در این پایان نامه در فصل اول به معرفی مفاهیم مورد نیاز پرداخته ایم.در فصل دوم اعداد و چند جمله ای های q-برنولی را به همراه توابع مولد آنها معرفی می کنیم و سپس انواع مختلف اعداد و چندجمله ای های q-برنولی را مطالعه می کنیم.در فصل سوم صفر های زیبا از چندجمله ای های q-برنولی را با استفاده از بررسی های عددی توضیح می دهیم و پدیده جالبی از پراکندگی صفرهای چندجمله ای های q-برنولی را به صورت نمودارهایی در صفحه ی مختلط مشاهده خواهیم نمود.

از آنجایی که دامنه معادلات انتگرال بسیار گسترده می باشد همواره در سال های اخیر دانشمندان و ریاضی دانان کوشیده اند تا روشی برای حل این نوع معادلات ارائه نمایند. یکی از روش ها روش اختلال در هموتوپی می باشد که اولین بار توسط آقای هی بیان گردید که از این روش برای حل بسیاری از مسائل خطی و غیر خطی بکار گرفته شده است مخصوصا برای حل معادلات انتگرال. این روش جواب معادلات را بصورت یک سری ارائه می دهد که در بعضی موارد منتهی به یک سری واگرا گردیده و یا دارای حجم محاسباتی زیاد می شود لذا روشی به نام روش پیراسته اختلال در هموتوپی توسط کرامتی مطرح شد که نتنها حجم محاسبات را کاهش می دهد، باعث افزایش دقت محاسبات نیز می شود. در این پایان نامه هدف ما به کار بردن روشی موثر برای حل دستگاه معادلات انتگرال می باشد از آنجایی که حل دستگاه معادلات انتگرال دارای حجم محاسباتی زیاد و همچنین پیچیدگی های خاص می باشد این مارا وا می دارد که روشی را برای حل این نوع مسائل بکار بگیریم تا به ما الگوریتم ساده ای از حل این نوع مسائل بیان دارد و خطای محاسبات را کاهش دهد لذا در فصل سوم که موضوع اصلی پایان نامه نیز می باش دو روش کارامد را بیان داشتیم که ابتدا به شرح روش آدومیان برای حل دستگاه معادلات انتگرال پرداخته و سپس روش پیراسته اختلال در هموتوپی را برای حل معادلات انتگرال بکار می گیریم و در پایان با ارائه مثال ها و مقایسه بین روشه مشاهده خواهیم نمود که روش پیراسته اختلال در هموتوپی نتنها دارای حجم محاسباتی کمی می باشد دقت محاسبات آن نیز به مراتب بیشتر از روش آدومیان است.

این پایان نامه روی معادلات و دستگاه های خطی معادلات بازه ای و فازی تمرکز می کند. روش های حل مختلف برای حل این معادلات مطرح و بررسی می شوند و جواب های به دست آمده توسط آن ها مورد مقایسه قرار می گیرند. به طورخاص روش سواست را برای حل دستگاه معادلات بازه ای و فازی مطرح می کنیم. روش سواست بر اساس صفر گسترش یافته ی بازه ای عمل می کند. در انتها به مقایسه ی جواب های به دست آمده توسط روش سواست و روش های معمول دیگر می پرازیم و نشان می دهیم برخی از ادعاهای سواست راجع به جواب های به دست آمده نادرست هستند.

تعداد قابل توجهی از مسائل کاربردی نیاز به حل عددی دستگاه های بزرگ معادلات انتگرال ولترا از نوع آبل دارند. در اینجا برای حل عددی تعدادی از این دستگاه ها یک الگوریتم موازی پیشنهاد می کنیم . به منظور دستیابی به یک بهره وری بهتر روش رهایش موجی شکل سریعا همگرا و تماما موازی را بکار گرفته و به ارزیابی لگ ترم با استفاده از تکنیک تبدیل فوریه سریع می پردازیم . افزایش سرعت همگرایی روش رهایش موجی شکل و بهترین بهره برداری از الگوریتم موازی و توسعه راهبردهای خاص از دیگر اهداف این پایان نامه است .

