فرض کنید r یک حلقه و m یک r-مدول راست باشد. در این پایان نامه نشان می دهیم که: مدول m آرتینی است اگر و تنها اگر مدول mفراوان متمم شده ی تعمیم یافته باشد و در شرط زنجیرهای روی زیرمدول های متمم تعمیم یافته و روی زیرمدول های کوچک صدق کند. اگر مدول m در شرط زنجیرهای افزایشی روی زیرمدول های کوچک صدق کند آن گاه مدول m بالابر است اگروتنها اگر مدول m فراوان متمم شده باشد و هر زیرمدول متمم تعمیم یافته اش یک جمعوند مستقیم از mباشد اگر و تنها اگر مدول m در شرط p^* صدق کند. در فصل پنجم یک مدول به طورضعیف متمم شده ی تعمیم یافته بررسی می شود و اثبات می شود حلقه ی r نیم موضعی است اگر و تنها اگر هر r-مدول دوری به طور ضعیف متمم شده ی تعمیم یافته باشد.

در این پایان نامه مثال هایی از فضاهای یک-بعدی ارایه می دهیم و به سوالاتی می پردازیم که در مطالعه گروه های بنیادی این فضاها ایجاد می شوند. البته برخی از نتایج را برای فضاهای کلی تر نیز اثبات خواهیم کرد. برای نمونه اثبات می کنیم گروه بنیادی یک فضای متری ، همبند، همبند مسیری موضعی، یک-بعدی و جدایی پذیر، آزاد است اگر و تنها اگر شمارا باشد و اگر و تنها اگر دارای پوشش جهانی باشد. همچنین اثبات می کنیم برای فضای متری، همبند مسیری موضعی و جدایی پذیر موارد زیر برقرار هستند. هر گروه خارج قسمتی جابجایی آزاد از ( ) ، شمارا است و در نتیجه هر گروه خارج قسمتی آزاد از ( ) از مرتبه ی شمارا است . اگر فشرده باشد، هر گروه خارج قسمتی جابجایی از ( ) متناهی-تولید شده است، در نتیجه هر گروه خارج قسمتی آزاد از ( ) از مرتبه ی متناهی است. اگر ( ) جابجایی آزاد باشد، آن گاه دارای یک پوشش جهانی است.

تعمیم هایی از حلقه ها و مدول های منظم در این پایان نامه چندین تعمیم از حلقه ها و مدول های منظم به مدول ها معرفی و مورد مطالعه قرار گرفته است. به عنوان یک نمونه از این تعمیم، به آسانی می توان که یک حلقه ی جابجایی منظم است اگر و تنها اگر هر ایدالش اشتراک ایدال های ماکسیمال است و ما تعریف می کنیم یک مدول هیلبرت کلاسیک است اگر هر زیرمدول اول کلاسیکش اشتراک زیرمدول های ماکسیمال باشد.

هدف ما در این پایان نامه این است که نشان دهیم اگر vt یک چندگونای سگره از p1 ×· · ·×p1 به توی pn باشد در این صورت s-امین چندگونای متقاطع از چندگونای سگره دارای بعد امید می باشد. سپس نشان می دهیم که برای t=4 و s=3, سومین چندگونای متقاطع بعد امید مورد نظر را ندارد و ثابت می کنیم که این تنها مثال نقض در این خانواده نامتناهی می باشد.

حدس پوشش یکدست اولین بار توسط ادگار ایناکس در رستهِ مدولها و رستهِ بافهای o_x-مدولی به ترتیب در سالهای 1980 و 2002 مطرح گردید. هدف از این پایان نامه معرفی مفهوم پوشش یکدست و اثبات این حدس در رستهِبافه های شبه منسجم و بررسی اهمیت این موضوع می باشد. همچنین نشان خواهیم داد که با به کار بردن پوشش یکدستی که از این روش به دست می آید، می توانیم نوعی کوهومولوژی در رستهبافه های شبه منسجم تعریف نمائیم.

تاکنون ویژگی های بسیاری از هم-جبرها توسط حالات قابل مقایسه برای جبرها الهام شده است. با وجود اهمیت جبرهای اول مفاهیم متناظر آن برای هم-جبرها قابل درک نبوده است. می توان هم-جبر را روی یک میدان هم-اول نامید هرگاه جبر دوگان آن اول باشد. با این حال این تعریف قویاً به میدان بودن حلقه زمینه بستگی دارد و یک تعریف ذاتی نیست. هدف این پایان نامه فراهم کردن زمینه درک مفاهیم مرتبط برای هم-جبرها روی حلقه های جابجایی با بکارگیری روش های سنتی از نظریه (هم)مدول و به ویژه نظریه (پیش)تاب است.

در این پایان نامه به مطالعه ی حلقه های منظم با خاصیت تقریباً مقایسه پذیری تعمیم یافته می پردازیم. ابتدا با بررسی ارتباط این حلقه ها با حلقه های منظمی که در خاصیت تقریباً مقایسه پذیری صدق می کنند نشان خواهیم داد چنین حلقه هایی دقیقاً به چه شکل هایی ظاهر می شوند. بعد از آن خواص جالب این حلقه ها بررسی می شود. به عنوان نمونه نشان می دهیم دارای خاصیت نفوذ ناپذیری اکید هستند و با شرط به طور مستقیم متناهی بودن در خاصیت حذف اکید نیز صدق می کنند. همچنین هر جمع مستقیم متناهی از مدول های تصویری و به طور مستقیم متناهی روی چنین حلقه هایی، به طور مستقیم متناهی است.

هر حلقه منظم ، ددکیند متناهی و مقلیسه پذیر دارای حذف پذیری روی رسته ی مدول های تصویری و متناهی تولید نمی باشد. نشان می دهیم این حلقه ها دارای نوعی خاص از حذف پذیری هستند که آن را حذف پذیری برای تصویری های کوچک می نامیم. در این پایان نامه به مشخصه سازی این نوع از حذف پذیری می پردازیم. در ادامه با استفاده از مفاهیم نیم گروههای آبلی به معرفی ایدآل های جدایی پذیر و قوی-جدایی پذیر می پردازیم . ایدآل قوی-جدایی پذیر تعمیمی از خاصیت حذف پذیری برای تصویری های کوچک از حلقه به ایدآل است. همچنین با توجه به این که حلقه های منظم رده ای از حلقه های تبادل هستند، به دنبال این هستیم که به وسیله ی خصوصیات عناصر یک حلقه مشخصه سازی بدست آمده برای حلقه های منظم را به حلقه های تبادل گسترش دهیم. ثابت می کنیم ایدآل i از حلقه تبادل r قوی-جدایی پذیر است هرگاه برای هر با رابطه ی rar n rr(a) = rar n r(l - a)r و a(l - a) i a منظم یکه باشد ، و عکس آن برای ایدآل های منظم برقرار است. از طرفی چون با عمل مجموع مستقیم، رده های یکریختی از مدول های تصویری و متناهی تولید در یک حلقه ی تبادل یک تکواره تظریف ایجاد می کند این مشخصه سازی را با در نظر گرفتن یکه های یک-طرفه گسترش می دهیم. در پایان به کمک مفاهیمی همچون برد پایدار، ایدآل های جدایی پذیر و قوی-جدایی پذیر عتاصر تمیز در حلقه های تمیزمورد مطالعه قرار می گیرند.

