چون معادلات دیفرانسیل مخصوصاًبا مشتقات جزئی مانند گرما، موج و... در علوم مهندسی ،فیزیک، شیمی و مکانیک سیالات به کار می روند و از آنجایی که حل معادلات غیر خطی(به ویژه حل تحلیلی)مشکل است و به علت وقت گیر بودن سایر روشهای عددی در حل این گونه معادلات، روشی تحلیلی برای همگرایی سریعتر به جواب دقیق، به نام آنالیز هموتوپی معرفی شد. در سال 1992 پروفسور شی جان لیائو در رساله دکتری خود روشی تحلیلی برای حل معادلات دیفرانسیل ارائه داد که به روش آنالیز هموتوپی معروف شد. در این رساله روش جدید آنالیز هموتوپی(ham) برای حل معادلات دیفرانسیل معرفی می شود. ham مبتنی برهموتوپی که یک مفهوم بنیادی در توپولوژی است، می باشد. این روش یک تقریب تحلیلی کلی برای رسیدن به سری جواب انواع مختلف معادلات خطی و غیرخطی مانند معادلات جبری،دیفرانسیل معمولی، با مشتقات جزئی، دیفرانسیل جبری ودستگاههای آنها می باشد. بر خلاف روش های آشفتگی، ham به پارامتر های کوچک یا بزرگ فیزیکی وابسته نیست و بنابر این برای هرمسئله فیزیکی خواه شامل پارامتر کوچک یا بزرگ باشد یا نباشد، معتبر است. این روش با آزادی عملی که در انتخاب عملگر خطی، تابع کمکی، پارامتر کمکی و تقریب اولیه جواب دارد، برای ما راهی مناسب برای کنترل همگرایی سری جواب مهیا می سازد. این رساله شامل 5 فصل می باشد. در فصل اول به معرفی روش آنالیز هموتوپی و روش اصلاح شده آن می پردازیم. در فصل دوم قضیه همگرایی و قوانین اساسی و در فصل سوم و چهارم به روش آدمین و آشفتگی هموتوپی و ارتباط آنها با این روش می پردازیم و در فصل پنجم کاربردهای این روش را خواهیم داشت.

در این پایان نامه یک تجزیه ul ناقص برای ماتریس a ارائه می شود. این تجزیه iul ناقص به عنوان پیش شرط برای حل دستگاه خطی ax=b به کار می رود.از آنجایی که این پیش شرط به عنوان محصول فرعی الگوریتم bfapinv محاسبه می شود، آن را پیش شرط iulbf می نامیم. به منظور کیفیت پیش شرط iulbf آن را با پیش شرط دیگری به نام iluff مقایسه می کنیم. با بکار بردن فرایند حذف درایه های ماتریس های w،z،l و u، نسخه های متفاوت پیش شرط های iluff و iulbf ساخته می شود. هدف اصلی این پایان نامه، مقایسه کیفیت نسخه های متفاوت پیش شرط های iluff و iulbf می باشد.

بسیاری از مسائل در علوم و مهندسی به معادلات دیفرانسیل جزئی منجر می شوند.ولی در عمل تعداد کمی از ان ها را می توان به روش های تحلیلی حل کرد وجواب دقیق ان ها را به دست آورد.بنابراین از روش های عددی برای محاسبه جواب تقریبی ان ها استفاده می کنیم.ما در این پایان نامه ابتدا به توصیف روش آنالیز هموتوپی برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی می پردازیم و همگرایی این روش را مورد بررسی قرار می دهیم و در ادامه روش های مجانبی هموتوپی بهینه،آنالیز هموتوپی بهینه یک گامی و روش آشفتگی هموتوپی اصلاح شده را توصیف نموده و با ارائه چندین مثال به مقایسه این روش ها پرداخته و در مورد همگرایی،کارایی،ضعف و مزایای ان ها صحبت می کنیم.

