است. در این پژوهش سعی بر آن است که برخی ویژگی های بلور مایع در حضور ذرات کلوئیدی و نانو ذرات مورد بررسی قرار گیرد. در سالهای اخیر به دلیل کاربردهای وسیع بلورهای مایع آمیخته به ناخالصی ها، پیشرفتهای گسترده ای در این زمینه در هر دو بعد نظری و تجربی صورت گرفته است. سمت گیری و نظم بلورهای مایع شدیدا تحت تاثیر عوامل مختلف ناشی از حضور ناخالصی ها قرار می گیرد . از جمله مهم ترین آنها تغییر شکل های کشسانی و چنگ زدگی ها در سطوح می باشد. به علاوه ابعاد و شکل ذره نقش مهمی در خواص مختلف فیزیکی این نوع ترکیبات دارند. در این کار پژوهشی با مد نظر قرار دادن نوع ، اندازه و شکل ذرات وارد شده در بلور مایع ، اثرات آشکار شده در ترکیب، از جمله عیوب ایجاد شده در محیط و تغییرات به وجود آمده در برخی ویژگی های بحرانی آنها مورد بررسی قرار گرفته است. ‎در‎‎ این پژوهش با استفاده از دو مدل شبیه سازی بلور مایع گرون- هس و لبول- لاشر انرژی کشسانی و برهم کنشی بین مولکول های بلور مایع و نانو ذرات مغناطیسی محاسبه شده و واپیچش های سیستم بلور مایع آمیخته به کلوئیدهای مغناطیسی بررسی شده است.

همواره مردم در طی چندین سالی که از عمر مکانیک کوانتومی می گذرد، دنبال رهیافتی برای توضیح مسائل بس ذره ای بوده اند. در کل، رهیافت یک مسئله کوانتومی منجر به پیدا کردن ویژه حالت های هامیلتونی می شود که معادل با قطری کردن هامیلتونی است ولی در سیستم های بس ذره ای پیدا کردن این ویژه حالت ها، وقتی که برهمکنش بین ذرات سیستم غیرقابل اغماض است، کار راحتی نیست و بعضی اوقات غیرقابل حل. برای فائق آمدن بر این مشکل اساسی، در این زمینه، یکی از رهیافت ها، ساده-سازی شکل هامیلتونی توصیف کننده سیستم است. از روش های ساده سازی هامیلتونی تبدیل پایه سیستم است. در این حالت باید دنبال تبدیلی بود که شکل ماتریس را اگرچه قطری نکند، بطور فزاینده ای صفرهای ماتریس را افزایش دهد. کاری که در این پایان-نامه برای تبدیل پایه ها انجام داده ایم روش تبدیلات یکانی پیوسته اختلالی است. این روش در ابتدا توسط وگنر ابداع شد. در این روش کاری که انجام می شود این است که یک مولد تبدیلی تولید می شود که تابعی از یک متغیر پیوسته است و با استفاده از آن یک معادله شار، که یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول است، بوجود می آید. تغییرات متغیر پیوسته به گونه ای است که هامیلتونی را بلوکه قطری می کند. می توان برای تولید مولد از مفهوم شبه ذره ای استفاده کرد. که در اینجا شبه ذرات برانگیختگی های سیستم هستند. مولدی که انتخاب می شود باید طوری انتخاب شود که مستقل از شکل هامیلتونی باشد. مولدی که وگنر برای اهداف خود از آن استفاده نمود، بصورت جابجایی قسمت قطری هامیلتونی با کل هامیلتونی است. در این پایان نامه مولد تبدیل بصورت جابجایی شمارنده شبه ذرات با هامیلتونی کل بیان شده است. وقتی که متغیر پیوسته به بینهایت میل می کند هامیلتونی موثر تولید می شود که با شمارنده شبه ذرات جابجا می شود و این مفهوم پایستگی شبه ذرات را دارد. اثر هامیلتونی موثر بر روی شبه ذرات به دلیل پایسته نگاه داشتن آنها فقط باعث جابجایی آنها در داخل شبکه موثر می شود. هامیلتونی مورد استفاده برای این پایان نامه هامیلتونی هابارد است. این هامیلتونی دارای دو قسمت است، بخش انرژی جنبشی و بخش دیگر انرژی برهمکنش کولنی. در حالتی که انرژی جنبشی کوچک باشد ولی در مقابل انرژی کولنی قابل اغماض نباشد بسط هامیلتونی می تواند کارگشا باشد. پس کمیت اختلالی نسبت انرژی جنبشی به انرژی پتانسیل خواهد بود و با کمک گیری از تبدیلات یکانی پیوسته اختلالی هامیلتونی موثر را تولید می کنیم. در حالت کلی سیستم می تواند همه حالت های کاملا پر تا کاملا خالی که بطور کل چهار حالت برای هر سایت است بخود بگیرد، اما کاری که انجام داده ایم اینست که بخاطر مهم بودن حالت های نیمه پر در حالتی که نسبت انرژی جنبشی به انرژی برهمکنش کولنی با یک قابل مقایسه است، در قسمت نیمه پر، مسئله را حل کردیم. شبه ذراتی که در اینجا مورد استفاده قرار گرفت وجود حالت های کاملاپر بود. در این رهیافت بهره گیری از عملگرهای هابارد ما را به تولید هامیلتونی موثر اسپینی که دارای جملات جفت شده هایزنبرک و جملات برهمکنشی حلقه ای است سوق داد. نمایش اسپینی هامیلتونی موثر بیان می کند که فضای هیلبرت موضعی، یعنی فضای هیلبرت مربوط به هر یک از سایت ها، از چهار حالت به دو حالت کوانتمی مجزا تبدیل شده است.

ساختارهای موجود در طبیعت تنوع بسیاری دارند. برخی از ساختارها منظم و برخی دیگر تحت یک نظم ویژه و کاملاً متفاوت، ناشی از وجود اعداد گنگ، ویژگی های جالبی از خود نشان می دهند. گوشه ای از این ساختارها تحت عنوان سیستم های ناسازگار بررسی می شوند. مدل های متفاوت بسیاری وجود دارد، که هرکدام به گونه ای اثر وجود پتانسیل های ناسازگار را در ساختارهای مختلف بررسی می کنند. در این میان یکی از راه های بررسی سیستم های ناسازگار و یا ناسازگاری مد نوسانی پتانسیل شبکه با بلور زیرلایه به کارگیری مدل هارپر در قالب مدل تنگابست می باشد. مطالعه ی گذار جایگزیدگی در سیستم های مختلف موضوع مهمّی در بررسی خواصّ الکترونی یک مادّه به شمار می رود. بنابراین مدلی که می توان با آن برخی خواص الکترونی مواد تحت ناسازگاری های شبکه ای زیرلایه را بررسی کرد مدل هارپر می باشد. این مدل پتانسیل سینوسی شبکه را تحت تأثیر پتانسیل زیرلایه با فرکانسی شبه تناوبی بیان می کند. از این رو ما در بررسی خود از مدل هارپر استفاده کرده ایم. از روش های مختلفی می توان برای توصیف گذار استفاده کرد. از این شیوه ها می توان از به کارگیری میانگین چگالی حالت های موضعی و هم چنین محاسبه ی نسبت عکس مشارکت ترازها را نامبرد. در این رساله با محاسبه ی میانگین هندسی و حسابی چگالی حالت های موضعی و نسبت عکس مشارکت تراز مربوط به انرژی فرمی سعی بر آن داشتیم که گذار جایگزیده در نانوروبان های گرافینی و گرافین دوبعدی را تحت پتانسیل شبه تناوبی هارپر مورد بررسی قرار دهیم. محاسبات مربوط به این دو روش را به شیوه ی قطری سازی دقیق و استفاده از توابع کتابخانه ای لپک انجام داده ایم. از آن جاییکه نانوروبان های مختلف با پهنای n خواصّ الکترونیکی متفاوتی دارند، این محاسات را برای نانوروبان با پهنای مشخص تحت پتانسیل هارپر انجام داده و نتایج آن را با حالت قبلی (بدون پتانسیل هارپر) مقایسه می کنیم و سپس همین کار را برای روبان های دیگر تکرار می کنیم تا نحوه ی رفتار آن ها را بررس نماییم. نتایج بدست آمده با این روش محاسبه، ضمن تأیید نتایجی که از قبل، توسط دیگران بدست آمده، در مورد سیستم یک بعدی از اتم ها تحت پتانسیل هارپر، حاکی از وجود دامنه ی آستانه ی شدّت پتانسیل در نانوروبان های گرافینی و ساختار دوبعدی گرافین تحت این پتانسیل شبه تناوبی است. و نشان داده ایم که نانوروبان های گرافینی وگرافین، به عنوان موجود کاملاً دوبعدی، تحت این پتانسیل شبه تناوبی دارای فاز جایگزیده هستند. در نانوروبان های زیگراگ، که در حالت معمول فلز هستند، با افزایش پهنای روبان دامنه ی آستانه ی پتانسیل برای گذار جایگزیده افزایش می یابد امّا در پهناهای کم این آستانه دقیقاً شبیه سیستم یک بعدی می باشد. در مورد روبان های دسته صندلی کم پهنای فلزی (پهنایی که در آن روبان دسته صندلی خاصیّت فلزی دارد) نیز آستانه ی تحریک پذیری مانند سیستم یک بعدی می باشد. در هر صورت آستانه ی جایگزیده شدن ویژه حالت های حول انرژی فرمی برای هردو دسته از روبان های فلزی، با افزایش پهنا افزایش می یابد. همچنین بررسی مربوط به گرافین را نیز با محاسبه و مقایسه ی میانگین هندسی و حسابی چگالی حالت های موضعی با استفاده از توابع کتاب خانه ای لپک انجام داده ایم. نتایج بدست آمده نشانگر این است که گرافین، تحت پتانسیل شبه تناوبی هارپر رفتاری مشابه و البته کمی متفاوت با نانوروبان ها و دیگر ساختار های یک بعدی از خود نشان می دهد. بنابراین گرافین نیز تحت چنین وضعیتی دارای فاز جایگزیده می باشد.