در این پایان نامه به بررسی حلقه ها و مدول های تحویل یافته، صفردرجی، آرمنداریز و ناتکین می پردازیم.چندین نتیجه شناخته شده برای حلقه های تحویل یافته و حلقه های صفردرجی را به مدول های تحویل یافته و مدول های صفردرجی تعمیم می دهیم. ثابت می کنیم که برای یک مدول نیم اول یا یک مدول نیم اولیه (یک مدول با رادیکال جیکوبسون صفر)، مفاهیم تحویل یافته، متقارن، ps-آرمنداریز و صفردرجی باهم معادل اند.مثال های جدیدی از مدول های تحویل یافته ارایه می دهیم. به عنوان مثال نشان می دهیم که مدول های تخت روی حلقه های تحویل یافته و نیز مدول های با رادیکال جیکوبسون صفر(مدول های نیم اولیه) روی حلقه های کیو چپ، مدول هایی تحویل یافته اند. حلقه هایی که تمام مدول های روی آنها، تحویل یافته (متقارن) اند را مشخص می کنیم. در نهایت به بررسی حلقه ها و مدول های تکین و ناتکین می پردازیم و روابط بین این حلقه ها و مدول ها را با حلقه ها و مدول های تحویل یافته و صفردرجی بیان می کنیم. نشان می دهیم حلقه های تحویل یافته، ناتکین اند اما مدول های تحویل یافته لزوما ناتکین نیستند. همچنین نشان می دهیم حلقه های ناتکین (مدول های ناتکین) لزوما تحویل یافته نیستند.

فرض کنید یک حلقه جابجایی و یکدار و یک - مدول یکانی باشد. فرض کنید مجموعه مقسوم علیه صفر حلقه باشد. گراف ساده با مجموعه رئوس در سال 1999 توسط اندرسون و لیوینگستون تعریف شده است که در آن هر دو راًس متمایز و مجاورند اگر وتنها اگر این گراف را گراف مقسوم علیه صفر حلقه می نامند. ما در این رساله تعریف گراف مقسوم علیه حلقه را به گراف تابدار وابسته به مدول تعمیم می دهیم. فرض کنید مجموعه عناصر تابدار - مدول باشد. گراف ساده را با مجموعه رئوس تعریف می کنیم که در آن هر دو راًس متمایز و مجاورند اگر وتنها اگر این گراف را گراف تابدار وابسته به مدول می نامیم. روشن است که تعریف گراف تابدار وابسته به مدول توسیع تعریف گراف گراف مقسوم علیه صفر حلقه است. ما در این رساله ارتباط بین برخی از گزاره های نظریه مدول و نظریه گراف را تحقیق خواهیم کرد و معتقدیم این تحقیقات به شناخت ساختار مدول به خصوص عناصر تابدار آن کمک بسزایی خواهد کرد. علاوه بر این با بررسی ارتبااط بین قطر گراف مقسوم علیه صفر و گراف تابدار وابسته به چند نتیجه جالب در مورد زیر مدول های اول مینیمال مدول های ضربی روی حلقه منظم فون نویمان بدست آورده ایم. در نهایت به مطالعه بزرگترین زیر گراف همبند گراف تابدار وابسته به مدول های ضربی می پردازیم.

چکیده در این پایان نامه مدول های تزریقی ضعیف مطالعه شده و چندین مشخصه سازی از آن ها ارائه شده است. یکی از نتایج جالب بدست آمده، وجود محکی برای این مدول ها است. در ادامه پوش-تزریقی ضعیف معرفی شده و نشان داده شده است که روی هر دامنه ی صحیح، هر مدولی پوش-تزریقی ضعیف دارد. مطالعه روی این مفهوم، نتیجه ای کاربردی را سبب می شود که عبارتست از بدست آوردن پوش-تزریقی ضعیف یک مدول از پوشش تختش و برعکس. دامنه ی صحیح r تقریباً کامل نامیده می شود، هرگاه برای هر ایدال ناصفر و سره i از حلقه ی r حلقه ی r/i کامل باشد. این دامنه ها به طریق مختلف توصیف شده اند، برای مثال روی این دامنه ها، مفهوم های هم-تاب ایناکس و هم-تاب متلیس بر هم منطبق هستند. یکی از اهداف مهم ما، توصیف دامنه های تقریباً کامل با استفاده از مفهوم تزریقی ضعیف است. رده بندی موضوعی:11c13. کلمات کلیدی : مدول h-بخش پذیر، مدول تزریقی ضعیف، مدول هم-تاب ایناکس و هم-تاب متلیس، بعدتزریقی ضعیف فراگیر، دامنه ی تقریباً کامل، پوشش تخت، پوش-تزریقی ضعیف، بعد ضعیف.

تزریقی بودن نسبت به زیرمدول های بسته در این پایان نامه مدول های تزریقی را روی دامنه ی ددکیند مشخص می کنیم. برای این منظور نشان می دهیم که اگر r دامنه ی ددکیند باشد، آنگاه mمدول -c تزریقی است اگر و تنها اگر یکریخت با حاصل ضرب مستقیمی از مدول های نیم ساده ی همگن و مدول های تزریقی باشد. همچنین نشان می دهیم که دامنه ی نوتری جابجایی rددکیند است اگر و تنها اگر هر مدول ساده -c تزریقی باشد. کلمات کلیدی: مدول های خالصc -تزریقی، مدول های –pخالص-تزریقی، ایدآل های تقریبا اصلی، دامنه های ددکیند.

r-مدول m، سیگما-تزریقی نامیده می شود هرگاه m^((?))با هر عدد اصلی ? تزریقی باشد. در این پایان نامه مدول های سیگما-تزریقی معرفی شده و توصیف های جدیدی برای آن ها ارائه می شود. به عنوان یک قضیه نشان داده می شود که یک مدول تزریقی m، سیگما-تزریقی است اکر وتنها اگر عدد اصلی نامتناهی ? وجود داشته باشد به طوری که هر توسیع اساسی از m^((?)) حاصل جمع مستقیمی از مدول های تزریقی باشد. در ادامه به توسیع این قضیه پرداخته می شود. می توان مهم ترین هدف این پایان نامه را توسیع این قضیه دانست. این توسیع بر اساس حاصل جمع مستقیمی از مدول های تزریقی و تصویری بیان می گردد. هم چنین رابطه ی بین حلقه های نوتری راست و مدول های سیگما-تزریقی مورد مطالعه قرار می گیرد. این رابطه بیان می کند که حلقه ی r نوتری راست است اگر و تنها اگر هر r-مدول تزریقی، سیگما-تزریقی باشد. با ارائه ی این توصیف ها ، این رابطه نیز تعمیم می یابد. در این پایان نامه حلقه های نامنفرد راست معرفی شده و ارتباط بین این حلقه ها با مدول های سیگما-تزریقی بررسی خواهد شد و در پایان با معرفی مدول شبه-تزریقی و پوش شبه- تزریقی، معادلی برای مدول های سیگما-تزریقی ارائه شده به این صورت که فرض کنیم m یک r-مدول تزریقی باشد. در این صورت m سیگما-تزریقی است اگر و تنها اگر حلقه ی r نسبت به مدول m ، q. f.d. راست و هر توسیع اساسی ازm^((?.)) حاصل جمع مستقیمی از مدول های شبه- تزریقی یا تصویری باشد.