توجه داریم در درمان سرطان روش های مختلفی وجود دارد از جمله این روش ها‏، درمان هایی مانند شیمی درمانی و پرتو درمانی است که بسیار پرکاربرد هستند. در این روش ها تجویز دارو صورت می گیرد، مهمترین سوال در درمان تومور میزان مصرف دارو برای فرد بیمار است به طوری که بهبودی بیمار را تامین کرده و حداقل آسیب را به سلول های سالم شخص وارد کند. نشان می دهیم که مدل ریاضی این سیستم ها یک مسأله کنترل بهینه غیر خطی هستند و به بررسی آشفتگی و کنترل بهینه سیستم تومور و سیستم تومور با دارو می پردازیم. ‎ ‎پایداری و ناپایداری این سیستم ها را تحلیل می کنیم و با استفاده از کنترل مقدار دارو و کنترل دوز دارو نقاط تعادل ناپایدار سیستم تومور با دارو را پایدار می کنیم، که این کار ‏را با دو روش اصل بیشینه پونتریاگین و نظریه اندازه انجام می دهیم. همچنین مقایسه ای بین نتایج حاصل از روش های فوق انجام شده است‏. از این رو نتایج کار این پایان نامه علاوه بر توسعه مبانی بنیادی علمی در علم پزشکی نیز کاربرد دارد و می توان به کمک آن میزان داروی مصرفی و دوز دارو را برای بیماران سرطانی مشخص نمود.

دستگاه معادلات خطی ax=b را در نظر بگیرید. روش های زیرفضای کریلف، یکی از مهم ترین روش های تکراری برای حل دستگاه بالا‎ و روش gmres(روش مانده کمینه ی تعمیم یافته)، نمونه ای از روش های زیرفضای کریلف می باشد. اگرm تقریبی از a باشد، آنگاه m یک پیش شرط ضمنی برای دستگاه بالا نامیده می شود. اگر m تقریب مناسبی از a باشد، آنگاه برای تسریع در روند همگرایی روش های زیرفضای کریلف، پس از محاسبه ی ماتریس پیش شرط m، به جای حل دستگاه ‎بالا، دستگاه پیش شرط شده ی چپ m^(-1) ax=m^(-1) b را با روش های زیرفضای کریلف حل می کنیم( نماد(m^(-1 نشاندهنده ی معکوس(inverse) ماتریس m می باشد). به منظور بهبود کیفیت پیش شرط، می توان از فرایند محورگیری نیز استفاده کرد. یکی از انواع محورگیری که تقارن ماتریس را حفظ می کند، محورگیری قطری می باشد. محورگیری قطری جزئی بانچ-کافمن، در سال ‎????‎ توسط بانچ و کافمن برای نسخه ی ‎kij‎ فرایند حذفی گوس مطرح شد. در سال ‎?0??‎، سعد ‎و لی ‎این نوع محورگیری را بر روی نسخه ی کروت فرایند حذفی گوس پیاده سازی کردند‎. این پایان نامه شامل ‎?‎ فصل است:‎ در فصل اول، روش زیرفضای کریلف، الگوریتم ‎‎gmres(m)‎‎، پیش شرط ضمنی برای دستگاه های خطی و مروری بر تاریخچه ی محورگیری قطری برای نسخه های kij ‎ و کروت فرایند حذفی گوس، بیان می شود. در فصل دوم، روش محورگیری قطری جزئی بانچ-کافمن برای نسخه ی ‎kij‎ فرایند حذفی گوس و روند به دست آمدن آن بیان می شود. در فصل سوم، الگوریتم نسخه ی کروت فرایند حذفی گوس با محورگیری قطری جزئی بانچ-کافمن ‎‎ارائه می شود. در پایان این فصل‎‎‏، برای بررسی کیفیت پیش شرط تولیدشده از نسخه ی کروت فرایند حذفی گوس با محورگیری قطری جزئی بانچ-کافمن، آن را با پیش شرط تولیدشده از نسخه ی کروت فرایند حذفی گو‎‎سی که در آن از محورگیری استفاده نشده است، مقایسه می کنیم. برای این منظور، دو پیش شرط بالا را به عنوان پیش شرط چپ برای دستگاه های خطی متفاوت که ماتریس ضرایب آن ها متقارن است به کار برده و دستگاه های پیش شرط ‎‎شده را با روش زیرفضای کریلف ‎gmres(20)‎ حل می کنیم.