امروزه،تحقیق در عملیات که یکی از زمینه های بسیار مهم در مسائل عملی است،در مسائل تصمیم گیری جهان واقعی به کاربرده می شود.اما از آنجا که بیشتر مسائل جهان واقعی خوش تعریف نیستند،لذا نمی توان آنها را بصورت دقیق تعریف کرد.از اینرو،امکان دارد استفاده از رویکردهای رایج در تحقیق در عملیات برای حل اینگونه مسائل مناسب نباشد. معمولا" برای برسی این عدم دقت،از نظریه مجموعه های فازی استفاده می گردد. این نظریه در سال 1965 توسط زاده ارائه شد.از آن زمان تاکنون نظریه مجموعه های فازی در زمینه های مختلفی از تحقیق در عملیات،برنامه ریزی ریاضی و... استفاده می گردد. در این پایان نامه روی رویکردهایی برای حل مسائل برنامه ریزی خطی متمرکز می شویم. در فصل اول،ابتدا به برنامه ریزی خطی با بهینه سازی یک تابع خطی که از محدودیت های مساوی یا نامساوی تشکیل شده پرداخته شده است. سپس روش های حل مسئله برنامه ریزی خطی چند هدفه ارائه گردیده است. فصل دوم درای دو بخش اصلی است. در بخش اول،تعدادی روش مهم برای حل مسائل برنامه ریزی خطی یک هدفه فازی مانند روش زیمرمن،روش ورنرز، روش وردگای و چاناس،روش دو مرحله ای گو و وو و روش زیمرمن بهبود یافته یاد آوری شده است.در بخش دوم نیز برخی رویکردهای فازی برای حل مسائل برنامه ریزی خطی چند هدفه مانند رویکرد زیمرمن، لبرلینگ و لبرلینگ بهبود یافته ارائه گردیده است. هدف اصلی در این پایان نامه،نشان دادن اشکالات روش دو مرحله ای گو و وو در حل مسائل برنامه ریزی خطی چندهدفه است.لذا در فصل سوم، دو روش که این ناکارآمدی ها را برطرف می کند،ارائه گردیده است. سرانجام در در فصل چهارم،مسئله برنامه ریزی خطی چند هدفه با ضرایب فازی مرد بررسی واقع شده و روشی برای حل آن ارائه گردیده است.

در این پایان نامه ابتدا دو مدل ( مدل مقدار میانگین و مدل ماکزیمم احتمال ) برای حل مسائل برنامه ریزی خطی چند هدفه تصادفی بررسی شده است. سپس روشی برای حل مسائل برنامه ریزی خطی چند هدفه تصادفی فازی که در آن متغیر تصادفی فازی در بردار سمت راست است ارائه شده است. در این روش ابتدا با استفاده از نامساوی فازی رومل فانگر مسئله به حالت تصادفی تبدیل شده است آنگاه با کمک مقادیر معینی از سطح های احتمال که توسط تصمیم گیرنده تعیین می شود مسئله برنامه ریزی تصادفی به حالت قطعی متناظر در آورده شده است.

در این ایان نامه وجود جواب های متناوب برای یک سیستم از معادلات دیفرانسیل تاخیری ارایه شده در یک شبکه ساده دو نرونی از نوع هاپفیلد با زمان های تاخیر اتصال بین نرون ها را مطالعه می کنیم به همین منظور ابتدا ساختار مغز را بیان کرده و به مقایسه انسان و کامپیوتر می پردازیم و در دامه شبکه های عصبی و شبکه های عصبی هاپفیلد را توضیح می دهیم . در فصل سوم پایداری فراگیر شبکه های عصبی هاپفیلد با تاخیرات و پایداری موضعی آن را بررسی می کنیم .پایداری فراگیر شبکه های عصبی هاپفیلد با زمان های تاخیر توزیع شده را در فصل چهارم بررسی می کنیم ، از آنجا که پایداری موضعی جواب بدیهی به طور کامل به ریشه های معادله مشخصه بستگی دارد ، معادله مشخصه متناظر با سیستم را بیان می کنیم و سپس رفتار منحنی های جواب در فضای پارامتری را را شرح می دهیم و در آخر نیز پایداری موضعی جواب بدیهی را مورد بحث و بررسی قرار می دهیم . وجود جواب های متناوب برای دستگاه معادلات دیفرانسیل تاخیری عنوان آخرین فصل این پایان نامه می باشد .