چکیده حلقه ی r نیم ساده ی محض چپ نامیده می شود، هرگاه هر -rمدول چپ حاصل جمع مستقیمی از مدول های متناهی تولید باشد. در این پایان نامه، مدول های پیش-تزریقی روی حلقه های نیم ساده ی محض چپ مطالعه شده اند. روی این حلقه ها دوگان موضعی، رابطه ای یک به یک و پوشا بین -rمدول های چپ پیش-تزریقی و -rمدول های راست پیش-تصویری ایجاد می کند. هر -rمدول چپ پیش-تزریقی پایه ی یک ریخت تقریباً شکافی چپ است. هر حاصل جمع مستقیم -rمدول های چپ پیش-تزریقی درون-آرتینی است. اگر هیچ همریختی ناصفری از مدول های پیش-تزریقی به مدول های تجزیه ناپذیر غیر پیش-تزریقی در رسته ی mod-r وجود نداشته باشد، آن گاه حاصل جمع مستقیم همه ی جمعوندهای تجزیه ناپذیر غیر پیش-تزریقی از حاصل ضرب -rمدول های چپ پیش-تزریقی، متناهی-تولید و کامل ضربی است. رده بندی موضوعی: 90d16; 70d16; 0g116

در این رساله ما ابتدا به تعمیم مفاهیم کرانداری و کاملا کرانداری برای مدول ها می پردازیم. برای این منظور مفهوم ایده آل اول را تعمیم داده و رده مهمی از زیرمدول های کاملا پایا در یک مدول را معرفی می کنیم. سپس به کمک این مفاهیم (کرانداری و کاملا کرانداری) حلقه های آرتینی، نیم آرتینی، پیش نیم آرتینی و نیز حلقه های دارای ساکل اساسی را مشخصه سازی خواهیم کرد. به ویژه ثابت می کنیم که همه مدول های راست کراندار هستند اگر و تنها اگر حلقه زمینه دارای ساکل راست اساسی باشد. هم چنین نشان می دهیم که یک حلقه پیش نیم آرتینی است اگر و تنها اگر همه مدول ها کاملا کراندار باشند. در ادامه بعد کرول مدول های کاملا کراندار را مورد بررسی قرار می دهیم و ثابت می کنیم که بعد کرول رده های خاصی از مدول های کاملا کراندار حداکثر برابر با بعد کرول کلاسیک حلقه زمینه است. پس از آن مفهوم بعد کرول کلاسیک حلقه ها را برای مدول ها تعمیم داده و چندین قضیه مهم را برای این تعمیم بیان می کنیم. به ویژه در این بخش دو تعمیم دیگر به نامهای درون کرانداری و کاملا درون کرانداری ارایه داده و کرانهایی برای بعد کرول این مدول ها توسط بعد کرول کلاسیک معرفی شده به دست می آوریم. در پایان نیز توجه خود را معطوف مطالعه مدول های تصویری محض و تزریقی محض روی حلقه های ماتریس های پایین مثلثی صوری نموده و ضمن مشخصه سازی این مدول ها کاربردهایی نیز در نظریه حلقه ها ارایه می کنیم. از جمله ثابت میکنیم که یک حلقه چسبیده راست است اگر و تنها اگر همه حلقه های ماتریس های پایین مثلثی روی آن چسبیده راست باشند.

فرض‎‎ کنیم ‎r‎‏ حلقه ای یکدار ‏و شرکت پذیر‏، ‎‎‎‎m‎‎‏ یک ‎r‎‎‎‏-مدول راست ‎یکانی و ‎‎‎‎s=‎ ‎end_r(m)‎‏ حلقه ی ‎‎‎‎r‎‎‎‏-درون ریختی ها‏ ی ‎m‎‎‏ باشد. ‎حلقه ی ‎‎‎‎r‎‎‏ ریکارت راست نامیده می شود هرگاه پوچ ساز راست هر عضو ‎‎‎‎r‎‎‎‏‏ ‏یک جمعوند مستقیم ‎‎‎‎r‎‏ باشد. در این پایان نامه مفهوم ریکارت و خواص مربوط به آن ‏برای مدول ها تعمیم داده می شود. مدول ‎m‎‎‏ ریکارت نامیده می شود هرگاه به ازای هر عضو? ‎‎‎‏ از حلقه ی ‎‎‎‎s‎‎‎‏‏، r_m (?)?^? m‎‎‏. نشان داده شده است رده‏ ی حلقه هایی‎‏ که هر مدول راست روی آن ها ریکارت می باشد‏، با کلاس حلقه های نیم ساده ی آرتینی یکی است؛ در حالی که کلاس حلقه های ‎‎‎‎r‎‏ که هر ‎‎‎‎r‎‎‎‏-مدول آزاد‏ ریکارت باشد‏، با کلاس حلقه های موروثی راست برابر است. هم چنین نشان داده شده است خاصیت ریکارت توسط جمعوندهای مستقیم به ارث برده می شود. علاوه بر این‏، به بررسی ارتباط بین مدول های ریکارت و حلقه ی درون ریختی هایشان پرداخته و ثابت شده است که حلقه ی درون ریختی ها روی مدول های ریکارت نیز دارای این خاصیت است‏، اما عکس این مطلب در حالت کلی برقرار نمی باشد.‎‎‎‎ هم چنین مدول ریکارتی که حلقه ی درون ریختی هایش شامل هیچ مجموعه ی نامتناهی از عناصر خودتوان متعامد ناصفر نباشد یک مدول بائر است. به علاوه‏، اگر مدول ‎‎‎‎m‎‎‏ به صورت حاصل جمع مستقیم دلخواه از مدول های دوری روی دامنه ی ددکیند ‎‎‎‎r‎‎‏ باشد آن گاه ‎m‎‎‏ ریکارت است اگر و تنها اگر ‎‎‎‎m‎‎‏ نیم ساده یا از تاب آزاد باشد‏، اگر و تنها اگر‏، ‎end_r(m)‎ ‎‏ یک حلقه ی ریکارت راست باشد.

فرض می کنیم r حلقه ای یکدار و شرکت پذیر باشد. حلقه ی r‎ قویاً ‎-j‎تمیز نامیده می شود اگر هر عنصر از آن را بتوان به صورت مجموع یک عنصر خودتوان و یک عنصر از رادیکال جیکوبسن حلقه ی ‎r‎ نوشت که جابجا می شوند. در این پایان نامه حلقه های قویاً ‎-j‎تمیز بررسی می شود و هدف از معرفی آن تشکیل زیر کلاس طبیعی از حلقه های قویاً تمیز با برد پایدار یک می باشد. سپس خاصیت قویاً ‎-j‎تمیزt_n (r) (حلقه ی ماتریس های مثلثی)، برای کلاس بزرگی از حلقه های موضعی ‎r‎ بررسی می شود و در ادامه نشان داده می شود که حلقه ی ماتریس های ‎ 2×2 روی حلقه های موضعی و تعویض پذیر، هیچ گاه قویاً ‎-j‎تمیز نمی باشند. سرانجام برای حلقه های موضعی محکی برای قویاً ‎-j‎تمیزی ماتریس های ‎2×2‎ به دست آورده می شود، هم چنین قویاً ‎-j‎تمیزی یک ماتریس ‎2×2 روی حلقه های موضعی و تعویض پذیر به وسیله ی یک معادله ی درجه دوم کاملاً مشخص می شود.