مساله کنترل بهینه با محدودیت معادلات دیفرانسیل جزئی"بالاخص معادلات موج"کاربرد زیادی در مهندسی معماری دارد و می توان از آن در حل مسائل شبیه سازی سازه ها استفاده نمود. فرم کلی این مسائل که مورد بررسی قرار می گیرد. حل مساله فوق به روش تحلیلی براساس کار gugat مورد بررسی قرار می گیرد. (2005) سپس حل عددی به روش تئوری اندازه براساس کار روبیو، علوی و... مورد بررسی قرار می گیرد. همچنین حل عددی مساله فوق براساس روش گسسته سازی نیز مورد بررسی قرار می گیرد. در روش گسسته سازی با انتخاب گام های متفاوت، فضای جواب به یک شبکه تبدیل نموده و با استفاده از قضیه تیلور اندازه گام ها را به گونه ای طراحی می کنیم که بهترین تقریب از جواب بهینه بدست آید. تحلیل حساسیت روش نیز مورد بررسی قرار می گیرد.

بسیاری از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی که در مسائل کاربردی مثل فیزیک، مهندسی و ... ظاهر می گردند، از مرتبه ی بالای غیرخطی برخوردارند و چون جواب دقیق برای این مسائل وجود ندارد، لذا ما با استفاده از روش هاای عاددی مانناد روش عناصر متناهی جواب این معادلات را تقریب می زنیم. چون دامنه ی معادلات دیفرانسیل بسیار وسیع است برای راحتی کار آنها را به سه دسته تقسیم نموده اند: 1- معادلات سهموی 2-معادلات بیضوی 3-معادلات هذلولوی. هدف ما در این پایان نامه حل تقریبی معادلات بیضوی با استفاده از روش عناصر متناهی می باشد.

برای حل دستگاه خطی به شکل ax=b ، که ماتریس ضرایب a ، نامنفرد، بزرگ، تنک و نامتقارن است می توان از روش های زیرفضای کریلف استفاده نمود. در اغلب موارد به منظور شتاب بخشیدن به حل دستگاه خطی فوق، دستگاه را با استفاده از یک ماتریس پیش شرط که معمولاً آن راm می نامیم، به یک دستگاه پیش شرط شده تبدیل کرده و سپس آن را با روش های زیر فضای کریلف حل می کنیم. ماتریس پیش شرط m تقریبی ازa یا تقریبی از معکوس a می باشد. دو نوع رایج و متفاوت پیش شرط کننده ها، پیش شرط های ilu وainv هستند. در رده ی پیش شرط های ilu ، تجزیه ی تقریبی a و در رده ی پیش شرط های ainv تجزیه ی تقریبی معکوس ماتریس a محاسبه می شود. پیش شرط ainv دارای دو نسخه ی پیمایش راست و چپ است. پیش شرط sainv_ns یک پیش شرط پیوندی برای ماتریس های نامتقارن است که از فرایند a – دو مزدوج سازی استخراج می شود و نسخه های پیمایش راست و چپ دارد. این پیش شرط دو فاکتور مثلثی واحد و یک فاکتور قطزی دارد و دارای دو الگوریتم نخستین و بهبود یافته است. از آنجا که نسخه ی بهبود یافته ی پیمایش راست پیش شرط sainv_ns به نسخه ی ijk فرایند حذفی گاوس و نسخه ی پیمایش راست ainv وابسته است، لذا بر مبنای این وابستگی فرایند محور گیری برای این نسخه مطرح می شود. هدف این پایان نامه بررسی فرایند محورگیری در این نسخه می باشد؛ از این رو ماتریس های ضرایب مشخصی را در نظر گرفته و دستگاه های مصنوعی ax=b را، که جواب آن یک n بردار ستونی یک است، می سازیم؛ سپس از نسخه ی بهبود یافته ی پیمایش راست پیش شرط sainv_ns با محورگیری برای این ماتریس های ضرایب به عنوان پیش شرط راست برای دستگاه های مصنوعی استفاده کرده و دستگاه های پیش شرط شده را با روش های زیر فضای کریلف حل می کنیم.