در این مطالعه بعد از معرفی انواع سیستم های دینامیکی، به بررسی معادلات دیفرانسیل عمومی می پردازیم و نشان می دهیم تعیین نقاط ثابت و نوع پایداری آن ها، چگونه به تشخیص رفتار این سیستم ها می انجامد. معادلات دیفرانسیل به دو دسته ی خطی و غیرخطی تقسیم می شوند. معادلات دیفرانسیل خطی می توانند به بخش هایی تفکیک شوند که جواب کلی سیستم، از ترکیب جواب های بخش های آن حاصل می شود. این نوع معادلات دیفرانسیل به روش تحلیلی حل می شوند، در صورتی که معادلات دیفرانسیل غیرخطی حل تحلیلی ندارند. با این وجود، از یک شیوه ی تصویری در بررسی سیستم های خطی استفاده می کنیم که رفتار کیفی آن ها را در فضای فاز نشان می دهد. با تعمیم این شیوه به سیستم های غیرخطی و تعیین رفتار سیستم در نزدیکی نقاط ثابت این سیستم ها، رفتار کیفی این سیستم ها مشخص می شود، اما برای شناخت بیشتر این سیستم ها، استفاده از روش های عددی تنها راه ممکن است. بعد از آن به نوسانگرهای دینامیکی آشوبناک که با معادلات دیفرانسیل غیرخطی توصیف می شوند، می پردازیم. این نوسانگرها رباینده ی شگفت دارند و شدیداً به شرایط اولیه حساسند. یک سیستم در صورتی می تواند این ویژگی ها را از خود نشان دهد که دست کم یک نمای لیاپانف منفی و یک نمای لیاپانف مثبت داشته باشد. بنابراین نوسانگرهای آشوبناک زمان-پیوسته دست کم سه بعدی هستند. در ادامه به همگام سازی نوسانگرهای آشوبناک به عنوان یک رفتار جمعی می پردازیم و خواهیم دید نوسانگرهای آشوبناک نیز وقتی در یک شبکه با هم جفت شوند، می توانند هم آهنگ، هم فاز و حتی منطبق با هم تحول یابند. دوره تناوب همه ی نوسانگرهای آشوبناک را می توان با میانگین گیری از فاصله ی زمانی دو واقعه ی مشابه به دست آورد، در صورتی که فاز را برای هر نوسانگر آشوبناک با توجه به مسیر آن نوسانگر در فضای فاز تعریف می کنیم. بررسی پایداری همگام سازی در شبکه ای از نوسانگرهای آشوبناک بخش اصلی این مطالعه است. اگر اختلال از خمینه ی همگام سازی کاهش یابد، همگام سازی پایدار و اگر رشد کند، ناپایدار است. بزرگ ترین نمای لیاپانف ناشی از دینامیک اختلال از خمینه ی همگام سازی که تابع پایداری اصلی نامیده می شود، می تواند چگونگی تحول اختلال را تعیین کند. اگر مقدار تابع پایداری اصلی به ازای تمام ویژه مقادیر ماتریس جفت شدگی شبکه منفی شود، همگام سازی پایدار و در غیر این صورت همگام سازی ناپایدار است. پیش از این پایداری همگام سازی کامل برای شبکه هایی که جمع عناصر روی هر سطر آن ها صفر است، بررسی شده است. نشان می دهیم که پایداری همگام سازی فقط در شبکه هایی امکان پذیر است که جمع مقادیر عناصر روی هر سطر آن ها مقدار ثابتی باشد. سپس روش محاسبه ی تابع پایداری اصلی را برای شبکه هایی که جمع عناصر روی سطرهای آن ها غیر صفر است، به کار می بریم.

با توجه به اهمیت هم گامی نورون ها در مغز و ارتباط تغییرات آن با ایجاد اختلالاتی در سیستم عصبی انسان، هم گام سازی به صورت تنظیم آهنگ نوسانی دو دستگاه در حال نوسان به دلیل برهم کنش بین آن ها تعریف می شود. هم گام سازی در پدیده های مختلفی مشاهده شده است از جمله ی این پدیده ها می توان به نوسان کرم های شب تاب، تحریک نورون ها در اثر وارد شدن نور به چشم انسان و هم گامی در مجموعه ای از ساعت ها اشاره کرد. شبکه ها انواع مختلف دارند. شبکه ی جهان کوچک، شبکه ی پیجیده ای است که از جابه جایی یال های شبکه ی منظم در صورتی که راس ها را به صورت تصادفی انتخاب کنیم با احتمال مشخصی بدست می آید و می تواند برای مدل سازی شبکه ی پیجیده ی مغز مورد استفاده قرار بگیرد. شبکه ی جهان کوچک دارای دو ویژگی کمترین طول مسیر و بزرگ ترین ضریب خوشگی می باشد. با مدل کردن شبکه ی پیجیده ی مغز با شبکه ی جهان کوچک به مطالعه ی بعضی پارامترهای آماری مفید می پردازیم. توزیع ها در شبکه های پیچیده متفاوت اند. با توجه به نوع توزیع می توان شبکه ی پیچیده را تعریف کرد. پاتولوژی مغز به میزان زیادی به تعداد رئوس وابسته است. با حذف هر راس طول مسیر در شبکه ی مغز افزایش می یابد و منجر به ایجاد بیماری می شود. برای مثال در بیماری آلزایمر طول مسیر در مغز افزایش می یابد. ارتباط مستقیمی بین اختلال عملکرد شناختی و تغییر در هم گامی نورون ها وجود دارد. روش های مختلفی برای مدل کردن مغز با گراف ها وجود دارد. یکی از این روش ها استفاده از رهیافت ارتباط عملکردی یا استفاده از داده های الکتروانسفالوگرافی و مگنتوانسفالوگرافی و تصویربرداری به روش تشدید مغناطیسی و رهیافت دوم ارتباط ساختاری یا استفاده از رد مسیرهای آناتومی در مغز می باشد. رهیافت اول منجر به ایجاد گراف غیر جهت دار می شود که به عنوان شبکه برای مدل ما که کوراموتو نام دارد، مورد استفاده قرار می گیرد. مدل کوراموتو دینامیک نوسانگرهای فاز را در سیستمی از نوسانگرهای جفت شده نشان می دهد. برای محاسبه ی فاز از دو روش اویلر و رانگ کوتا می توان بهره گرفت که در اینجا از روش اویلر به منظور محاسبه ی فاز هر نوسانگر استفاده می کنیم. نوفه به صورت سیگنالی که به طور تصادفی با زمان تغییر می کند، تعریف می شود. نوفه ی سفید گاوسی می تواند سرعت تحریک نورون ها را افزایش دهد. نوفه این قابلیت را دارد که پتانسیل نورون را از حالت ایستا به آستانه برده و این حالت باعث تولید پالس عصبی می شود. هم بستگی نوفه در دو لحظه ی متفاوت با تابع دلتا داده می شود. با محاسبه ی پارامتر نظم با اثر نوفه، هم گامی کامل در سیستمی از نوسانگرهای فاز دیده شد. پارامتر نظم بین دو مقدار صفر و یک تغییر می کند و سیستمی از نوسانگرهای فاز به شرط اولیه حساس است. با محاسبه ی جریان نوسانگرها این پارامتر افزایش می یابد تا به مقدار ثابتی میل می کند و با محاسبه ی پارامتر تحریک به وجود تحریک در مغز پی می بریم که به صورت دو ناحیه بروز می کند. ناحیه ی اول شامل پالس های همدوس یا تحریک هم گام است که در آن نوسانگرهای یک بخش به طور کاملا هم گام نوسان انجام می دهند و ناحیه ی دوم تحریک نا هم گام یا پالس های ناهمدوس را شامل می شود که در آن نوسانگرهای بخش های مختلف به صورت نامنظم نوسان انجام می دهند.

اخیرا بررسی مواد هم بسته ی قوی مخصوصا منگنایت ها در فیزیک ماده چگال مورد توجه زیادی قرار گرفته است. برخی از سیستم های همبسته ی قوی در دماهای پایین دچار تبهگنی بی نهایتی در حالت پایه ی خود شده که از منظم شدن آن ها در دماهای خیلی پایین جلوگیری می کند. جالب آن که برخی از این تبهگنی ها در انرژی کلاسیکی اتفاق می افتد. این مواد در دماهای خیلی پایین فازهای شگفت آور مایع اسپینی ای که در این پایان نامه مورد بررسی قرار گرفته اند، از خود نشان می دهند. در این جا ما از هامیلتونی کلاسیکی هایزنبرگ استفاده کرده و در ابتدا با روش میدان میانگین سعی می کنیم حالت پایه ی شبکه ی لانه زنبوری دولایه را مورد بررسی قرار داده و سیمای فاز این سیستم را بر اساس تغیرات ضریب جفت شدگی همسایه دوم ‎$j_2$‎ در یک لایه و ضریب جفت شدگی همسایه ها ‎$j_{2ot}$‎ در لایه ی بعد مطالعه کنیم. از آن جایی که در روش میدان میانگین از قطری کردن ماتریس ضرایب برهم کنش در فضای فوریه استفاده می کنیم و یاخته ی واحد در این شبکه دارای چهار اتم است، چهار ویژه مقدار برای این ماتریس به دست آمده که کمترین آن حالت پایه ی سیستم را ارائه می دهد. در این شبکه کمتر بودن ویژه مقادیر بین دو ویژه مقدار بر اساس تغییرات ‎$j_2$‎ و ‎$j_{2ot}$‎ متغیر بوده و باعث به وجود آوردن مرز همزیستی با گذار فاز مرتبه اول بین دو فازی که دارای یک کمینه در نقطه ای که عدد موج آن صفر است، در این سیستم می شود. در این حالت گذار فاز سیستم بین فاز پادفرومغناطیس و پادفرومغناطیس لایه ای خواهد بود. به واسطه ی این دو ویژه مقدار همچنین دو ناحیه ی ناکامی در این سیستم به وجود آمده که رابطه ی عدد موج وابسته به این دو ناحیه ی ناکامی نیز متغیر خواهد بود. ناحیه هایی نیز با فاز پیچشی در این سیستم به وجود آمده که هر دو ویژه مقدار کمینه اتفاق می افتد؛ جالب آن که مرز بین این نقاط ناکامی مشترک بوده با این تفاوت که رابطه ی عدد موج کمینه برای این فاز ها براساس روابط متفاوت به دست می آید. در کنار این روش رویکرد دیگری برای بررسی فاز های به وجود آمده در سیستم های همبسته ی به خصوص فاز ناکامی وجود دارد و آن استفاده از تبدیلات اسپینی هولشتاین-پریماکوف برای به دست آوردن انرژی این سیستم به صورت مستقیم و براساس فاز بین اسپین های هر نقطه ی یاخته واحد شبکه مورد نظر است. با به کار بردن این تبدیل ها اثرات کوانتومی هم اضافه شده که با در نظر گرفتن آن ها می توان اثر این قسمت از هامیلتونی را مورد بررسی و تغییرات ناشی از افت و خیز های کوانتومی را مورد مطالعه قرار داد. انرژی کلاسیک این روش فازها را همانند روش میدان میانگین ارائه داده با این تفاوت که رقابت فازهای کمینه در این سیستم زمانی که یک نقطه ی کمینه برای انرژی داریم بین اختلاف فاز ها اتفاق افتاده و برای عدد موج صفر اختلاف فاز هایی که معادل فاز پاد فررومغناطیس و پادفرومغناطیس لایه ای به دست می آید. فازهای ناکامی و پیچشی نیز در این سیستم با کمینه کردن رابطه ی انرژی و براساس تغییر دادن ضرایب ‎$j_2$‎ و ‎$j_{2ot}$‎ به وجود می آیند که می توان براساس آن سیمای فاز سیستم را به دست آورد. در هردو روش بالا با وارد کردن اثر همسایه اول در لایه ی جانبی ‎$j_{1ot}$‎ می توان اثبات کرد این برهم کنش فاز جدیدی در این سیستم به جود نیاورده و فقط مرز بین ناحیه های به دست آمده برای فاز ها را جابجا می کند. ماده ی ‎$bi_3mn_4o_{12}(no_3)$‎ که یک منگنایت است نیز اخیرا با این شبکه مورد آزمایش قرار گرفته و تا دماهای نزدیک صفر مطلق هیچ نظم مغناطیسی در آن دیده نشده است. ما در این پایان نامه نشان می دهیم ناکامی در این ماده ناشی از اثر هامیلتونی های کلاسیک موجود نبوده و دلایل دیگری از جمله اترات اختلالی برهمکنش های دیگر یا اثرات کوانتومی برای به حالت کلاسیک بردن این ماده وجود دارد که باید مورد بررسی قرار گیرند.