در این پایان نامه،برخی روش های عددی حل معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم (روی بازه های بی کران- کران دار)بیان می نماییم . روش های پیشنهادی شامل روش های تصویری و نسخه های گسسته می باشند.این روش ها پایداو همگرا هستند. توجه ویژه ای به دستگاه خطی متناظر با معادله متناهی البعد شده است،که با حل این دستگاه خطی خوش وضع جواب تقریبی همگرا به جواب واقعی را بدست می آوریم. مثال های عددی را به منظور تایید صحت روش ها و خوش وضعی دستگاه خطی ارائه می نماییم.

در ریاضی و فیزیکبا مسائل بسیاری روبرو می شویم که در اغلب آنها نمی توان جواب را به صورت دقیق محاسبه کرد. در اینگونه مسائل سعی می کنیم از روش های آنالیز عددی جواب را به صورت تقریبی محاسبه می کنیم . در این پایان نامه ابتدا یکی از انواع معادلات دیفرانسیل جزئی به نام معادلات برگر را معرفی خواهیم کرد و در ادامه جواب دقیق و نادقیق را برای این معادله توضیح خواهیم داد وبه عنوان اصلی ترین موضوع، روش هم محلی طیفی چبیشف را برای محاسبه جواب تقریبی معادلات برگر به طور کامل توضیح داده و این روش را با سایر روش ها مقایسه خواهیم کرد .آنچه که از این پایان نامه بر می آید آن است که این روش با وجود حجم محاسبات بالا از دقت بیشتری بر خوردار استو به جواب دقیق نزدیکتر است. بنابراین هر جا به دقتبیشتری نیاز داشتیم از این روش استفاده می کنیم.

تعداد قابل توجهی از مسائل کاربردی نیاز بهحل عددی دستگاه معادلات غیرخطی دارند برای این منظور یک تحلیل جدید از همگرایی نیمه موضعی جهت ایجاد همگرایی روش نیوتن ناکامل به منظور بدست اوردن جواب دستگاه معادلات غیر خطی در فضای باناخ راارائه می نماییم . این تحلیل برپایه توابع بازگشتی استوار است .افزایش سرعت همگرایی روش نا کامل نیوتن بااستفاده از شرط کنترل باقیمانده ازاهداف دیگراین پایان نامه می باشد. مثال های عددی ارائه شده نشان می دهند که نتایج بدست آمده در این پایان نامه کابردی وموثر می باشند.

دراین پایان نامه روشی برای حل دستگاههای خطی ارائه می دهیم. برای مقایسه این روش با روش باقیمانده مینیمال تعمیم یافته و روش حذفی گوس با محور یابی جزئی از دو گروه دستگاههای خطی،با عنوان دستگاههای خطی پاسکال، کوشی وواندرموند و هم چنین دستگاههای خطی تولید شده تصادفی استفاده می کنیم که در انها ماتریسهای ضرایب دستگاه، به ترتیب ماتریسهای پاسکال ،کوشی،واندرموند و ماتریسهای تصادفی می باشند.

در این پایان نامه خانواده ای از ماتریس ها را به ماتریس های قطری بلوکی تبدیل می کنیم.این کار را با استفاده از مفاهیم *-جبر و قضیه ساختاری انجام می دهیم البته دقت کنید برای همه اعضای خانواده فقط از دو ماتریس برای قطری بلوکی کردن استفاده می کنیم که برای همه اعضای خانواده صادق است و با استفاده از قضیه ساختاری تولید می شوند.