حلقه ی r را مورفیک چپ می نامند هر گاه برای هر عنصر a?r، l(a) ? r?ra . به طور معادل هر گاه برای هر عنصرa?r عنصر b?r وجود داشته باشد به طوری که ra=l(b) و l(a)=rb. در این پایان نامه حلقه ی r را شبه – مورفیک چپ می نامیم هر گاه برای هر عنصر a?r، عناصر b,c?r وجود داشته باشد به طوری که ra=l(b) و l(a)=rc. این کلاس از حلقه ها شامل حلقه های منظم و حلقه های مورفیک چپ می باشد. ما نشان می دهیم در هر حلقه ی شبه – مورفیک چپ اشتراک دو ایدآل چپ اصلی نیز اصلی است. به علاوه اگر r یک حلقه ی شبه – مورفیک (چپ و راست) باشد آن گاه r یک حلقه ی بزوت است. همچنین حلقه ی شبه – مورفیک چپ r در شرط acc روی ایدآل های چپ اصلی صدق می کند اگر و تنها اگر یک حلقه ی ایدآل اصلی آرتینی باشد. پس از معرفی حلقه های شبه – مورفیک با استفاده از یک ترتیب جزئی روی حلقه های شبه – مورفیک، رفتار عناصر منظم را در چنین حلقه هایی مطالعه می کنیم و سپس خاصیت تمیزی را روی عناصر منظم، در حلقه های شبه – مورفیک که خاصیت حذف درونی دارند، مورد بررسی قرار می دهیم.

استفاده از میکروارگانیسم ها برای احیای اکسی آنیون های سمی به شکل عنصری غیر سمی آن ها، روشی مقرون به صرفه در پاکسازی زیستی است. نظر به گزارش های اندک در زمینه ی پردازش اکسی آنیون ها توسط مخمرها، این پژوهش به جداسازی مخمرهای مقاوم به اکسی آنیون تلوریت و کرومات پرداخت. مخمرهای احیاکننده ی تلوریت با هدف کاربرد احتمالی آن ها در فزون سازی زیستی فراتر بررسی شد. در این تحقیق، 309 جدایه ی مخمری از پساب کارخانه های چرم سازی شهرک چرم شهر ورامین و تصفیه خانه های پالایشگاه های گازی پارس جنوبی جدا و خالص سازی شد. جدایه ها روی دو نوع محیط جامد حاوی غلظت های متفاوت تلوریت و کرومات، شامل محیط کشت کمپلکس بر پایه sda و محیط کشت حداقل غنی شده با عصاره ی مخمر کشت داده شد. بیش از 99% جدایه قادر به رشد و احیای تلوریت در محیط های کشت کمپلکس و حداقل مذکور به ترتیب تا غلظت 2 و 5/0 میلی مولار بودند. نتایج نشان داد که در محیط کمپلکس و محیط حداقل به ترتیب حدود 85% و 69% جدایه ها قادر به رشد در حضور 5 میلی مولار تلوریت بودند که در این غلظت لزوما رشد همراه با احیا نبود. آزمون مقاومت به کرومات نشان داد که در محیط کمپلکس و در حضور 10 میلی مولار کرومات بیش از 33% جدایه ها و در محیط حداقل غنی شده با عصاره ی مخمر و در حضور 3 میلی مولار این اکسی آنیون، بیش از 16% جدایه ها رشد کردند. بررسی احیای تلوریت در محیط مایع حداقل غنی شده با عصاره ی مخمر منجر به انتخاب دو جدایه ی sg 519 و sg 3702 گردید. بیش از 98% از تلوریت موجود در محیط حاوی 1 میلی مولار تلوریت توسط جدایه ی sg 519 و در محیط حاوی 1، 5/1 و 2 میلی مولار آن توسط جدایه ی sg 3702 در مدت یک هفته حذف گردید. نتایج نشان داد که میزان حذف تلوریت توسط جدایه ی sg 519 مستقل از میزان تلقیح اولیه بوده اما با افزایش غلظت تلوریت به شدت کاهش می یابد؛ در حالی که میزان حذف تلوریت توسط جدایه ی sg 3702 وابسته به میزان تلقیح اولیه بوده و با افزایش غلظت تلوریت کاهش چشم گیری ندارد. شمارش تعداد سلول های زنده مانده در پایان دوره ی گرماگذاری نشان داد که با افزایش غلظت تلوریت این تعداد کاهش یافته اما میزان کاهش برای جدایه ی sg 519 بیش از جدایه ی دیگر بود. این دو جدایه قادر هستند که در محیط حداقل غلظتی بیش از 15 میلی مولار را تحمل نمایند. شناسایی این دو جدایه بر پایه ی روش های فنوتیپی و مولکولی نشان دهنده ی شباهت 100 درصدی توالی 600 جفت بازی مربوط به 26s rdnaجدایه ی sg 519 به گونه ی rhodotorula mucilaginosa بود. جدایه ی sg 3702 قرابت کامل به گونه های شناخته شده نشان نداد، ولی این جدایه از نظر فنوتیپیک مشابه trichosporon domesticum و از نظر قرابت توالی d1/d2 مشابه t. montevideense می باشد، بر اساس درخت فیلوژنی این جدایه ممکن است گونه ای جدید باشد و لازم است که ویژگی های آن فراتر تعیین شود.

در این رساله به مطالعه ی دنباله های (m,n)-دقیق محض به ویژه دنباله های fc –دقیق محض، i-دقیق محض می پردازیم. یک دنباله دقیق fc –دقیق محض (به ترتیب i-دقیق محض) نامیده می شود هرگاه هر مدول دوریِ با نمایش متناهی (به ترتیب (m,n) - نمایش ( دارای خاصیت تصویری بروی آن باشد. به طور مشابه مفاهیم زیرمدول، مدول تصویری، مدول تزریقی نیز برای این دنباله ها تعریف می شوند. در این رساله مشخص سازی هایی از بعضی حلقه ها توسط fc –محض و i-محض ارائه می دهیم. به ویژه ثابت می کنیم یک حلقه ی تعویض پذیر پروفر است اگر و تنها اگر هر دنباله ی fc –دقیق محض i-دقیق محض باشد. همچنین ثابت می کنیم هر r-مدول چپ مجموع مستقیمی از مدول های دوری است اگر و تنها اگر هر r-مدول چپ تجزیه ناپذیر، دوری با نمایش متناهی باشد اگر و تنها اگر r یک حلقه ی کوته باشد. همچنین ثابت می کنیم یک حلقه ی تعویض پذیر r ، شبه فروبنیوس است اگر و تنها اگر r آرتینی و i-تزریقی محض باشد اگر و تنها اگر r آرتینی و پوش تزریقی r مجموع مستقیمی از مدول های دوری باشد. همچنین در این رساله مفاهیم مدول های fc-تخت محض و i-تخت محض ارائه شده است و مشخص سازی هایی از آن ارائه گردید. در ادامه مفهوم (m,n)-فشرده ی جبری را مشابه با مفهوم فشرده ی جبری ارائه می کنیم و نشان می دهیم یک مدول، (m,n)-تزریقی محض است اگر و تنها اگر (m,n)-فشرده ی جبری باشد. حلقه هایی که هر r-مدول مجموع مستقیمی از r-مدول های دوری است به حلقه های کوته معروف هستند. این که چه حلقه های تعویض پذیری هستند که هر ایدآل آن مجموع مستقیمی از مدول های دوری است اولین بار توسط بهبودی و همکاران در سال 2011 برای حلقه هایی که حاصل ضربی از حلقه های موضعیِ نوتری هستند مورد بررسی قرار گرفت. در این رساله این حلقه ها را برای حالت موضعی بررسی می کنیم.