نانوساختارهای c60 به دلیل کاربردهای فراوانی که اخیراً در زمینه های مختلف از جمله ابررسانایی یافته اند، بسیار مورد توجه اند . ساختار این مولکول یک بیست وجهی بریده شده است که از گروه تقارنی ih پیروی می کند. حالت جامد فولرن c60 در فشار و دمای معمولی ساختار fcc به خود می گیرد. فولرن های c60 به تنهایی تراکم ناپذیرند اما جامد مولکولی c60 بسیار تراکم پذیر است و با اعمال فشار و دمای بالا یا با اضافه کردن ناخالصی های فلزی به بلور، پارامترهای شبکه ی آن بسته به شرایط در جهت های گوناگون تغییر کرده و با متراکم شدن بلور ، پلیمرشدگی با مکانیزم حلقه زایی های ]2+2[ مشاهده می شود . در این حالت دو جفت اتم از دومولکول مجاور با تشکیل پیوند، یک پل بین مولکولی می سازند و گروه تقارنی را به d2h تغییر می دهند. این ساختارهای پلیمرگونه از جهت خواص ترابردی دارای پتانسیل بسیار بالایی هستند. در این پروژه ابتدا خواص الکترونی فولرن c60 را با استفاده از تقریب تابعی چگالی و تقریب تنگابست محاسبه و مقایسه کردیم. در این راستا با بهینه کردن نقاط، دو طول پیوند یگانه و دوگانه را بدست آورده و تاثیر دوگانه گرفتن طول پیوندها را روی سطوح انرژی نزدیک سطح فرمی و تبهگنی آن ها بررسی کرد. در ادامه با استفاده از مقادیر تجربی و تقریب تنگابست ساختار نواری مربوط به پلیمر خطی فولرن c60 در حالت خنثی را بدست آوردیم. در این حالت مقدار گاف ev0.35 محاسبه شد که با نتایج حاصل از شیوه های محاسباتی دیگر همخوانی دارد. در پایین ترین نوار رسانش تبهگنی دیده نشده و مقایسه نتایج حاصله با نتیجه ی دیگر روش ها نشان دهنده ی نقش کلیدی اربیتالهای ? در ساختار نواری است.

در این پایان نامه به مطالعه انتشار امواج کشسانی در یک محیط بی نظم میپردازیم. برای این منظور با استفاده از روشهای ماتریس انتقال نسبت عکس مشارکت و آمار ترازها مدهای نوسانی را در یک شبکه یک بعدی جرم و فنر با توزیع تصادفی از ثابتهای نیرو یا جرمها بررسی میکنیم. در ابتدا با استفاده از روشهای فیلتر کردن فوریه، یک نوفه با همبستگی بلند برد تولید میکنیم و مقادیر ثابتهای فنر یا جرمها را با کمک این نمونه تعیین میکنیم. ما به این نتیجه رسیدیم که در حالتی که همبستگی وجود نداشته باشد چنانچه طول سیستم بی نهایت باشد تمام حالتهای جایگزیده خواهد بود. با افزایش همبستگی تعداد حالتهای گسترده نیز افزایش می یابد. به طوری که به ازای یک همبستگی خاص، تقریبا تمام حالتهای جایگزیده به گسترده تغییر حالت میدهند.

‏پدیده همگام سازی در جمعیت زیادی از عناصر برهمکنشی از جمله سیستم های فیزیکی‏، شیمیایی‏، بیولوژیکی و همچنین سیستم های اجتماعی دیده می شود. سیستم های جفت شده بیولوژیکی و شیمیایی‏، شبکه های عصبی‏، گونه هایی از تعاملات اجتماعی‏، اینترنت و شبکه جهانی وب فقط چند نمونه از سیستم های تشکیل شده توسط تعداد زیادی از عناصر دینامیکی به هم ‏جفت شده هستند. ‏اولین نگاه به خواص کلی اینگونه سیستم ها این است که آنها را به صورت گراف‏ هایی در نظر بگیریم که از گره هایی که نماینده عناصر دینامیکی شان هستند تشکیل شده اند‏، و همچنین یال هایی که ارتباط میان این گره ها را نمایش می دهند. یک رویکرد موفق به مسئله همگام سازی مدل سازی هر عنصر از سیستم به عنوان یک نوسانگر فازی است. در این بررسی‏، همگام سازی را می توان با استفاده از یکی از معروف ترین مدلسازی های نوسانگر فازی یعنی مدل کوراموتو تجزیه و تحلیل کر‎د‏‏،‎ که ماهیت فرآیندهای میان اینگونه نوسانگرها را مورد بررسی قرار می دهد. راه حل دقیق ریاضی‏، روش های خاص عددی‏ و تغییرات و الحاقات بسیاری از این مدل در چند سال گذشته ارائه گردیده است و برنامه های کاربردی مربوط به این مدل در زمینه های مختلف نیز آورده شده است. ما در این پایان نامه ابتدا توضیحی از انواع شبکه ها و نحوه ساختنشان ارائه می دهیم و سپس به معرفی و توصیف پدیده همگام سازی‏، مدل کوراموتو‏، پارامتر نظم و ... خواهیم پرداخت. در قسمت بعد به بررسی تأثیرات اعمال توزیع دو قله ای فرکانس طبیعی بر روی مدل کوراموتو در شبکه جهان کوچک‏، که جوابهای پایدار و متعددی دارد‎‎‏،‎‎ می پردازیم. نشان خواهیم داد که با اعمال توزیع دو قله ای فرکانس طبیعی در حالت بهنجار نشده در فرکانس های مشخصی (‎w=0.9‎ و ‎w=1‎ ‎‎) پارامتر نظم از حالت ایستایی خارج و حالت های متناوبی به وجود می آید‏، که می توان آن را مشابه آنچه در سلول های ضربان ساز قلب اتفاق می افتد دانست. همچنین‏، با تغییر ‎w‎ نقوص شبکه جابجا و یا حذف می شوند. دیدم که با ‏بهنجار کردن مدل کوراموتو باید زمانی تقریباً ‎‎‏چند برابر را در نظر بگیریم تا پارامتر نظم به پایداری برسد و همچنین حالت های تناوبی در فرکانس های بسیار کوچکتری (w=0.09‎ $ w=0.1‎) دیده می شوند. در شبکه های بی مقیاس و تصادفی هم مشاهده شد که با بهنجار کردن مدل‏، در فرکانس های کوچکتری نسبت به حالت بهنجار نشده‏، پارامتر نظم از حالت پایدار خارج می شود. با توجه به اینکه شبکه جهان کوچک دارای دو خصوصیت اصلی یعنی ضریب خوشگی زیاد و طول کوتاهترین مسیر کم است‏، رفتاری متفاوت با دو شبکه تصادفی و بی مقیاس نشان می دهد. در آخر نتایج اعمال توزیع تک قله ای‏، دو قله ای و گاوسی را بر روی سه شبکه جهان کوچک‏، تصادفی و ‏بی مقیاس در دو حالت مدل کوراموتوی بهنجار نشده و بهنجار شده را ارائه خواهیم کرد و با استفاده از رسم ماتریس همبستگی‎ مربوطه نقاط همگام شده در هر کدام مشخص می گردد.‏