در این پایان نامه روشی برای حل مسایل برنامه ریزی دوسطحی کسری-خطی در یک سازمان سلسله مراتبی، با استفاده از روش برنامه ریزی آرمانی فازی مطرح شده است. با به کار?یری این روش، به یک جواب رضایت بخش برای مساله دوسطحی کسری-خطی دست می یابیم. در این روش با مشخص کردن جواب های بهینه خصوصی برای توابع هدف در هر سطح، سطوح آرمانی فازی برای اهداف در همه سطوح و نیز برای متغیرهای تصمیم تحت کنترل تصمیم ?یرنده سطح بالا، تعیین می ?ردند. سپس با در نظر ?رفتن حدود مجاز انحراف برای هر یک از سطوح آرمانی، توابع عضویت متناظرشان تعریف می شوند. آن ?اه روش برنامه ریزی آرمانی فازی برای دستیابی به بالاترین درجه عضویت هر یک ا ز آرمان های فازی، توسط مینیمم کردن متغیرهای انحرافی منفی، به کار برده می شود. در این جا با مقایسه نتایج حاصل از روش فازی با روش برنامه ریزی آرمانی فازی نتیجه می ?یریم که روش برنامه ریزی آرمانی فازی جواب های بهتری را نسبت به روش فازی دی?ر ارایه می دهد.

در دنیای واقعی، بسیاری از سیستم های موجود دارای زیر سیستم های مختلفی هستند و رابطه بین این زیر سیستم ها به گونه ای است که می توان آن ها را در سطوح مختلفی قرار داد. نحوه قرار گرفتن این سطوح به اهمیت آنها بستگی دارد و سطوحی که در سطح های بالاتری هستند، اهمیت بیشتری دارند و بر سطوح پایین تر مسلط هستند. به چنین ساختاری سیستم های سلسله مراتبی گفته می شود.در این نوع برنامه ریزی بر خلاف دیگر مسائل تصمیم گیری چندین تصمیم گیرنده در سطوح مختلف قرار دارند و هر کدام تنها تعدادی از متغیرهای تصمیم را مشخص می کنند. تقریبا تمام مسائل تصمیم گیری که دولت، بخش خصوصی و مردم را شامل می شوند و یا بازی های مرحله ای که توسط دو یا بیشتر صورت می گیرند، به صورت یک مسئله برنامه ریزی چندسطحی سلسله مراتبی مطرح است. در بسیاری از مسائل بزرگ مثلا مشکلات حمل و نقل شهری بجز تصمیم گیرنده رده های مختلف حتی مردم عادی هم که به عنوان مسافر در آن سیستم دخالت دارند، می توانند جزء عواملی تصمیم گیرنده قرار گیرند. روش های برنامه ریزی سلسله مراتبی ابتدا توسط جورکس footnote{$ goreux $} و مانا footnote{$ manne $} در سال (1973) و هکس footnote{$ hax $} و مل footnote{$ meal $} در سال (1975) مطرح شد. حل این نوع مسائل برنامه ریزی به علت فضای جواب نامحدبشان به آسانی دیگر مسائل برنامه ریزی نیست. از این رو تلاش های زیادی برای حل این مسائل صورت گرفته است. هدف ما ارائه روشی کارا و مناسب برای حل مسائل دو سطحی است. در فصل اول این پایان نامه چند روش معمول برای حل مسائل دوسطحی ارائه شده و از نظر اعتبار بررسی می شوند. در ادامه الگوریتم ژنتیک که یک الگوریتم فرا ابتکاری است معرفی شده و در نهایت از این الگوریتم برای حل مسائل دو سطحی بهره می بریم.