مدول m ریکارت نامیده می شود هرگاه برای هر درونریختی ? از m، ker? جمعوند مستقیمی از m باشد. نشان داده شده که جمعوند مستقیم هر مدول ریکارت، خود یک مدول ریکارت است. اما مجموع مستقیم مدول های ریکارت، در حالت کلی، ریکارت نیست. در این پایان نامه به بررسی سوال زیر می پردازیم: « در چه شرایطی مجموع مستقیم مدول های ریکارت، یک مدول ریکارت است؟ » نشان می دهیم هرگاه برای هرm_j ،m_i ،i<j?i={1,2,…,n} - تزریقی باشد، آنگاه ?_(i=1)^n m_i یک مدول ریکارت است اگر و تنها اگر به ازای هر m_j ،m_i ،i,j?i-ریکارت باشد. به عنوان نتیجه ای از این مطلب، نشان می دهیم اگر m یک cs-مدول نامنفرد باشد، آنگاه e(m)?m یک مدول ریکارت است. شرایط دیگری نیز بیان می کنیم که باعث می شوند مجموع های مستقیم مدول ها، ریکارت باشند. علاوه بر این تحقیق می کنیم چه زمانی خانواده های خاصی از مدول های آزاد روی حلقه r، ریکارت است؟ نشان داده می شود r یک حلقه نیم موروثی راست است اگر و تنها اگر هر r-مدول آزاد متناهی تولید، ریکارت باشد. به عنوان یک کاربرد، دامنه جابجایی r یک دامنه ی پروفر است اگر و تنها اگر r-مدول آزاد r^((2)) ریکارت باشد. سپس مثالی از یک مدول m می آوریم که m^((2)) ریکارت است؛ اما m^((3)) چنین نیست. در ادامه حلقه های منظم و موروثی را با استفاده از مدول های ریکارت، توصیف می کنیم. همچنین نشان می دهیم r یک v-حلقه ی راست است اگر و تنها اگر هر r-مدول راست متناهی هم تولید شده، ریکارت باشد. در بین بحث نیز، مثال هایی برای روشن شدن مفاهیم و نتایج می آوریم.

فرض کنیم r یک حلقه و m یک –r مدول چپ باشد. زیر مدول سره l از m، رادیکال است اگر l اشتراکی از زیرمدول های اول m باشد. به علاوه زیر مدول l از m ایزوله است اگر برای هر زیر مدول سره n از l، یک زیر مدول اول k از m وجود داشته باشد به طوری که n?k اما l?k. در این مقاله ثابت می شود که هر زیر مدول سره m (و از این رو هر زیر مدول m) ایزوله است اگر و تنها اگر برای هر زیر مدول n از m و هر ایده آل (اولیه چپ) i از r داشته باشیم n?im=in. در این حالت b/p برای هر ایدآل اولیه چپ p از r یک حلقه آرتینی است. در این مقاله ثابت می شود یک زیر مدول متناهی مولد n از یک –r مدول چپ ناصفر m ایزوله است اگر وتنها اگر برای ایدآل اولیه چپ p از r داشته باشیم pn=n?pm. اگر r یک حلقه جابجایی باشد، زیر مدول متناهی مولد n از –r مدول تصویری m، ایزوله است اگر و تنها اگر n جمعوند مستقیم m باشد.

هرگاه r یک حلقه یکدار و شرکت پذیر بوده و یک درونریختی از آن باشد. نگاشت جمعی r-r را یک مشتقگیر از r نامند هر گاه برای هر ab)=(a)(b)+(a)b,ber ) برای حلقه r و معرفی شده توسیع ار r[x;a] تعمیمی از حلقه چند جمله ای ها می باشد. همچنین حلقه r را دیووی چپ (راست) گویند درگاه ایدآل چپ (راست) آن دو طرفه باشد. در این پایان نامه نشان می دهیم توسیع های ار تعویض ناپذیر r[x;a,a] که دیووی راست باشند وجود دارند. همچنین روشی برای ساخت حلقه هایی که دیووی یک طرفه اند ارایه می دهیم و با مثال هایی نشان می دهیم شرایط لازم برای دیووی راست بودن یک توسیع ار که توسط مارکز بیان شده اند شرایط کافی نیستند.

حلقه ی جابجایی r دارای خاصیت (a) است اگر هر ایدآل متناهی مولد r که هر عضو آن یک مقسوم علیه صفر است، دارای پوچ ساز ناصفر باشد. در این پایان نامه مطالعه ی حلقه های دارای خاصیت (a) ادامه یافته، این مفهوم برای حلقه های ناجابجایی تعریف شده است و به بررسی چنین حلقه هایی پرداخته شده است. به علاوه چندین توسیع از حلقه های ناجابجایی دارای خاصیت (a) مانند حلقه ی ماتریس ها، حلقه ی چند جمله ای ها، حلقه ی سریهای توانی و حلقه ی کسرهای کلاسیک مورد مطالعه قرار گرفته اند. در آخر نشان داده شده است که چه موقع فضای ایدآل های اول مینیمال از حلقه های دارای خاصیت (a) فشرده است.

انعکاسی خود r حلقه وbra =0 نتیجه دهد arb = 0 ،a,b?r انعکاسی نامیده می شود هرگاه برای هرr حلقه به طورمشابه حلقه .era =0 ایجاب کند are =0 ،r از e و خودتوان a?r هر برای هرگاه راست می نامند توان انعکاسی خودتوان چپ تعریف می شود. خاصیت انعکاسی را در توسیع های مختلف روی حلقه های نیم اول بررسی می کنیم. ثابت می شود که همواره از هر حلقه ی نیم اول (انعکاسی) یک حلقه ی انعکاسی (خودتوان راست) که نیم اول (انعکاسی) نباشد، می توان ساخت. همچنین ثابت می شود که شرط انعکاسی پایدار موریتا می باشد و حلقه ی کسرهای راست از حلقه ی انعکاسی، انعکاسی می باشد. در این پایان نامه به بررسی سوال زیر می پردازیم: " اگر حلقه ی کسرهای راستr نسبت بهs یک حلقه ی انعکاسی باشد، آیا rهم حلقه ی انعکاسی است؟" نشان داده می شود که حلقه ی چندجمله ای و حلقه ی سری های توانی روی یک حلقه ی انعکاسی، همگی انعکاسی خودتوان هستند. حلقه ی خارج قسمتی از یک حلقه ی انعکاسی، در حالت کلی انعکاسی نیست اما شرایطی را بیان می کنیم که باعث می شود حلقه ی خارج قسمتی از یک حلقه ی انعکاسی، انعکاسی باشد. علاوه بر این نشان می دهیم که خاصیت شبه آرمن داریز و خاصیت انعکاسی در یک حلقه همدیگر را نتیجه نمی دهند. در ادامه با یک مثال نشان می دهیم که مفهوم حلقه ی انعکاسی خودتوان، متقارن راست و چپ نیست. سپس ثابت می کنیم که مفاهیم انعکاسی، نیم اول و انعکاسی خودتوان یکطرفه، برای یک حلقه به طور اصلی شبه بئر راست، بر هم منطبق هستند.