همگام سازی تنظیم مقیاس زمانی نوسانات در نتیجه ی برهمکنش بین نوسانگرهاست. این پدیده در طبیعت به وفور مشاهده می شود؛ همین امر دانشمندان را به مطالعه ی آن ترغیب کرد. مثالهای زیست شناختی بسیاری انگیزه ی بررسی نوسانگرهای جفت شده تحت مدل کوراموتو را ایجاد کردند. مدل کوراموتوی اصلی و تعمیم های آن یک خاصیت اصلی سیستم های زنده، یعنی ویژگی تغییر با زمان، را ندارند. ویژگی های مهم سیستم های زنده با در نظر نگرفتن دینامیک غیر تعادلی ناشی از پارامتر های وابسته به زمانشان از دست خواهد رفت. ما یک تعمیم از مدل کوراموتو با پارامترهای صریح وابسته به زمان ارائه دادیم. در این مدل فرکانس های طبیعی نوسانگرها متأثر از یک نیروی خارجی وابسته به زمان هستند. این نیروی خارجی می تواند یک تابع متناوب با زمان باشد که ما آن را یک نیروی کسینوسی در نظر گرفتیم. جفت شدگی بین نوسانگرها می تواند متناسب با تعداد برهمکنشهایی که نوسانگر با بقیه ی نوسانگرها دارد باشد و یا یک مقدار ثابت و یکسان برای تمام نوسانگرها باشد. ما به بررسی مدل تعمیم یافته ی کوراموتو در دو حالت جفت شدگی بهنجار شده با تعداد برهمکنش های نوسانگر، و حالت بدون بهنجارش پرداختیم. رفتار سیستم در هر دو حالت مشابه و تنها زمان رسیدن به حالت پایا متفاوت بود. همچنین، برای فرکانس های طبیعی نوسانگرها توزیع یکنواخت و توزیع دوقله ای در نظر گرفتیم و مدل تعمیم یافته را در شرایطی که دامنه ی نیروی اعمالی توزیع گاوسی و یا توزیع دوقله ای دارد روی آنها اعمال کردیم. در این شرایط یک رفتار دینامیکی دسته جمعی جدید مشاهده می شود؛ به این صورت که در یک زمان تمام نوسانگرها به طور همگام حرکت می کنند و در لحظه ی بعد کاملاً ناهمگام می شوند. همچنین بررسی رفتار شبکه های مختلف تحت این مدل نشان می دهد دامنه ی پارامتر نظم با افزایش فرکانس نیروی خارجی کاهش و فرکانس آن افزایش می یابد. رفتار شبکه ی جهان کوچک اغلب متفاوت است. در شرایطی که نیروی اعمالی توزیع دوقله ای دارد و فرکانس های طبیعی یکسان هستند یک رفتار تشدیدی مشاهده می کنیم؛ به این صورت که دامنه ی پارامتر نظم شبکه ی جهان کوچک با افزایش فرکانس نیروی خارجی ابتدا افزایش و پس از آن کاهش می یابد.همچنین، ما به بررسی تأثیر اعمال نوفه ی سفید روی شبکه ی جهان کوچک پرداختیم. اگر نوفه ی سفید را روی تمامی نوسانگرهای شبکه ی جهان کوچک اعمال کنیم، برای مقادیر خاصی از آن مقدار پارامتر نظم به مقدار بیشینه (کوچکتر از یک) می رسد و به اصطلاح همگامی تصادفی داریم. در شبکه ی جهان، تعدادی از نوسانگرها با فاز مخالف با بقیه ی نوسانگرها نوسان می کنند، که به آنها نقوص شبکه می گویند. اگر نوفه ی سفید را روی نقوص شبکه اعمال کنیم، برای مقادیری از نوفه، پارامتر نظم به مقدار بیشینه ی یک می رسد و نقوص شبکه از بین می روند.

مواد ناکام هندسی حتی در دماهای پایین تر از دمای کوری وایز نیز در فاز پارامغناطیس باقی می مانند. با بررسی پادفرومغناطیس های ناکام هندسی مشاهده شده است که رویه ی حالت پایه ی این مواد دارای تبهگنی ماکروسکوپی بوده و این حالت پایه ی تبهگن، به هر گونه اختلالی بسیار حساس می باشد. در این پایان نامه ابتدا انواع ناکامی را معرفی کرده و پس از آن به بررسی مطالعات ‏نظری گذار فاز در مواد ناکام هندسی می پردازیم. سپس قانون تجربی کوری وایز را معرفی می کنیم و رفتار یک ماده ی ناکام هندسی را بر اساس این قانون بررسی می کنیم. از آنجا که فاز کولنی تنها برای شبکه های دو بخشی به وجود می آید، این دسته از شبکه ها نیز معرفی شده است. پس از آن با توضیح فاز کولنی، شبکه ی مادر و شبکه ی میانی را نیز تعریف خواهیم کرد و رفتار میخکوبی شده در این نوع از شبکه ها را مورد مطالعه قرار خواهیم داد. در فصل دوم تقریب خودسازگار گاوسی را به طور مفصل بیان کرده و پس از آن نحوه ی به دست آوردن مقدار خودسازگار گاوسی در دماهای مختلف را توضیح خواهیم داد. در قسمت بعد چگونگی محاسبه ی کمیت های ترمودینامیکی را با استفاده از این روش مطالعه می کنیم. در فصل سوم نیز با به کارگیری روش خودسازگار گاوسی برای چند شبکه برخی از ویژگی های ترمودینامیکی آنها را بررسی می کنیم: ابتدا برای شبکه مکعب ساده با به دست آوردن مقادیر خودسازگار گاوسی، تابع ساختار را رسم کرده و با توجه به آن دمای گذار را به دست می آوریم. با استفاده از روش خودسازگار، تابع پذیرفتاری مغناطیسی را محاسبه و آن را به ازای دماهای مختلف رسم خواهیم کرد. بنابراین نمای بحرانی پذیرفتاری با دقت خوبی نسبت به محاسبات مونت کارلو به دست می آید. همچنین نمودار تابع انرژی داخلی برای دماهای مختلف نیز رسم شده است. گذار فاز در شبکه ‎fcc‎ را در قسمت بعدی بررسی می کنیم. با روش خودسازگار گاوسی تابع ساختار را رسم کرده و عدم پیدایش بیشینه ی منحصر به فرد در این نمودار را مطالعه می کنیم. اما می توان دید که در نظر گرفتن همسایه ی دوم موجب به وجود آمدن نظم در این شبکه می شود و متناسب با اینکه نوع برهمکنش همسایه دوم فرومغناطیس و یا پادفرومغناطیس باشد مکان بیشینه های تابع ساختار متفاوت خواهند بود. بعد از آن مدل هایزنبرگ پادفرومغناطیس در شبکه ی پایروکلر را در نظر می گیریم و با محاسبه ی مقدار خودسازگار در دماهای مختلف تابع ساختار را رسم خواهیم کرد. اما می توان دید که با کاهش دما در این شبکه شاهد پیدایش هیچ بیشینه ی منحصر به فردی نخواهیم بود. بنابراین تأثیر در نظر گرفتن جمله ی ناهمسانگردی به هامیلتونی را مورد بررسی قرار خواهیم داد و می بینیم که چگونه به ازای مقادیر مختلف برای این جمله، نظم در این شبکه ایجاد می شود. در آخر نیز مدل ‎xy‎ برای شبکه کاگومه در نظر گرفته شده و عدم به وجود آمدن نظم در این سیستم مورد مطالعه قرار گرفته شده است. ‎‎‏پس از آن می بینیم که اضافه کردن جمله ی ناهمسانگرد به هامیلتونی مدل ‎xy‎ باعث رخ دادن گذار فار در سیستم می شود. با محاسبه ی مقدارخود سازگار گاوسی تابع ساختار را نیز رسم خواهیم کرد. سپس با محاسبه ی تابع پذیرفتاری مغناطیسی، نمای بحرانی پذیرفتاری را برای مقادیر مختلف جمله ی ناهمسانگردی محاسبه کرده ایم.

امروزه کاربرد تجزیه و تحلیل داده ها محدود به گرایش خاصی نیست و زمینه های گوناگونی شامل مهندسی، علوم پایه، پزشکی و اقتصاد را در بر می گیرد. از این رو تلاش های زیادی جهت طبقه بندی سری های زمانی فیزیکی و فیزیولوژیکی و شناخت خواص آن ها از سوی دانشمندان صورت گرفته است. در این پایان نامه ابتدا مروری بر مبانی آمار و احتمال مورد نیاز می کنیم و سپس با برخی روشهای متداول برای پردازش داده آشنا و در نهایت با استفاده از روش های آنتروپی چند مقیاسی (multiscale entropy) و قطع تراز (leve crossing) به آنالیز توفه های تصادفی با همبستگی توانی و سری زمانی فواصل ضربان قلب (rp) می پردازیم

در این پایان نامه با استفاده از روش گروه نابهنجارش میدان میانگین و گروه نابهنجارش سطحی-کپه ای خواص بحرانی مدل های هایزنبرگ و xy بر روی شبکه مکعبی ساده بررسی می شود. دمای بحرانی و نماهای بحرانی را، که مشخص کننده ی رده جهان شمولی این دو مدل هستند. برای خوشه های 1، 2، 3 و 4 اسپینی به صورت تحلیلی محاسبه می کنیم. در ادامه به علت ناتوانی حل تحلیلی در خوشه های بزرگ تر از روش های عددی مونت کارلو استفاده کرده و نتایج مربوط به کاربرد این روش ها در روش های گروه بازبهنجارش میدان میانگین و گروه بازبهنجارش سطحی- کپاه ای را تا خوشه ی 27 اسپینی به دست می اوریم، نتایج به دست آمده در تمام بخش ها با نتایج روش های دیگر که دقت بالایی دارند، مانند مونت کارلو، بسط اپسیلن و سری دماهای بالا مورد مقایسه قرار می گیرند که تطابق خوبی با نتایج به دست آمده مشاهده می شود.

در اطراف ما شبکه های پیچیده ی فراوانی، از یک سلول گرفته تا جامعه ای که در آن زندگی می کنیم، وجود دارد. مدل های فراوانی برای توضیح خواص این شبکه ها ارایه شده اند. در این پایان نامه نیز مدل گراف های نیمه دوبخشی تصادفی تعریف و تعدادی از مشخصه های آن مورد مطالعه قرار گرفته است. شبکه های نیمکه دوبخشی از دو بخش تشکیل شده اند. بخش اول که هسته نامیده می شود شامل رأس هایی است که دوبدو و به هم متصلند و بخش دیگر از ریوس تشکیل شده که به هم متصل نیستند ولی تعدادی از آن ها به تعدادی از رأس های هسته وصل هستند. در مدل شبکه های نیمه دوبخشی تصادفی رأس های مرکزی و غیر مرکزی بطور تصادفی به هم متصلند. ضریب خوشه گی این مدل بسیار بزرگ و میانگین کوتاهترین فاصلهی بین هر دو رأس آن مقدار کوچکی است که این دو خصوصیت مستقیماً به تعداد رأس های شبکه وابسته نیستند و به نسبت تعداد رأس های هسته به تعداد کل ریوس، a=nc/n، وابسته اند. در این مدل حد پایین برای ضریب خوشه گی بدست می آید و همچنین بطور کلی در گراف های نیمه دوبخشی، میانگین کوتاهترین مسیر دارای یک حد بالا است و هر دو این حدود نیز مستقل از اندازه ی شبکه هستند.

بسیاری از سیستم های مشاهده شده در زمینه های گوناگون علمی مانند فیزیک، ادبیات و علوم طبیعی دارای پیچیدگی زیادی هستند. به همین دلیل اخیراً تلاش های بسیاری به منظور شناسایی و مشخص نمودن خواص این گونه سیستم ها انجام شده است. مکانیک آماری روش های مناسبی را برای بررسی این سیستم ها فراهم می کند. در این پایان نامه در دو فصل اول ما با معرفی و استفاده از روش قانون توانی به تحلیل ساختار ادبیات پرداخته ایم. در فصل سوم با استفاده از فاصله اطلاعات‍ی و آنتروپی اطلاعات، سیگنال های قلبی افراد سالم و بیمار و همچنین بیلیاردهای آشوبی را مورد بررسی قرار داده ایم. در فصل چهارم به بررسی ویژگی خود متشابهی بسیط سیگنال های زلزله که دارای ساختار فراکتالی می باشند. می پردازیم، در پایان با استفاده از اصل وردشی، چگالی احتمال را برای آنتروپی تسالیس بدست می آوریم.