در این پایان نامه، یک نوع فرآیند محورگیری کامل، برای نسخه ی پیمایش راست پیش شرط ناکامل قوی یا rif-ns، ارا ئه شده است. همچنین فرآیند محورگیری جزئی ستونی برای نسخه ی پیمایش چپ این پیش شرط ارائه خواهد شد. پیش شرط rif-ns یک پیش شرط ضمنی برای ماتریس های نامتقارن است. از آنجا که بخشی از این پیش شرط ، از فرآیند a-دومزدوج سازی استخراج می شود، دارای دو نسخه ی پیمایش راست و چپ می باشد. در نسخه ی پیمایش راست این پیش شرط ماتریس l ستونی و ماتریس u سطری تولید می شود. در نسخه ی پیمایش چپ این پیش شرط ماتریس های l و u سطری تولید می شوند. در هر دو نسخه ی این پیش شرط محاسبه ی l مستقل از u است ولی محاسبه ی u وابسته به l می باشد. ماتریس l این دو پیش شرط به عنوان محصول فرعی پیش شرط ainv و ماتریس u آن مشابه نسخه ی ijk از فرآیند حذفی گوس ساخته خواهد شد. هدف اصلی این پایان نامه ارائه فرآیند محورگیری کامل برای نسخه ی پیمایش راست rif-ns و بررسی تأثیر آن بر کیفیت این پیش شرط می باشد.

هدف این پایان نامه‏، معرفی روش هایی برای حل تقریبی-تحلیلی مسائل مقدار اولیه غیرخطی ناشی از آشوب و نیز مسائل مقدار مرزی کاربردی با هزینه محاسباتی پایین ‎‎‏در بازه های زمانی بزرگ می باشد. برای این منظور ‎‏توسعه ای از روش آنالیز هموتوپی‎‎(‎‎‎‎ham)‎ ‎ با عنوان های روش طیفی آنالیز هموتوپی‎‎(‎‎‎‎sham) ‎‏‏ و روش قطعه ای-طیفی آنالیز هموتوپی(‎‎‎psham) ‎‏ و همچنین یک توسعه از روش خطی سازی متوالی‎(slm)‎ ‎‎‎ با‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ عنوان ‏‎‎روش خطی سازی متوالی ‎‏قطعه ای (‎‎‎pslm)‎ ‎‏را معرفی می کنیم. این روش ها با تقسیم بازه های بزرگ به بازه های کوچکتر و حل مسأله مورد نظر در این بازه ها‏، این کار را انجام می دهند. از این روش ها برای حل دستگاه معادلات دیفرانسیل غیرخطی که در ناحیه مورد نظر دارای جواب های هموار هستند‏، استفاده می کنیم.‎‎‎

ین پایان نامه روش جدیدی که بر اساس تقریب چندجمله ای است، برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی هذلولوی خطی مرتبه دوم ارائه می کند. در فصل اول این پایان نامه تعاریف و پیشنیازهای لازم را آورده ایم، در فصل دوم حل این معادلات با روش ماتریسی تیلور، روش ماتریسی برنولی و روش ماتریسی لژاندر را همراه با یک مثال ارائه کرده ایم و در پایان این فصل این سه روش را با یکدیگر مقایسه کرده ایم سرانجام در فصل سوم، روش ماتریسی اویلر که روش جدیدی برای حل این گونه معادلات است، شرح داده ایم و در انتهای این فصل مثال های واضحی برای مقایسه ارائه کرده ایم تا روش مورد نظر را تأیید کنند. کارایی و دقت نتایج را با کار حاضر نشان می دهیم .

چکیده ندارد.