حلقه ی توابع حقیقی مقدار پیوسته از یک فضای تیخونوف، c (x) ابزاری بسیار کارآمد برای توسعه ی همزمان و ایجاد ارتباط در دو شاخه ی جبر و توپولوژی است. در بسیاری ازموارد این حلقه به کمک مباحث پیچیده ی ریاضی که برای آن ها مثال های عینی ، کمیاب و یا نایاب است، می شتابد و بیان این مباحث را آسان می نماید. همچنین c (x)، به عنوان پلی قدرتمند ویژگی های جبری خود را با ویژگی های توپولوژیک فضای x ، مرتبط می سازد. در این متن، هدف بررسی یکی از این ویژگی های معادل، یعنی مفهوم مکمل هم صفر مجموعه است. در واقع با بیان این مفهوم، برای فضای x، چند ویژگی جبری حلقه ی c(x) است. در این متن نشان می دهیم چگونه با پیاده سازی مفهومی توپولوژیک (فشردگی)، برای یک حلقه وجود مکمل هم صفر مجموعه بودن را داریم. در نهایت مفهوم مکمل هم صفر مجموعه را برای زیرفضاها، حاصل ضرب ها و تصاویر پیوسته ی چنین فضایی تعمیم می دهیم.

فرض کنید l یک مشبکه ی کامل است. l را یک فریم گوییم هرگاه عمل رسند روی وست توزیع پذیر باشد و یک فریم جبری است هرگاه هر عضو l به صورت وست (سوپریمم) عناصر فشردهی l باشد. در این پایان نامه ضمن مطالعه و ارائه ی بسیاری از خواص فریمهای جبری وبه طور اخص بعد فریمهای جبری (اندازه ی بزرگترین زنجیر عناصر اول در یک فریم جبری)، باتکیه بر نتایج بدست آمده در سالهای اخیر، کاربرد آنها را در موارد گوناگون علی الخصوص مبحث c(x) و زنجیر z -ایده آلها در یک حلقه ی داده شده ی (c(x بررسی می کنیم. اگر x یک فضای تیخونوف باشد، (c(x را حلقه ی تمام توابع پیوسته حقیقی روی x تعریف می کنیم. نتایج بسیاری در بعد فریم های جبری روی فریم z -ایده آلها و d -ایده آلها بکار برده میشود. بعضی از فضاهای تیخونوف مانندشبکه p -فضاها و فضاهای متمم صفرمجموعه در این کاربردها بیشترین سهم را دارند و از اینرو بخشی از این مقاله صرف توضیح کاربردهای ذکرشده برای این فضاها میشود

هدف از این پایان نامه، آشنایی با مفهوم گروه های کوانتومی است. در ابتدا مفاهیم جبرهای هوف و مضرب جبرهای هوف را مورد مطالعه قرار می دهیم سپس تعریف گروه های کوانتومی فشرده را بیان می کنیم. ضروری است که بدانیم گروه های کوانتومی ، کاتگوری تشکیل می دهند که همه گروه های موضعا فشرده مشمول در این کاتگوری اند. اشیا این کاتگوری *c-جبرهای خاص اند و گروه های موضعا فشرده همه اشیا این کاتگوری اند که ویژگی جابه جایی دارند. در این پایان نامه دو نتیجه مهم به دست می آید ابتدا اندازه هار به گروه های کوانتومی فشرده گسترش می یابد سپس نشان می دهیم چگونه مفهوم نمایش های یکانی می تواند برای گروه های کوانتومی نیز بیان شود.

در این پایان نامه بحث بر روی جبرهای باناخ میانگین پذیری تقریبی و شبه میانگین پذیری است. ابتدا به تعریف و خواص میانگین پذیری(انقباض پذیری)می پردازیم.سپس با ارایه ی تعریف میانگین پذیری تقریبی(انقباض پذیری تقریبی)،سعی می کنیم بعضی خواص مشترک و غیر مشترک آن را با میانگین پذیری(انقباض پذیری)بررسی کنیم.در پایان به خواص جبرهای باناخ شبه میانگین پذیر و شبه انقباض پذیر خواهیم پرداخت.

ابتدا مفاهیم مشخصه های یک جبر باناخ که در آن و همومورفیسم های پیوسته روی یک جبر باناخ می باشند را معرفی و تعریف می کنیم. اگر = باشد این مشخصه ها را با یا نمایش می دهیم. تعاریف انقباض پذیری دوتصویری و قطر را بترتیب به مفاهیم -انقباض پذیری -دوتصویری و -قطر توسیع می دهیم که در آن همومورفیسم پیوسته روی یک جبر باناخ است. سپس رابطه های بین -انقباض پذیری -دوتصویری و وجود یک -قطر را برای یک جبر باناخ تحقیق می کنیم وقتی دارای برد چگال یا خودتوان باشد. همچنین رابطه های بین مفاهیم انقباض پذیری دوتصویری و قطر را با سیگمای این مفاهیم بررسی می کنیم. به علاوه بعضی خواص موروثی این مفاهیم را در این پایان نامه به دست می آوریم. سپس رابطه بین میانگین پذیری و -میانگین پذیری جبرهای باناخ و همچنین خواص موروثی -میانگین پذیری را مورد تحقیق و بررسی قرار می دهیم. در ادامه مفهوم -قطر مجازی و -قطر تقریبی را بیان می کنیم و آنها را در مطالعه -میانگین پذیری جبرهای باناخ به کار می بریم.