?در این پایاننامه به بررسی خواص الکترونی و مغناطیسی ? ،tb?ti?o??که یک اکسید پایروکلر مکعبی? ?ناکام با فاز مایع اسپینی است، پرداختیم. ما برای بررسی خواص الکترونی و مغناطیسی این سیستم از ?نظریه ی تابعی چگالی ) ? (dft?استفاده کردیم. تمام محاسبات در نظریهی تابعی چگالی با روش موج? تخت بهبودیافتهی خطی شدهی تمام پتانسیل ) ? (fp ?lapw?و به کمک کد ? ،fleur?انجام شدند. از? ?تابعیهای ? gga?و ? gga + u?برای انرژی تبادلی-همبستگی الکترونها استفاده کردیم. محاسبات در? ?تقریب ? ،gga?اکسید تیتانایت تربیوم را برخلاف تجربه فلز مغناطیسی نشان دادند. با استفاده از تقریب? ?? gga + u?توانستیم برهمکنشهای کولنی بین الکترونهای ? f?را تصحیح کنیم و ?tb?ti?o??در این? ?محاسبات عایق مغناطیسی پیشبینی شد. آنالیزهای چگالی حالات الکترونی، الکترونهای ? ?f?اتمهای? ?تربیوم را به عنوان منشأ مغناطش ماده نشان دادند. همچنین این آنالیزها هیبریدشدگی ضعیفی بین? ?اربیتالهای ? f t b?و اربیتالهای ?? p o?را نشان دادند. به دلیل وجود برهمکنش قوی اسپین-مدار بین? ?الکترونهای ? ،f?محاسبات ? gga + u + soc?را با پیکربندیهای همراستا و ناهمراستا نیز انجام? ?دادیم. گشتاور مغناطیسی ? t b?از محاسبات همراستا و ناهمراستا به ترتیب ? ?? ??b?و ? ?? ??b?بدست آمد.?اما مقدار گشتاور مغناطیسی در تجربه حدود ? ??b?اندازهگیری شده است. در واقع محاسبات نظریه ی? تابعی چگالی در کمینههای موضعی به دام میافتند و برای بدست آوردن گشتاور مغناطیسی صحیح? تربیوم نیاز به روشهای پیچیدهتری برای پیدا کردن کمینهی سراسری در محاسبات ساختار الکترونی? داریم. برای بدست آوردن حالت پایهی tb?ti?o?? ?انرژیهای دو پیکربندی ?) all ? in?نظم بلندبرد(? و ?) two ? in/two ? out?نظم یخ اسپینی( را با هم مقایسه کردیم. پیکربندی ? all ? in?پایدارتر از? پیکربندی ? two ? in/two ? out?بدست آمد.?

امروزه همگام سازی به عنوان یکی از مهمترین پدیده های طبیعی مطرح می شود. همگام سازی در بسیاری از زمینه های زیستی‏، اجتماعی‏، فیزیکی و‎‏ ... . کاربرد دارد. هر کجا که از همگام سازی نام می بریم‏، بی گمان باید از آشوب وسیستم های دینامیکی نیز یاد کرد. زیرا مسئله ی همگام سازی یکی از مهمترین مسائل مطرح شده در نظریه ی آشوب و سیستم های دینامیکی است. سیستم های آشوب ناک‏، به سیستم هایی اطلاق می شود که حساس به شرایط اولیه بوده و رفتار آن ها در مدت زمان طولانی غیر قابل پیش بینی است. سیستم های دینامیکی را به دو دسته ی زمان پیوسته و زمان گسسته تقسیم کرده ایم. تحولات نوسان گرها در سیستم های زمان پیوسته توسط معادلات دیفرانسیل و در سیستم های زمان گسسته توسط روابط بازگشتی بررسی می شوند. همگام سازی را می توان از دو جنبه ی همگام سازی سرتاسری و همگام سازی موضعی بررسی نمود و شرایط هر یک از این حالت ها را پیدا کرد. موضوعِ مهمی که در همگام سازی مطرح است‏، پایداریِ حالتِ همگام است. منظور از پایداریِ حالتِ همگام ‏این است که سیستم بعد از اعمال اختلال‏، به حالتِ همگام خود بازگردد و همه ی نوسان گرها دوباره همگام شوند. برای بررسی پایداریِ حالتِ همگام روش های تابع پایداری اصلی و سنجه ی ماتریسی را به کار برده ایم. روش تابع پایداری اصلی اغلب برای سیستم های زمان پیوسته و روش سنجه ی ماتریسی برای سیستم های زمان گسسته به کار می رود. در روش تابع پایداری اصلی‏، نیاز به دانستن معادله ی حاکم بر نوسان گرها و دانستن مقدار پارامتر آشوب داریم ولی در روش سنجه ی ماتریسی فقط نیاز به دانستن توپولوژی شبکه داریم. در عوض روش تابع پایداری اصلی شرط لازم و کافی‏ و روش سنجه ی ماتریسی شرط کافی را برای همگام سازی در اختیار ما می گذارد. یک نمونه از سیستم های زمان گسسته‏، نگاشت های لجیستیک هستند. این نگاشت ها را بر روی شبکه های بی مقیاس‏، منظم‏، تصادفی و جهان کوچک شبیه سازی خواهیم کرد و شرایط همگامی و پایداری حالتِ همگامِ هر کدام از این شبکه ها را با استفاده از روش های تابع پایداری اصلی و روش سنجه ی ماتریسی‏، پیدا خواهیم کرد. در آخر هم این شبکه ها را با یک دیگر مقایسه کرده و بررسی می کنیم که ‏کدام شبکه ها می توانند همگام باشند و همگامی آن ها پایدار است یا خیر.

در این پایان نامه ما به مطالعه ی اثر برهمکنش کولنی بلندبرد بر روی حالت های بی نظم می پردازیم. ما در این مطالعه، ساز و کار گذار فلز-عایقی را مورد بررسی قرار می دهیم که به دنبال برهمکنش کولنی الکترون ها در حضور بی نظمی رخ می دهد. این مطالعه نشان می دهد که چنین گذاری با رفتار بحرانی تابع خودهمبستگی چگالی حالت های موضعی در اطراف انرژی فرمی همراه است. بررسی مقیاس بندی این رفتار بحرانی منجر به کشف ساختار جدید چندفراکتالی با بعد همبستگی متفاوتی نسبت به همتای بدون برهمکنش برای توابع موج در نزدیکی نقطه ی بحرانی می شود. به علاوه، در نقطه ی گذار فلز-عایق حالت های اطراف انرژی فرمی بحرانی و نهایتاً جایگزیده می شوند در حالی که حالت های دورتر برای جایگزیده شدن نیازمند شدت برهمکنش های بسیار قوی تری هستند. در این میان آستانه ی تحرک پذیری به شکل حیرت انگیزی در نزدیکی های انرژی فرمی باقی می ماند، تا شدت برهمکنش به مقدار بسیار زیادی افزایش پیدا کند. از طرفی دیگر، چنین گذار فلز-عایقی با یک همگذری از رژیم کوانتومی به رژیم کلاسیکی در رفتار چگالی حالت های تونلی همراه است. به جز این در اطراف نقطه ی گذار، پدیده ی شیشه ی کولنی ظاهر می شود.

یکی از روش هایی که با آن می توان رفتار بحرانی سیستم های فیزیکی را توصیف کرد روش گروه بازی هنجارش غیر اختلالی است. هم اکنون این روش، چه از نظر فرمول بندی و چه از نظر استفاده برای توصیف سیستم های مختلف، در حال گسترش است. اما مهمترین مشکلی که در این روش وجود دارد معادلات نسبتا پیچیده ی آن است که برای حل این معادلات باید از روش های عددی استفاده کنیم. در این پایان نامه پس از آشنایی با روش گروه بازیهنجارش غیر اختلالی روش های عددی مورد نیاز برای حل معادلات مربوطه توضیح داده خواهد شد. با استفاده از روش های عددی به سراغ حل معادلات روش گروه بازبهنجارش غیر اختلالی برای o(n) مدل (حالت n=1) می رویم و به محاسبه ی نقاط ثابت و نماهای بحرانی می پردازیم. نتایج بدست آمده وجود نقطه ی ثابت گوسی و نقطع ی ثابت ویلسون فیشر را تایید می کند. همچنین مقادیر بدست آمده برای نماهای بحرانی ?،?، ? و بعد ناهنجار ? با مقادیر قبلی بدست آمده بروش گروه بازبهنجارش غیر اختلالی تطابق خوبی دارد. تطابق قابل قبول نتایج نهایی، راه را برای استفاده ی هر چه بیشتر از روش غیر اختلالی برای توصیف سیستم های دیگر، هموار می کند.