در این پایان نامه توابع بلاک پالس معرفی می شوند، وسپس با استفاده از این توابع و ماتریس عملیاتی آن به حل معادلات انتگرال خطی ولترای نوع اول و معادلات انتگرال غیرخطی ترکیبی فردهلم-ولترا پرداخته خواهد شد. توابع بلاک پالس و ماتریس عملگر آن، معادله انتگرال نوع اول را به سیستم معادلات خطی خوش وضع متناظر با یک ماتریس پایین مثلثی تبدیل می نماید که می تواند بطور مستقیم حل شود. همچنین در این روش معادلات انتگرال غیر خطی ترکیبی فردهلم-ولترا به یک سیستم معادلات خطی با بسطی از توابع بلاک پالسبا ضرایب مجهول تبدیل می شود.

در این پایان نامه نظریه دوگانی را برای جفت فازی مسائل برنامه ریزی خطی اولیه – دوگان با تابع عضویت خطی و نمائی بررسی می کنیم و تأثیر تابع عضویت نمائی بر شکاف دوگانی را نشان می دهیم. همچنین نتایج دوگانی را برای مسائل برنامه ریزی خطی با قیود فازی و پارامترهای فازی و متغیرهای فازی و با بکاربردن تابع مرتب کننده خطی مطرح می کنیم.در این پایان نامه در باره شکاف دوگانی بحث می کنیم. در پایان تعبیر اقتصادی دوگان را ارائه می دهیم.

در این پایان نامه مسائل مقدار مرزی برای معادلات دیفرانسیل معمولی به طور مختصر بیان و به دو دسته خطی و غیر خطی تقسیم بندی شده است که رفتار این نوع مسائل برای وجود و عدم وجود جواب مورد بررسی قرار گرفته است. هم چنین یک رویکرد عددی برای حل مسائل مرزی دو نقطه ای خطی و غیر خطی ارائه شده است که از روشهای شبه نیوتن و تفاضل محدود برای آن استفاده شده است.

در این پایان نامه می خواهیم یک راه حل صریح برای مساله تخصیص مقدار ویژه جزئی از سیستمهای کنترل مرتبه بالا بدست آوریم که با استفاده از روابط متعامد بین بردارهای ویژه چندجمله ای ماتریسی بدست می آید. همچنین راه حلی برای سیستمهای کنترل مرتبه بالا با تاخیر زمانی ارائه می دهیم که با استفاده از روش مستقیم و بدون تبدیل سیستمهای مرتبه بالا به مرتبه اول امکان پذیر است. بعضی از نتایج عددی مربوط نیز ارائه گردیده است.

در این پایان نامه مسئله مقدار ویژه ماتریس ورودی متقارن با آشوبی که متعلق به بازه داده شده، در عناصر آن صورت گرفته باشد، مورد بررسی قرار می گیرد. همچنین توصیفی از نقاط مرزی دقیق را که منجر به معرفی یک الگوریتم تقریب داخلی که در اغلب حالات کران دقیق را تخمین می زند، ارئه می دهیم. قابلیت الگوریتم مذکور را با ارئه مثال هایی آشکار می نمائیم.

این پایان نامه روش جدیدی را برای محاسبه همه و یا تعداد زیادی از مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس های متقارن توپلیتس ارائه می دهد. این روش بر اساس استفاده از فن انتقال و معکوس که همراه با روش های تکراری به کار می رود،است به طوریکه سهولتی برای محاسبه مقادیر ویژه نزدیک به یک مقدار حقیقی داده شده ( انتقال ) ایجاد می کند. با توجه به یک بازه که شامل تمامی مقادیر ویژه دلخواه است، این بازه بزرگ می تواند به بازه های کوچکتر تقسیم شود. به این ترتیب روش تکرار انتقال و معکوس ( روش لانزوس) می تواند روی هر زیر بازه به کار رود. چون بدست آوردن مقادیر ویژه هر زیر بازه مستقل از سایر زیر بازه ها است، این روش برای انجام محاسبات روی کامپیوترهای موازی بسیار مناسب است. این روش روی مسائل متقارن توپلیتس به کار رفته است. استفاده از روش بکارگیری تقارن لانزوس که توسط وس پیشنهاد شد استفاده از حلال های سریعی را برای دستگاههای خطی توپلیتس که در هر تکرار لانزوس می بایستی حل شوند را ایجاد می کند.