در این پایان نامه مطالب متنوعی پیرامون جبرهای باناخ تصویری و دوتصویری بیان می کنیم. قضیه ها و مثالهای مهمی را مطرح کرده و نمونه هایی از جبرهای باناخ تصویری و دو تصویری ارایه می کنیم. خاصیت تصویری چپ و راست و دوتصویری را برای فضای عملگرهای فشرده و فضاهای ال پی و فضای ماتریس های مربعی مرتبه متناهی مورد بررسی قرار داده ایم. همچنین قضیه مهمی پیرامون جمع مستقیم جبرهای باناخ دو تصویری بیان کرده ایم.

در این پایان نامه به ترتیب موارد زیر را بررسی می شود: 1. مسئله ی نامعادلات تغییراتی 2. تعمیم مسئله ی نامعادلات تغییراتی روی فضاهای هیلبرت و باناخ 3.تعمیم مسئله ی نامعادلات تغییراتی روی مشبکه هیلبرت و باناخ مهم ترین هدف در مسئله ی نامعادلات تغییراتی تعمیم یافته وجود جواب می باشد که در این پایان نامه به آن می پردازیم.در ضمن بعضی نتایج در مورد وجود جواب های ماکسیمم و مینیمم را برای مسئله نامعادلات تغییراتی تعمیم یافته بررسی میکنیم.

در این پایاننامه مسئله ی جدیدی بنام جواب های مشترک نامعادلات تغییراتی (csvivp) می نامیم. که این مسئله شامل پیدا کردن جواب های مشترک نامعادلات تغییراتی در فضای هیلبرت است. یک الگوریتم برای حل مسئله ی (csvip) دو مجموعه ای ارائه می دهیم که هر دنباله ی تولید شده توسط این الگوریتم همگرای ضعیف به جواب مشترک است .همچنین این الگوریتم را در حالت کلی (csvip) برای تعداد متناهی مجموعه ها تعمیم می دهیم . در نهایت الگوریتم دیگری را ارائه می دهیم که تحت آن هر دنباله ی تولید شده توسط این الگوریتم همگرای قوی به جواب های مشترک می باشد.

در این پایان نامه پس از معرفی فریم ها و پایه ها، روابط بین آن ها را معرفی میکنیم سپس تقریب متقارن فریم ها را بررسی می کنیم.

دستگاه اعدادمختلط را در نظر می گیریم. آنالیز مختلط رفتار توابع روی c مورد بررسی قرار می دهد. فضای هیلبرت h را در نظر می گیریم. ابتدا توجه کنیم که فضای عملگرهای کراندار و خطی روی h که با نماد (b(h نمایش داده می شود، در حالت یک بعدی دقیقا همان c می باشد. از طرفی (b(h برخی از ویژگی های اساسی c را داراست به طور مثال: مفهوم مزدوج در c به مفهوم الحاق یک عملگر در (b(h تعمیم می یابد. با تکیه بر این روابط اساسی، پوپسکو برخی از تعاریف، مفاهیم و قضایای موجود در آنالیز مختلط را روی فضای عملگرها منتقل نمود. باتوجه به توضیحات فوق (b(h به عنوان تعمیمی ازc و بنابراین گوی واحد (b(h، تعمیمی از d یعنی دیسک واحد خواهد شد. در این پایان نامه در ابتدا با چگونگی انتقال فضای توابع تحلیلی روی d که با نمادa (d شناخته می شود، به فضای توابع تحلیلی رویb(h)1 که با نماد hol(b(h))1 نمایش داده می شود، آشنا خواهیم شد. در ادامه، انتقال برخی از مفاهیم کلاسیک روی فضای توابع تحلیلی رویb(h)1 مورد بررسی قرار می گیرد که برخی از آنها عبارتند از : معرفی شعاع همگرایی یک سری توانی با n ـ متغیر نمادین ( که با هم جابجا نمی شوند) . ارایه فرمول های مشابه آبل و هادامارد. تعمیم مهمترین قضیه آنالیز مختلط یعنی قضیه کشی.

در این پایان نامه روی سه موضوع خاص در نظریه فریم متمرکز می شویم. ابتدا نشان می دهیم که مساله پالسن هم ارز مساله تصویر است.سپس شرح می دهیم چه موقع دو فریم تنگ می توانند دوگان یکدیگر باشند.در نهایت رابطه بین دو فریم ?_i }_(i=1)^m} و t?_i }_(i=1)^m} رابررسی می کنیم که t یک عملگر وارون پذیر است. علاوه بر این استقلال خطی {?_i ?_i^*} _(i=1)^m} را بررسی می کنیم.

در این پایان نامه ابتدا به یادآوری تعریف مشتق پذیری توابع برداری و مشتق در راستای یک بردار می پردازیم. سپس کاربردهایی از مشتق این توابع را بررسی خواهیم کرد. در ادامه ضمن تعریف توابع تمامریخت این قضایا را برای فضای توابع تمامریخت تعمیم می دهیم و در این راستا به بیان قضایایی نظیر قضیه نگاشت وارون خواهیم پرداخت.

هدف از این پایان نامه ، بررسی چگونگی ساخته شدن مدل ناجابجایی کاتگوریهای فضاهای نرمدار، فضاهای نرمدار دوگان، جبرهای تابعی و جبرهای تابعی دوگان می باشد.