این پایان نامه با هدف بررسی امکان وجود rvb به عنوان حالت پایه مدل هیزنبرگ با برهم کنش پادفرو مغناطیس و نصف =s در شبکه های مربعی در هفت فصل تنظیم شده است. در فصل اول نشان چرا از برهم کنش پادفرو مغناطیس در سیستم کوانتمی انتظار نظم نیل نداریم. لذا علاقمند به بررسی این مدل با روش های دیگر هستیم، بر این اساس در فصل دوم تابع موج وردشی rvb را معرفی می کنیم و با استفاده از الگوریتم متروپلیس که در فصل سوم توضیح داده ایم انرژی حالت پایه و همبستگی اسپینی را برای حالت های مختلف تابع موج rvb در شبکه مربعی و لانه زنبوری حساب می کنیم (فصل چهارم و پنجم). با استفاده از همبستگی اسپینی مغناطیس را تعیین می کنیم و پیدایش نظم در سیستم در حالتی غیر از حالت نیل را نشان می دهیم. در فصل ششم، انرژی حالت برانگیخته سه گانه (s=1) در شبکه مربعی و لانه زنبوری را حساب می کنیم و طبق انتظار ما بی گاف بودن انرژی در =k را به دست می آوریم

سیلیسین دگرشکل دوبعدی سیلیسیم با ساختاری شبیه گرافین است که برای اولین بار در سال ‎1994‎ در یک تحقیق نظری به آن اشاره شد. این ماده ی دوبعدی خواص ممتاز و ویژه ای نسبت به گرافین دارد و به همین دلیل، به عنوان کاندیدای جدید برای استفاده در صنعت الکترونیک مطرح شده و ضرورت مطالعه ی خواص ترابردی این ماده مورد توجه قرار گرفته است. در سال های اخیر نانوساختارهای نیمه رسانا تبدیل به سیستم های مدل جهت تحقیق در زمینه ی ترابرد الکتریکی و خواص مربوطه در مقیاس طول کوچک گردیده است. ترابرد کوانتومی در نمونه هایی که طول موج فرمی، طول همدوسی فاز و یا مسافت آزاد میانگین آنها نسبت به ابعاد نمونه قابل مقایسه باشد، به ایجاد پدیده های جالبی منجر می گردد. زیرا تحت این شرایط اثرات کوانتومی می توانند خود را نشان دهند. چارچوب متداول برای توصیف ترابرد از طریق این ابزارهای مزوسکوپیکی روش لاندائر-بوتیکر است. در این رهیافت جریان درون رسانا بر حسب احتمال تراگسیل الکترون از آن بیان می شود. به منظور ساده سازی بحث دمای صفر و ترابرد از نوع فاز-همدوس فرض شده است. نمونه ی مورد بررسی نانونوار های سیلیسینی زیگزاگ هستند که به دو رابط نیمه بی نهایت متصل شده است. در این میان بی نظمی های موضعی ساختاری و ناهمواری های لبه ی نانونوار ها ازجمله بی نظمی لبه ای ‎(تهی جای)‎ و بی نظمی های داخلی (بی نظمی اندرسون) اثرات مهمی روی خواص ترابردی این مواد دارند. همچنین به دلیل خمیده بودن ساختار سیلیسین، با اعمال میدان الکتریکی عمود بر صفحه ی نانونوار های سیلیسینی می توان گاف انرژی بزرگ و قابل کنترل به آنها افزود. در این پروژه جهت مطالعه ی این اثرات، ترابرد کوانتومی نانونوار های سیلیسینی زیگزاگ را حضور و عدم حضور بی نظمی ها (تهی جای و بی نظمی اندرسون) و میدان الکتریکی برای پهناهای مختلف بررسی کرده ایم. از مدل تنگابست برای توصیف هامیلتونی سیستم استفاده شده است. سپس با استفاده از ماتریس هامیلتونی، ماتریس تابع گرین سیستم در فضای حقیقی را به دست آوردیم. اثر رابط ها را نیز می توان از طریق یک تابع خودانرژی درون سیستم گنجاند. در نهایت با استفاده از رابطه ی فیشر-لی، تابع تراگسیل را به تابع گرین سیستم مربوط ساختیم. با توجه به رابطه ی بین هدایت الکتریکی و تابع تراگسیل که با فرمول لاندائر-بوتیکر به هم مربوط می شوند، تغییرات هدایت الکتریکی بر حسب تغییرات بی نظمی، میدان الکتریکی عمودی اعمال شده و همچنین انرژی فرمی برای پهناهای مختلف روبان سیلیسینی را به دست آوردیم. علاوه براین تغییرات چگالی حالات کلی و موضعی و ساختار نوار انرژی روبان سیلیسینی را بر حسب تغییرات میدان الکتریکی اعمالی و انرژی فرمی بررسی کرده ایم. نتایج به دست آمده رفتار پله ای رسانندگی بر حسب انرژی را در نانونوارهای سیلیسینی زیگزاگ تأیید می کند. همچنین ساختار نوار انرژی به دست آمده در این نانونوارها با نمودارهای هدایت الکتریکی کاملاً مطابقت دارد. با اعمال میدان الکتریکی مناسب و عمود بر صفحه ی سیلیسین، گاف انرژی غیر صفر ایجاد شده و با تغییر میدان الکتریکی، این گاف قابل کنترل خواهدبود. علاوه براین نتایج نشان می دهد که بی نظمی اندرسون و تهی جای در نانونوارهای سیلیسینی منجر به کاهش رسانندگی می شوند و با افزایش شدت بی نظمی هدایت الکتریکی کمتر می شود. حالت های لبه ای نانونوارهای سیلیسینی زیگزاگ نسبت به این بی نظمی ها مقاوم بوده و در واقع این بی نظمی ها هیچ تأثیری بر رسانندگی نانوارهای سیلیسینی در اطراف انرژی فرمی نخواهندداشت.

سیستم های زیستی را می توان با شبکه های پیچیده ی عظیم متشکل از نوسانگرهای فاز مدل کرد. مدل کوراموتو یکی از گویاترین و ساده ترین مدل‍هایی است که همگامی را در شبکه های بزرگ مقیاس توصیف می کند. در این پایان نامه هم از مدل کوراموتو استفاده کرده و دینامیک شبکه های جهان کوچک را بررسی نمودیم. شبکه های تحت تمرکز ما مدل جهان کوچک حلقه ی محصور به رئوس و توری بودند. در مدل حلقه که همان مدل واتس استروگاتس بود شاخص های جهان کوچک قبلا پیدا شده بودند و ما محدوده ی مناسب احتمال بازارایی که به ازای آن شبکه خواص جهان کوچکی را داشت، می دانستیم. در مورد توری با استفاده از مدل سازی های عددی و محاسبه ی طول کوتاهترین مسیر و ضریب خوشگی میانگین در مقادیر مختلف احتمال بازارایی و نیز پیدا کردن نقطه ی گذار سیستم از حالت غیر وابسته به شرایط اولیه به حالت وابسته، گستره ای مناسب برای این احتمال به دست آوردیم که در این گستره از احتمال بازارایی شبکه جهان کوچک است. چنین شبکه ای را توری جهان کوچک نامیدیم. در فصل 5 با وارد کردن یک پارامتر جدید به معادله ی کوراموتو، یعنی تأخیر زمانی، سعی کردیم دینامیک سیستم را پیش بینی و سپس با محاسبات عددی مشاهده کنیم. هدف از وارد کردن این پارامتر واقعی تر کردن جواب های معادله و در نظر گرفتن تأخیرهای زمانی ناشی از تبادل اطلاعات در سیستم های طبیعی بود. این تأخیرهای ناشی از تبادل اطلاعات نه تنها در همه ی سیستم ها وجود دارند،بلکه قابل اغماض نبوده و اثرات قابل توجهی در رفتار جمعی عناصر شبکه دارند. در فصل 6 نتایج مدل سازی های عددی خود بر روی هر دو نوع شبکه ی جهان کوچک را ارائه دادیم. بررسی رفتار جمعی عناصر شبکه ها با محاسبه ی مقدار پارامتر نظم شبکه که معیاری از همگامی بود انجام شد. به این منظور در مقادیر مختلف تأخیر زمانی و نیز در حالت بدون تأخیر، تغییرات پارامتر نظم شبکه ها را نسبت به تغییرات زمان مشاهده و مقایسه کردیم. در تمامی موارد به ازای مقادیر خاصی از تأخیرات جفت شدگی شاهد افت همگامی و گاهی هم شاهد حفظ یا حتی افزایش سطح همگامی سیستم بودیم. از طرف دیگر دیده شد که دینامیک بودن یا پایدار بودن سیستم هم بستگی به مقدار تأخیر دارد. در این بین به منظور آن که علاوه بر رفتار جمعی سیستم اطلاعاتی هم در مورد ساختارهای محلی شبکه به دست بیاوریم از ماتریس همبستگی استفاده کرده و در همه ی حالات ظهور و ناپدید شدن و نیز کوچک و بزرگ شدن خوشه های همگام شبکه را مشاهده نمودیم. در مورد توری جهان کوچک گذار از حالت همگام به حالت ناهمگام به صورت تقریبا ناگهانی رخ می داد که حتی در بعضی مقادیر خاص از احتمال بازارایی این گذار به صورت انفجاری بود؛ انفجاری که سیستم را از حالت همگام و پایدار به حالت ناهمگام و ناپایدار، که البته به صورت تدریجی شکل پایدار به خود می گرفت، می برد. بازگشت از این حالت نیز تقریبا مانند این بود که فیلمی که از فرآیند گرفته شده به عقب بازگردانده شود. ابتدا ناهمگامی پایدار تدریجا فرم ناپایدار به خود گرفته و سپس به طور ناگهانی تبدیل به فاز همگام و پایدار می شد. لازم به ذکر است که در تمامی محاسبات روی شبکه ها پارامتر متغیر ما در واقع ضرب فرکانس ذاتی در تأخیر زمانی بود که ما آن را به صورت یک پارامتر مجزای بی بعد در نظر گرفتیم و اثر فرکانس ذاتی را در اثر جفت شدگی ادغام کردیم. بدین صورت توانستیم جواب هایی جامع تر و شامل تر برای انواع سیستم های زیستی با هر ابعادی و هر نوع اطلاعاتی که در درونشان جابجا می کنند بدست آوریم. فقط کافیست که این سیستم بتواند با شبکه های پیچیده مدل شود.