فرض کنید ‎g‎ یک گروه باشد. رابطه ~ ‎ را روی ‎‎‎‎g‎‎‏ به صورت زیر تعریف می‎کنیم‎ ? g ,h ?g g‎~h‎ ?‎‎ |‎g|=|h| ‎ ‏که در آن ‎ ‎‎‎|x‎|‎‏ مرتبه ی عضو ‎‎x‎‎‎‎‏ در گروه ‎‎‎‎g‎‏ است. به وضوح این رابطه‏، یک رابطه ی هم ارزی است.مجموعه‏ ی اندازه های رده های هم ارزی نسبت به این رابطه را نوع مرتبه ی یکسان ‎g‎ می نامیم.‎‎ برای مثال اگر ‎g?1‎ یک گروه تاب آزاد باشد نوع آن {? و ?}‎ است.گروه بدیهی و گروه z2 تنها گروه‏ های از نوع ‎{1} هستند. اگر {n1 , n2, … n3 } ‏، نوع مرتبه‏ ی یکسان گروه ‎g‎ باشد، آن گاه برای هر‎i? j، ‎ni? nj‎ ‎. مفهوم نوع را ایتو ‎(itô)‎ در سال 1953 درمورد رده های مزدوجی معرفی کرد. اگر ‎g‎ یک گروه متناهی باشدr } {n1 ,…,n‎ مجموعه ی اندازه های رده های مزدوجی اعضای g‎‎‏ باشد‏، به طوری که n1 =1 ‎ < n2‎ <... ‎< nr‎‎‎‏‏،‎‎ آن گاه گوییم ‎g‎‏ از نوع مزدوجی{n1,n,...,nr}‎‎‏ است. ‏می توان دید که اگر ‎ ‎g ‎‏یک‎ گروه د‏ل خواه با نوع مزدو‏جی r } {n1 ,…,n باشد‏، به طوری که ‎‎r‎ و ‎‎‎‎ni‎‏ها‎ متناهی باشند‏،‎آن گاه ‎g‎‎‏ ‎‎‏یک گروه متناهی است.‎ وا‏ضح است که فقط گروه آبلی از نوع ‎‎ {1} است. همچنین ایتو اثبات کرد ‏که گروه های متناهی از نوع مزدوجی ‎{1 , n }‎ و ‎{1 , n1 , n2}‎ به ترتیب پوچتوان و حل پذیر هستند. در این پایان نامه اندازه ی مجموعه ی اعضای از مرتبه ی یکسان را به جای اندازه ی رده های مزدوجی در قضایای ایتو قرار می دهیم و تعریف نوع مرتبه یکسان گروه را به دست می آوریم که مشابه همان تعریف ایتو است. در این تعریف جدید ممکن است گروه نامتناهی باشد. هم چنین گروه هایی را که از نوع مرتبه ی یکسان ‎{1, n}‎‎‏ یا ‎{1, m, n}‎‏ هستند‏، را بررسی می کنیم و ثابت خواهیم کرد که این گروه ها به ترتیب پوچ توان و حل پذیر هستند و ساختار آن ها را نیز مشخص خواهیم کرد. ‏‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ مقاله های زیر منابع اصلی این پایان نامه هستند ‎ ‎(1) rulin ‎shen‎, ‎"‎on finite groups with ‎given ‎same-order types". 40 (2012) 2140-2150.‎ ‎(2) cheng, ‎k.‎, ‎deaconescu, ‎m., ‎mong, ‎l.l, ‎and ‎shi, ‎w., "‎corrigendum ‎and ‎addendum ‎to ‎classification ‎of ‎finite ‎groups ‎with ‎all ‎elements ‎of ‎prime ‎order". 117 (1993) 1205-1207.‎ ‎‎ رده بندی موضوع: ‎20e34 - 20d10 - 20d60 - 20d06 کلمات کلیدی: ‏گروه های پوچ توان‏، نوع مرتبه ی یکسان‏، گروه های حل پذیر

فرض کنیم r یک حلقه دلخواه باشد. یک r- مدول یکانی ناصفر m دوم نامیده می شود هرگاه همه تصویر همریخت های ناصفر آن پوچساز یکسان در حلقه r داشته باشند. نشان داده می شود اگر r یک حلقه باشد به طوری که برای هر ایدآل p از r، حلقه r/p گلدی چپ کراندار چپ باشد، آن گاه r- مدول راست m دوم است اگر و تنها اگر q = ?ann?_r (m) یک ایدآل اول از r و m یک r/q- مدول راست بخش پذیر باشد. اگر r در acc روی ایدآل های دوطرفه صدق کند، آن گاه هر r- مدول ناصفر دارای تصویر همریختی است که که یک مدول دوم است. هر مدول ناصفر آرتینی شامل زیرمدول دوم است و فقط تعداد متناهی زیرمدول دوم ماکسیمال دارد. فرض کنیم r یک حلقه و m یک r- مدول راست ناصفر باشدکه شامل زیرمدول سره n است به طوری که m/n یک مدول دوم باشد و عدد صحیح مثبت n وجود داشته باشد که m دارای بعد میان تهی n است، در این صورت عدد صحیح مثبت k ? n و ایدآل های اول p_i (1? i ? k) موجودند به طوری که اگر l یک زیرمدول سره از m با m/l دوم باشد، آن گاه 1? i ? k وجود دارد که m/l دارای پوچساز p_i است.

اگر m و n دو مدول باشند مفهوم نیمه منظمی و منظمی برای hom(m,n تعریف می شود و مورد مطالعه قرار می گیرد و ارتباط آن با ویژگی های تزریقی مستقیم و تصویری برقراری می شود رابطه نیمه منظمی با ژاکوبسن رادیکال hom (m,n) با ایده آل های منفرد و هم منفرد hom (m,n) و با مفهوم قرار گرفتن رویا زیر یک جمعوند مستقیم تشریح می شود و نتایج اساسی در مورد مدول ها توسعه می یابد.