بررسی سیستم های همبسته قوی به خاطر مشاهده فازهای جالب از قبیل ابررسانای دمای بالا، یکی از موضوعات داغ در زمینه فیزیک ماده چگال است. در عایق مات، به خاطر وجود دافعه کولنی قوی، رسانش بار وجود ندارد. بنابراین مقدار بار در هر یاخته واحد ثابت است و تنها اسپین الکترون روی هر جایگاه افت و خیز می کند. افت و خیزهای مجازی بار در عایق مات یک برهم کنش تبادلی ایجاد می کند، که در بسیاری از مواد این برهم کنش منجر به نظم پادفرومغناطیس بلند برد می شود. اندرسون این تئوری را مطرح کرد که در سیستم هایی که از نظر مغناطیسی ناکام هستند، این نظم پادفرومغناطیس بلند برد از بین می رود و یک فاز مایع اسپینی که ترکیب خطی از تک تایی های اسپینی است تشکیل می شود. در صورتی که سیستم ناکام با حامل های بار آلاییده شود، این تک تایی ها باردار می شوند و فاز ابررسانایی تشکیل می شود. در سال ????، کین و ملِ مدلی برای توصیف اثر هال اسپین کوانتومی در گرافین ارائه کردند، که این مدل شامل جمله تنگابست نزدیک ترین همسایه و یک جمله جرمی می باشد. در پایان نامه، ما سیمای فاز کلاسیکی و کوانتومی مدل کین-ملِ هایزنبرگ را روی شبکه لانه زنبوری مطالعه می کنیم. سیمای فاز کلاسیکی این مدل را با سه روش لاتینجر-تیزا، کمینه سازی وردشی و کمینه سازی پی در پی به دست آوردیم. سیمای فاز کلاسیکی مدل کین-ملِ هایزنبرگ، شامل سه فاز منظم با نظم بلند برد و سه فاز بی نظم با تبهگنی فزون بر است. هم چنین با استفاده از نظریه ی موج اسپینی خطی، پدیده نظم توسط بی نظمی را در یکی از این فازهای تبهگن بررسی می کنیم. نتایج مان نشان می دهد که افت و خیزهای کوانتومی یک مجموعه از حالت های متقارن را از رویه ی بردار موج های تبهگن انتخاب می کنند. در ادامه بخش اول پایان نامه، طبیعت فازهای تبهگن را در حد کوانتومی برای یک $s=1/2$، با روش قطری سازی دقیق در پایه های s_z و پیوند ظرفیتی نزدیک ترین همسایه و هم چنین نظریه های میدان میانگین پیوند ظرفیتی جفتی و بلوکی بررسی می کنیم. محاسبات ما نشان می دهد که این نواحی بی نظم، مشابه با مدل j_1-j_2، به حالت های منظم کوانتومی در شکل فازهای بلور پیوند ظرفیتی و جفت دندانه ای تقسیم می شوند، یعنی با روشن کردن برهم کنش اسپین-مدار، فازهای بی نظم کوانتومی که برای مدل j_1-j_2 پیدا شده اند به صورت بی درو برای کین-ملِ هایزنبرگ ادامه پیدا می کنند. نتایج مربوط به انرژی و توابع ساختار برای فازهای بلور پیوند ظرفیتی و جفت دندانه ای، نشان دهنده ی گذار فاز مرتبه ی اول بین این دو فاز است.

سیستم های هم بسته ی قوی مغناطیسی به دلیل ویژگی های جالب توجه شان‏، در سال های اخیر بسیار مورد توجه قرار گرفته اند. اما پیچیدگی های موجود در چنین سیستم هایی باعث عدم دست یابی به شناخت کاملی از خصوصیات جالب آن ها شده است. یکی از این ویژگی های جالب ظهور پدیده ی ناکامی است. یک ماده ی ناکام مغناطیسی تا دماهای بسیار پایین تر از دمای کوری وایس نامنظم می ماند. حالت پایه ی چنین سیستمی دارای تبهگنی ماکروسکوپی بوده و این حالت پایه ی تبهگن نسبت به هر گونه اختلالی بسیار حساس است. در این پایان نامه با تمرکز بر روی سیستم های ناکام‏، با به کارگیری مدل های مغناطیسی‏، شبکه های براوه و غیربراوه را مورد بررسی قرار می دهیم. به عنوان اولین گام جهت مدل سازی سیستم های ناکام مغناطیسی‏، مدل های کلاسیکی آیزینگ و هایزنبرگ را معرفی می کنیم. در ادامه انواع ناکامی را برشمرده و به بحث درباره ی اثرات تجربی ناکامی می پردازیم. ‎‎‎‏پس‎‎ از آن روش های به کار برده شده در این پایان نامه را به طور کامل شرح می دهیم. روش لاتینجر-تیزا برای یافتن پیکربندی بردار موج های منظمی که به ازای مقادیر مختلفی از شدت برهم کنش ها‏، پایین ترین حالت انرژی را مشخص می کنند‏، به کار می رود. در روش خودسازگار گاوسی رفتارهای جمعی یک سیستم مغناطیسی با به کارگیری مدل های مغناطیسی مورد مطالعه قرار می گیرد. از آن جایی که تابع پارش دربرگیرنده ی اطلاعات ترمودینامیکی هر سیستمی است‏، در این روش تابع پارش و سپس تابع هم بستگی را محاسبه می کنیم. اما کمیت مفید دیگر تابع ساختار است که از مجموع تمام هم بستگی ها حاصل می شود .‎‎شبکه های مربعی و مکعبی ساده شبکه هایی هستند که در این پایان نامه به عنوان نمونه هایی از شبکه های براوه‏ با روش خودسازگار گاوسی مورد مطالعه قرار می گیرند.. ‎به‎‎ منظور مطالعه ی مدل ‎ هایزنبرگ بر روی شبکه های لانه زنبوری و الماسی‏، در ادامه‏، روش های لاتینجر-تیزا و خودسازگار گاوسی به کار گرفته می شوند.

تاکنون بحث ها و چالش های زیادی در مورد وجود اثرات کوانتومی در ساختارهای میکروسکوپی نورون های مغز انسان شده است. در سال های اخیر, برخی شواهد تجربی به دست آمده مبنی برآن بوده اند که اثرات کوانتومی می توانند در بهبود توصیف عملکرد سیستم های زیستی نقش مهمی داشته باشند.‎ در این پایان نامه بطور کلی کانال های یونی را مورد بررسی قرار می دهیم و تمرکز کار بر روی ساختار نانومقیاس فیلتر انتخابگر درون کانال یونی می باشد که در این راستا از مدل هاچکین-هاکسلی که یکی از مدل های زیستی نورون در توصیف عملکرد نورون و تولید پالس های الکتریکی می باشد استفاده کردیم که از نظر توصیف زیستی بسیار قوی عمل می کند.‎ درواقع مدل ‎‏هاچکین-هاکسلی در سال ‎1952‎ زمانی پیشنهاد شد که هنوز ساختار حقیقی و دقیق کانال های یونی شناخته نشده بودند. امروزه به خوبی مشخص شده است که در بسیاری از کانال‏ های یونی, دریچه هایی وجود دارند که جریان های یونی را کنترل می کنند که خود شامل فیلتری به نام فیلتر انتخابگر هستند که درون کانال یونی قرار دارند، فیلترهای انتخابگر بوسیله ی محرک های الکتریکی و شیمیایی و نور و گرما و یا حتی با برهم کنش های شیمیایی فعال می شوند. این طور به نظر می رسد که فیلتر انتخابگر مسئولیت انتخاب یون ها و انتقال سریع برای یون های خاص را در طول غشای سلول های تحریک پذیر برعهده دارد. اخیرا استدلال شده است که اثرات کوانتومی در فیلتر انتخابگر ممکن است عامل مهم در کارکرد بسیار موثر کانال یونی باشد. در این پایان نامه با درنظرگیری اثر کوانتومی در فیلتر انتخابگر, معادله ی هاچکین-هاکسلی را به یک معادله ی نیمه کلاسیکی تبدیل می کنیم و نتایج آن را مورد بررسی قرار می دهیم. همچنین با استفاده از شبیه سازی دینامیک مولکولی زمان‏ وادوسی را برای برهم نهی یون ها به دست می آوریم. نتایج نشان می دهد که پتانسیل های عمل ایجاد شده در نورون های مغز می توانند تحت تاثیر اثرات کوانتومی باشند و نمی توانیم ‏با قطعیت بگوییم که پردازش اطلاعات در نورون ها ریشه ی کوانتومی ندارند.

از آن جایی که فرآیند دیدن با تحریک گیرنده های فوتونی در شبکیه توسط نور آغاز می شود‏‏، انرژی فوتونی که به چشم برخورد می کند‏ باید به اندازه ی کافی زیاد باشد‏‏، در صورت کافی نبودن آن‏، به انرژی گرمایی هم نیاز خواهد بود. دو نوع گیرنده ی فوتونی در شبکیه وجود دارند که هر کدام به طول موج خاصی از نور حساس می باشند‏. با استفاده از روابط تئوری و تجربی که ارائه شده است‏، به بررسی حساسیت این گیرنده های فوتونی به طول موج خواهیم پرداخت. ‏از روی روابط مربوط به حساسیت فوتونی می توان به این نتیجه رسید که گیرنده ها نقش آشکارساز کوانتومی دارند و منجر به تقلیل حالت کوانتومی فوتون می شوند که در طی این فرآیند‏، فوتون به سیگنال کلاسیکی تبدیل شده و به سمت قشر بینایی فرستاده می شود. حال این سوال مطرح می شود که آیا حالت کوانتومی فوتون دوباره می تواند در مغز ایجاد شود؟ آزمایش های اخیر بر روی نورون ها نشان داده است که نورون ها می توانند انتقال دهنده و گسیلنده ی نور باشند. در هر دو سیستم نورونی و فوتوسنتزی‏ پس از جذب نور در سیستم‏، گسیل دوباره ی آن مشاهده شده که به آن گسیل تأخیری می گویند‏، همچنین گسیل خودبه خودی از نورون ها نیز وجود دارد که گسیل بیوفوتونی می گویند. در این پروژه فرض شده است که در مغز‏، فرابرد کوانتومی رخ دهد و مجدداً حالت کوانتومی فوتون ایجاد شود. در ادامه گسیل تأخیری به شکل بیوفوتون در مغز با فرابرد کوانتومی معادل گرفته شده و به این ترتیب مدلی را برای گسیل بیوفوتون در گذرگاه های بینایی مغز پیشنهاد دادیم که در آن از رهیافت مدار کوانتومیِ "براسارد`` استفاده شده است. در این مدل با انجام محاسبات کوانتومی نشان دادیم که از طریق گسیل بیوفوتون ها می توان حالت کوانتومی فوتون را مجدداً در مغز ایجاد کرد که در نهایت پردازش پایانی‏ در مغز ا‏نجام خواهد شد.

چکیده بسیاری‎ از شاخه های فیزیک حالت جامد به این موضوع پرداخته می شود که چگونه انواع مختلف نظم از برهم کنش بین اجزای تشکیل دهنده ی مواد حاصل می شود. حالت های دارای نظم مانند: بلور‏، مغناطش‏، ابرشاره از شکست تقارن شناخته می شوند. ‏از‎ سال ‎1982‎‎ شاخه های جدیدی از ریاضیات که شامل هندسه ی کوانتومی و توپولوژی بودند‏، به فیزیک حالت جامد راه یافتند‏ و سبب پیدایش بینشی جدید و راه های تازه در فیزیک حالت جامد شدند. ‏یکی از آن ها کشف عایق های توپولوژیک شد. شاخه ی جدیدی از مواد‏‏، که دانشمندان علم مواد‏ را که سال ها این مواد را بدون توجه به این ویژگی مطالعه می کردند‏، حیرت زده کرد. در این شاخه از مواد نظم هندسی حفظ می شود. این نظم از تقارن وارونی زمان حاصل می شود. در این پایان نامه این دسته از مواد مطالعه شدند. در بیان ریاضی‏، شکل های فاقد گره‏، شکل های دارای توپولوژی بدیهی نام گذاری شده اند و شکل های گره‏ دار، شکل های با توپولوژی غیربدیهی نام گذاری شده اند. در مکانیک کوانتومی‏، هندسه با انرژی پیوند می خورد. تغییر شکل به صورت تغییر آدیاباتیک هامیلتونی و پیوستگی با فقدان شکاف انرژی پدیدار می شوند. توپولوژی یک حالت کوانتومی تا زمانی که شکاف انرژی پدیدار نشود‏، ثابت باقی می ماند. نقاط فاقد شکاف انرژی نقاطی هستند که تقارن وارونی زمان را حفظ می کنند و تبهگنی کرامرز در آن ها رخ می دهد. تقارن وارونی زمان یکی از مهم ترین تقارن های موجود در طبیعت است. قسمت داخلی عایق های توپولوژیک‏، عایق است و با شکاف انرژی در باند الکتریکی ظاهر می شوند‏، اما لبه ها و یا سطوح این مواد دارای حالت های بدون شکاف است که باعث رسانش در مرز سیستم می شوند. در این پایان نامه مدل هایی را در یک بعد و دو بعد معرفی می کنیم که در شاخه ی عایق های توپولوژیک قرار می گیرند و به منظور بررسی این مدل ها شناسه های توپولوژیکی که عایق های معمولی را از عایق های توپولوژیک و هم چنین عایق های توپولوژیک را از یکدیگر متمایز می سازد‏، مورد مطالعه قرار دادیم. یکی از معروف ترین این شناسه ها عدد چرن است. در سال 1988‎‎ هالدین مد‎‏لی پیشنهاد کرد که دارای توپولوژی غیر بدیهی بود. در این مدل اثر کوانتومی هال بدون وارد کردن میدان مغناطیسی ایجاد می شود و با شکست تقارن وارونی زمان همراه است. اثر کوانتومی هال برای گاز الکترونی دوبعدی در دماهای بسیار پایین و با وارد کردن میدان مغناطیسی بسیار قوی اتفاق می افتد. در این اثر برخلاف اثر هال عادی رسانندگی رفتار خطی با میدان مغناطیسی نشان نمی دهد. در این حالت رسانندگی رفتار پله ای از خود نشان می دهد که در این پایان نامه به طور مفصل توضیح داده شده است. مدل پیشنهادی او با نام های عایق های چرن و یا اثر کوانتومی هال غیر عادی نیز شناخته می شود. ‏شناسه ی توپولوژیکی در یک بعد فاز زاک نامیده می شود. فاز زاک تاکنون به صورت تجربی نیز محاسبه شده است. به این منظور پلیمر دو اتمی از اتم های روبیدیم که با هامیلتونی مدل رایس-ملِ مطابقت داشت مورد بررسی قرار گرفته شده است. در این پایان نامه بستگی این ناوردای توپولوژیک به مقدار انتگرال پرش الکترون را بررسی کردیم. همچنین شرط وجود حالت های مرزی در یک بعد را تعیین و تابع موج مرزی را به دست آوردیم.

انتقال انرژی یا بار الکتریکی از مهمترین پدیده ها در فیزیک و حتی در زیست شناسی می باشد. برای مثال می توان به انتقال بار الکتربکی در dna و یا انتقال بار یا انرژی در ساختار های فتوسنتز اشاره کرد. اخیراً شواهدی مبنی بر اینکه مکانیک کوانتوم نقش بسزایی در پدیده های زیستی دارد، مشاهده شده است که از مهم ترین آن ها می توان یه ترکیبات درونی فتوسنتز اشاره کرد که از مشاهدات تجربی به وسیله ی آزمایشات طیف سنج تأیید شده است. در این پایان نامه ابتدا به تعریف سیستم های باز می پردازیم، سپس دو مدل شبیه سازی شده ی انتقال انرژی در فیلترهای انتخابگر درون سلول را در حالت ایستا معرفی می کنیم، مدل منظم و نامنظم. سپس با رهیافت مکانیک کوانتوم اتلاف، نوفه و بی نظمی درون هر دو سیستم (منظم و نامنظم) را بررسی می کنیم و خواهیم دید که اثر مخرب اتلاف روی حالت منظم به صورت توانی و روی حالت نامنظم به صورت نمایی پدیدار می شود. همین طور نقش نوفه روی حالت منظم، مخرب و روی حالت نامنظم، سازنده است. سپس نقش مکانیک کلاسیک با مکانیک کوانتوم به صورت همزمان بررسی می شود و خواهیم دید که مکانیک کلاسیک نقش چندانی روی حالت منظم ندارد ولی روی حالت نامنظم کاملا موثر است. در پایان نیز بی نظمی آماری روی سیستمی متشکل از پنج نوسانگر بررسی خواهد شد و خواهیم دید که بی نظمی آماری معمولاً روی فرکانس های بالا نقش سازنده روی انتقال انرژی دارد.

در این پایان نامه اثر نوفه بر فرایند همگام سازی در مدل کوراموتو بر روی دو نوع شبکه بی مقیاس و تصادفی بررسی می شود. به علت پیچیدگی ساختار این شبکه ها، امکان مطالعه تحلیلی بر روی آنها وجود ندارد. لذا برای بررسی رفتار آنها از روشهای عددی کمک می گیریم. برای این منظور، ابتدا شبکه ای بی مقیاس با ده به توان چهار رأس و ده به توان پنج یال شبیه سازی کرده و ثابت جفت شدگی بحرانی را برای آن به صورت عددی تعیین می نماییم. سپس با استفاده از الگوریتم ایتو برای انتگرال گیری عددی از توابع تصادفی، از معادله کوراموتو در حضور نوفه انتگرال می گیریم و پارامتر نظم را به ازای شدت های مختلف نوفه محاسبه می نماییم. چنین فرایندی برای شبکه تصادفی با همان تعداد رأس و همان تعداد یال تکرار می شود. نتایج بدست آمده حاکی از آن است که فاز همگام در شبکه بی مقیاس نسبت به شبکه تصادفی در مقابل اعمال نوفه مقاومت بیشتری از خود نشان می دهد. به علاوه، از بین رفتن همگامی در شبکه بی مقیاس با زیاد شدن شدت نوفه به آرامی کاهش می یابد، در حالیکه شبکه تصادفی رفتاری ناپیوسته از خود نشان می دهد.

تری فلوراید آهن با اوربیتال نیم پُر 3d و با تکانه ی زاویه ای مداری صفر و s=5/2، پایروکلر پادفرومغناطیس هایزنبرگ کلاسیکی با ناکامی بالا است که اغلب به عنوان یک نمونه ی ساده ی اولیه مورد توجه قرار دارد. دراین رساله ما با روش تحلیلی میدان میانگین و شبیه سازی های مونت کارلو خواص این مدل را در دمای غیر صفر بررسی می کنیم.نتایج تجربی مقدار نا متعارفی برای نمای $eta$ به دست آورده اند. در این جا ما روی این مقدار نامتعارف نمای $eta$ بحث خواهیم کرد و نشان می دهیم که این نما، رده ی جهان شمولی جدیدی را نشان نمی دهد، بلکه مربوط به یک رفتار توانی، نزدیک یک گذار فاز مرتبه ی اول بسیار ضعیف است. همچنین با کاهش دما، سیستم با عبور از یک فاز کولنی، که از حالت های هم صفحه با هم بستگی کوتاه برد تشکیل شده است، به یک حالت منظم "همه داخل-همه خارج" می رسد. این گذار در دمای بحرانی 22 کلوین روی می دهد، که در توافق خوبی با مقداری است که برای این کمیت به صورت تجربی به دست آمده است

در این تحقیق تمرکز ما بر تعیین کانون صرع، پیدا کردن حالت های همبستگی و حتی پیش بینی صرع با تحلیل دو مجموعه داده می باشد.

شبکه ها، به عنوان نمایشی مناسب از سیستم های پیچیده شناخته شده اند که ایده ی اولیه ی آن ها از نظریه ی گراف گرفته شده است. بسیاری از شبکه های موجود در جهان واقعی، دارای ساختار هایی ناهمگن هستند و شامل مجموعه ای از زیرساختار های با اتصالات داخلی بسیار به نام همایه می باشند که نقش عملیاتی را در سیستم اولیه بازی می کنند. همایه، یک مفهوم کیفی است و تاکنون هیچ تعریف همه پسندی برای آن ارائه نشده است. شناخت ساختار همایه از این جهت مهم است که منجر به شناخت ساختار توپولوژی شبکه ها می شود. روش های بسیاری تاکنون برای شناسایی همایه ها معرفی شده اند. روش جدیدی که در این پایان نامه به آن اشاره شده است، بر پایه ی فاکتوریزه سازی ماتریس نامنفی (nmf) بنا شده است. در واقع، یکی از ماتریس های نامنفی شبکه به عنوان ماتریس مشخصه، v، در این الگوریتم به کار می رود و به حاصل ضرب دو ماتریس نامنفی، w و h، فاکتوریزه می شود. این فاکتوریزه سازی، نمایشی از مجموعه داده ها در یک فضای با ابعاد کاهش یافته است. ماتریس های w و h در مرحله ی نخست به صورت تصادفی انتخاب می شوند. گزینش متوالی این ماتریس ها براساس دو قانون به روز رسانی صورت می گیرد که در نهایت، منجر به همگرایی حاصل ضرب wh به ماتریس اولیه می شود. در یک شبکه، هر ستون w معادل با یک همایه است و مولفه های بردار وزن، میزان تعلق هر رأس را به تمامی همایه ها نشان می دهند. این الگوریتم را برای مجموعه ای از شبکه های موجود در جهان واقعی و شبکه های دست ساز به کار بردیم که ساختار همایه های آن ها برای ما از قبل شناخته شده بود یا قبلاً توسط دیگران بررسی شده بود. روش ما منجر به شناسایی ساختار همایه های با هم پوشانی در شبکه ها می شود. ماتریس مشخصه ی جدیدی را به نام ماتریس همبستگی میان رئوس معرفی کردیم. با کاربرد این ماتریس در روش ما، حساسیت های موجود در الگوریتم نسبت به مقادیر اولیه ی متفاوت که تاکنون در روش nmf به کار می رفت، بسیار کاهش می یابد و منجر به نتایج دقیق تری در مجموعه داده ای متفاوت می شود. به علاوه، این ماتریس مشخصه، منجر به پیدایش تعریف جدیدی برای همایه می شود که در بسیاری موارد معقول به نظر می رسد.