حلقه r، آیکدا ناکایاما حلقه (حلقه –in) نامیده می شود هرگاه پوچ ساز چپ اشتراک هر دو ایده آل راست برابر با مجموع پوچ سازهای چپ آن دو ایده ال باشد. در این پایان نامه نشان داده می شود که اگر r یک in-حلقه راست باشد و a,b دو ایدآل راست r باشند که مکمل یکدیگرند، آن گاه خود توان e?r وجود دارد به طوری که a=er و b=(1-e)r. به عنوان یک نتیجه نشان داده می شود که r خود تزریقی راست است اگر و تنها اگر m2(r) یک in-حلقه راست باشد. r حلقه دوگان(d-حلقه) نامیده می شود هرگاه هرایدآل راست یا چپ و راست باشد و هر r- مدول ساده، دارای دوگان ساده باشد. همچین ثابت خواهد شد که r شبه فربنیوس است اگر وتنها اگر r کامل چپ و in-حلقه چپ و راست باشد.

در این رساله بعد تک زنجیری برای مدول ها معرفی و مطالعه می شود. مدول تک زنجیری مدولی است که هر دو زیرمدول آن با رابطه شمول قابل مقایسه اند. بعد تک زنجیری مقادیر خود را از اعداد ترتیبی اختیار می کند و میزان دور‏ی یا نزدیکی یک مدول از تک زنجیری بودن را نشان می دهد. مبنای تعریف این بعد‏، با نیم نگاهی به بعد کرول‏ و این حقیقت که اگر یک مدول با تمام مدول های خارج قسمتی ناصفرش یکریخت باشد آن مدول تک‏ زنجیری است. مدول های نوتری‏ دسته ای از مدول ها با بعد تک زنجیری هستند. هر مدول با طول متناهی دارای‎ بعد ‏تک زنجیری متناهی است که مقدار آن کمتر یا مساوی با طول آن است. برای هر حلقه ی ‎r و هر عدد ترتیبی ‎آلفا، ‎r‎‎‏-مدول ‎m وجود دارد که بعد تک زنجیری آن ‎آلفا می باشد. نشان خواهیم داد که همه ی مدول های ‎راست‎‎‎‎‎ روی حلقه ی ‎r دارای بعد تک زنجیری هستند اگر و تنها جمع مستقیم شمارا پذیر نامتناهی از r به عنوان یک ‎‎‎‎‎‎ ‎r‎-مدول‎‎ راست ‎ دارای بعد تک زنجیری باشد اگر و تنها اگر ‎r حلقه ی نیم ساده ی آرتینی باشد. مدول زنجیری مدولی است که مجموع مستقیمی از مدول های تک زنجیری باشد. مدول های ‎n-زنجیری را به عنوان تعمیمی از مدول های زنجیری معرفی و مطالعه می کنیم. نشان خواهیم داد که حلقه ی ‎r نیم ساده ی محض است اگر و تنها اگر عدد طبیعی ‎n باشد که هر ‎r‎‎‏-مدول ‎راست‎‎‎‎‎ یک مدول ‎n‎‎‏-زنجیری باشد. مدول ها و حلقه ها با بعد تک زنجیری روی حلقه های تعویض پذیر را به طور ویژه ای بررسی خواهیم کرد. خواهیم دید حلقه ی تعویض پذیر ‎r نوتری (آرتینی) است اگر و تنها اگر هر مدول با تولید متناهی دارای بعد تک زنجیری (متناهی) باشد. یک تعمیم از بعد تک زنجیری را معرفی و مطالعه می کنیم و سپس دوگانی را برای بعد تک زنجیری تحت عنوان بعد دوگان زنجیری معرفی خواهیم کرد. برای این منظور به این نکته توجه می کنیم که مدولی که با تمام زیرمدول های ناصفرش یکریخت باشد یک مدول یکنواخت و نوتری است. بعد دوگان زنجیری به نوعی میزان دوری یک مدول از یکنواخت بودن را اندازه می گیرد. هر مدول از بعد دوگان زنجیری متناهی دارای بعد یکنواخت متناهی است. همه ی مدول های آرتینی دارای بعد دوگان زنجیری هستند. در نهایت نشان می دهیم همه ی ‎r‎‎‏-مدول های راست دارای بعد دوگان زنجیری اند اگر و تنها اگر ‎r‎‏ حلقه ی نیم ساده ی آرتینی باشد.

به طور کلی در این پایان نامه همه ی حلقه ها تعویض پذیر و یکدار هستند و مدول ها را به صورت مدول چپ یکانی در نظر می گیریم، مگر این که خلاف آن ذکر شود. فرض کنید r یک حلقه و m یک r-مدول باشد. گوییم m، پادهاپفی است هرگاه m ساده نباشد و برای هر زیرمدول سره ی n از m داشته باشیم: m ?m/n. برای مثال گروه پروفر به عنوان z-مدول پادهاپفی است. ابتدا نشان می دهیم که هر مدول پادهاپفی تک زنجیری است. مدول تک زنجیری به مدولی گفته می شود که همه ی زیرمدول های آن با رابطه ی شمول مقایسه پذیر باشند. پس از آن مدول های پادهاپفی را روی برخی از حلقه های خاص در نظر می گیریم و در مورد مدول های پادهاپفی روی حلقه های تعویض پذیر اطلاعات بیشتری به دست می آوریم. فرض کنید ‎r‎ یک حلقه ی تعویض پذیر و ‎m‎ یک r-‎مدول نامتناهی و غیرساده باشد. در این صورت m‎ پادهاپفی است اگر و تنها اگر شبکه ی زیرمدول های m یکریخت با ?+1 باشد (که در آن ? اولین عدد ترتیبی نامتناهی است ). در ادامه مدول های پادهاپفی را روی حلقه های ارزه ی گسسته، دامنه های تقریبا ددکیند و دامنه های ددکیند مورد مطالعه قرار می دهیم. فرض کنید d‎ یک دامنه ی ددکیند، k ‎‎ میدان کسرهای d ‎و ‎p ایده ال اولی از d‎ باشد. می دانیم ‎k/d‎ یک ‎d-‎مدول تاب دار است. در این صورت ما ‎p-‎مولفه ی ‎k/d‎ را با ‎c(p^?)‎ نمایش می دهیم و عبارت است از اعضایی از k/d که توسط توانی از p صفر می شوند. ما نشان می دهیم که هر مدول پادهاپفی روی یک دامنه ی ددکیند یکریخت با c(p^?)‎ است. پس از آن مدول های hs را تعریف می کنیم. به مدول نامتناهی ‎m‎ روی حلقه ی ‎r «به طور تصویری کوچکتر»‎ ( به اختصار ‎hs‎ ) گوییم هرگاه برای هر زیرمدول ناصفر ‎n‎ از ‎m‎ داشته باشیم |m/n|<|m|. برای مثال میدان های نامتناهی و حلقه ی اعداد صحیح به عنوان مدول روی خودشان hs هستند. برای این که hs بودن مدولی بررسی کنیم کافی است تنها برای زیرمدول های دوری آن شرط hs را بررسی کنیم. در ادامه رده ی وسیع تری از مدول ها را معرفی می کنیم که تعریف آن توسیعی از مدول های پادهاپفی و مدول های hs است. فرض کنید ‎r‎ یک حلقه و m‎ یک ‎r-‎مدول یکانی نامتناهی باشد. گوییم ‎m «به طور تصویری متجانس»‎ ( به اختصار ‎hc‎ ) است هرگاه برای هر زیرمدول ‎n‎ از m با شرط |m/n|=|m| داشته باشیم: m ?m/n. در این پایان نامه به مطالعه ی مدول های ‎hc‎ روی حلقه های تعویض پذیر می پردازیم. پس از یک بازنگری نسبتا خوب برای جذابیت بیشتر موضوع، چند مثال ساده از مدول های ‎hc‎ را مورد بررسی قرار می دهیم. سپس چندین نتیجه ی کلی را در مورد مدول های ‎hc‎ ثابت می کنیم.‏ از نتایج به دست آمده برای توصیف مدول های ‎hc‎ تک زنجیری‏ استفاده می کنیم. پس از آن مدول های ‎hc‎‏ را در حالت های نوتری و آرتینی مورد بررسی قرار می دهیم و در ادامه‎‎‎‎‎ به مشخصه سازی کامل مدول های ‎hc‎ روی دامنه های ددکیند می پردازیم. در آخر با چند سوال باز پایان نامه را به اتمام می رسانیم.

اهداف این رساله بر پایه ی مطالعه ی مدول های به هم فشردنی ضعیف می باشد. r-مدول m به هم فشردنی ضعیف نامیده می شود هرگاه به ازای هر زیرمدول ناصفر n از mr، homr(m,n)n?0. همان گونه که می دانیم تعمیم های مدولی مختلفی ازمفهوم حلقه ی اول (نیم اول) ارایه شده است. در بخش اول از این رساله، تعدادی از این تعمیم های مدولی مورد مطالعه قرار گرفته و با هم مقایسه شده اند و از طریق آن ها مشخصه سازی هایی برای حلقه ها نیز به دست می آوریم. مدول mr اول نامیده می شود هرگاه m به عنوان یک r/annr(m)-مدول تماماً وفادار باشد. همچنین m، *-اول (نیم اول) نامیده می شود هرگاه به ازای هر زیرمدول ناصفر (اساسی) n از m داشته باشیم m? cog(n). با اثباتی ساده دیده می شود که هر مدول *-اول، به هم فشردنی ضعیف و هر مدول به هم فشردنی ضعیف، نیم اول است. عکس نتیجه ی آخر در سال 2005 به عنوان یک سوال باز مطرح شد. در بخش دوم از رساله که به منظور پاسخ گویی به این سوال تنظیم شده است جوابی کامل و جامع به این سوال باز خواهیم داد. هر مدول به هم فشردنی ضعیف زیرحاصل ضربی از مدول های اول است. شرط هایی را به دست می آوریم که نشان می دهند چه موقع عکس این قضیه برقرار است. با توجه به این که هر مدول *-اول یک مدول اول است سوال زیر به طور طبیعی مطرح می گردد: "آیا مدول های به هم فشردنی ضعیف زیرحاصل‍ ضربی از مدول های*-اول هستند؟" نشان می دهیم در حالت های جابه جایی، جواب سوال فوق مثبت است. همچنین ثابت می کنیم r-مدول های به هم فشردنی ضعیف، دقیقاً زیرحاصل ضربی از مدول های *-اول هستند اگر و تنها اگر کلاس مدول های به هم فشردنی ضعیف یک کلاس توسیعی برای r-مدول ها باشد.

فرض کنیمr یک حلقه تعویض پذیر ویکدار موضعی باشدو(j(r رایکال جیکوبسن r و(z(r مجموعه مقسوم علیه های صفر حلقه r باشد.گوییم r یک حلقه z- موضعی است هرگاه j(r)^2=. .همچنین برای یک حلقه تعویض پذیر r فرض کنیم c یک عنصر ناصفر از (z( r باشد با این خاصیت که cz( r)=0 گوییم حلقه موضعی r یک حلقه c - موضعی است هرگاه و{0 و z(r)^2={cو z(r)^3=0, نیز xz( r)=0 نتیجه دهد که x عضو {c,0 } است. در این پایان نامه ساختاری از یک کلاس از حلقه های z -موضعی را مشخص می کنیم.همچنین ساختار و طبقه بندی تحت یکریختی همه حلقه های c-موضعی متناهی تعویض پذیر با مرتبه بیش از 5^ 2را مشخص می کنیم.

حلقه هایی که هر مدول چپ با طول متناهی شان، نیم ساده است، تعمیمی از حلقه های نیم ساده هستند. هدف این پایان نامه مشخص سازی حلقه هایی است، که هر مدول چپ با طول متناهی شان نیم ساده است. در ابتدا نشان می دهیم برای حلق? r، هر r-مدول چپ با طول متناهی، نیم ساده است اگر و تنها اگر هر r-مدول چپ با طول ?، نیم ساده باشد. همچنین نشان داده می شود نیم ساده بودن هر مدول چپ با طول متناهی، یک خاصیت پایای موریتا برای حلقه ها می باشد. نشان می دهیم که اگر r یک v-حلق? چپ باشد، هر r-مدول چپ با طول متناهی، نیم ساده است و مثال هایی ارائه شده که نشان می دهد عکس این مطلب لزوماً همیشه برقرار نیست. ازاینرو به بررسی شرایطی می پردازیم که تحت آن، عکس مطلب فوق نیز برقرار باشد، و خواهیم دید که در fbn -حلقه های چپ و همچنین حلقه های نیم-آرتینی چپ عکس مطلب نیز برقرار است. نتیج? مهمی به دست آمده، که نشان می دهد در حلقه های نوتری تعویض پذیر، هر مدول چپ با طول متناهی، نیم ساده است اگر وتنها اگر هر مدول چپ، نیم ساده باشد. به عبارتی در حلقه های نوتری تعویض پذیر، کلاس حلقه های مورد بررسی ما، و کلاس حلقه های نیم ساده برهم منطبق اند.

فرض می کنیم r یک حلقه و m یک –r مدول چپ باشد . در این پایان نامه مفهوم ایده های –s اول از حلقه ها به مدول ها تعمیم داده می شود . در حقیقت ، زیر مدول سره ی p از m را یک زیر مدول –s اول می نامیم هر گاه برای هر ایده ال a از r و هر زیر مدول n از m ، اگر به ازای هر x? a ، عدد طبیعی مانند a موجود باشد به طوری کهxn?p، آنگاه n?p یا am ? p

در این پایان نامه به بررسی برخی اتحادهای چند جمله ایی از درجه کمتر مساوی 5 می پردازیم که در تمامی جبرهای مربعثی متقارن صدق می کنند . حلقه هایی که این اتحادها در آن صادق هستند را حلقه های مربعی تعمیم یافته می نامیم . سپس به معرفی حلقه های انعطاف پذیر می پردازیم و نشان می دهیم هنگامی که یک حلقه انعطاف پذیر نباشد ، این اتحادها برای ساخت حلقه مربعی روی مرکز خودش کافی است . در نهایت نشان می دهیم هر حلقه مربعی تعمیم یافته نیم اول به صورت زیر جمع مستقیم یک حلقه ژردان ناجابجایی و یک حلقه انعطاف ناپذیر است .

در این رساله تمام حلقه ها یکدار فرض شده اند. خواصی از قبیل نوتری و آرتینی از طرف راست در نظر گرفته شده، مدولهایی که با آنها سرو کار داریم، یکانی می باشند و در حالت کلی مدول راست هستند مگر خلاف آن ذکر شده باشد. این رساله سامل دو موضوع است، که در پایان نامه مفصل ذکر شده است.