در این پایان نامه مسائلی از نوع مسائل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی سهموی مورد بررسی قرار می گیرند. مسائل سهموی به دو دسته مسائل مستقیم و مسائل معکوس دسته بندی شده اند و مثال هایی از این نوع مسائل آورده شده است. در ابتدا معادله واکنش-انتشار، وجود و یکتایی جواب در این معادله و بدوضعی معادله مورد بررسی قرار می گیرد. سپس با استفاده از روش مولیفیکیشن، ضرایب وابسته به فضا در معادله سهموی غیر خطی تعیین می شوند و مسأله به حالت خوش وضع تبدیل می شود. در پایان پایداری و خطای نتایج عددی، به کمک مثال های عددی نشان داده می شوند.

در این پایان نامه، معکوس ماتریس های نواری شکل مورد بررسی قرار می گیرد. در این خصوص، ابتدا یک ماتریس سه قطری را در نظر می گیریم و فرمولی صریح برای درایه های ماتریس معکوس با استفاده از کسر مسلسل پسرو بدست می آوریم. سپس حالت کلی از ماتریس نواری را بررسی و فرمولی برای معکوس این ماتریس ها با استفاده از تجزیه lu و ماتریس های هسنبرگی متناظر با آن ارائه می کنیم. در پایان فرمولی برای معکوس به وسیله تجزیه تابیده یا پیچش داده خواهد شد. زمان این روش حدودا دو برابر سریعتر از تجزیه lu است.

معادلات دیفرانسیل مرتبه ی کسری کاربرد زیادی در مدل سازی پدیده های فیزیکی و علوم مهندسی دارند. اما یافتن جواب تحلیلی و دقیق برای این معادلات در اکثر موارد خصوصا در حالت غیر خطی آنها بسیار دشوار است. در نتیجه استفاده از روش های عدددی کارامد برای حل این معادلات بسیار مورد توجه قرار گرفته است. یکی از پر کاربرد ترین این روش ها که از دقت بسیار بالایی نیز برخوردار است روش های طیفی است. در اینگونه روش ها جواب تقریبی مسئله به صورت ترکیب خطی از توابع مستقل خطی که توابع کوششی نامیده می شوند در نظر می گیریم. دسته ی عمده ای از این توابع که در این روش ها مورد استفاده قرار می گیرند در واقع جواب های یک معادله دیفرانسیل مرتبه ی ددوم هستند که به انها مسایل اشتروم-لیوویل گوییم. در این پایان نامه حالتی از مسئله ی اشتروم-لیوویل مرتبه ی کسری را بیان می کنیم و سپس پایه هایی که از این مسایل دست آمده برای حل معادلات دیفرانسیل مرتبه ی کسری به کار می بندیم.

در این پایان نامه برخی مسائل معکوس در معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی سهموی از جمله مسائل معکوس انتقال گرما با منبع گرمایی مجهول و مساله معکوس کران متحرک مربوط به معادله انتقال گرما در فضای یک بعدی به کمک روش مولیفیکیشن و مارچینگ مورد برسی قرار می گیرند. برای حل این مسائل به دلیل بدوضع بودن آنها از یک روند منظم سازی بر اساس روش مولیفیکیشن و نیز روش مارچینگ برای به دست آوردن یک جواب عددی پایدار استفاده شده است. با ارائه چند مثال عددی کارایی روش های مذکور نشان داده شده است.

در این پایان نامه نحوه ی تولید ماتریس سه قطری متقارن ‎‎a‎‎ ‏با فرض جفت های ویژه بررسی می گردد. ساختار کلی این ماتریس ها که با مجموعه ی ‎‎se‎‎‎‎ ‏نشان می دهیم و مسئله ی حداقل مربعات مرتبط با آن در حالت se ‎ ‏تهی است و sl ‎‎‎ ‏مجموعه جواب آن ها است‏، مورد بحث قرار می گیرد که در واقع هدف تمرکز روی مسئله ی بهترین تقریب متناظر با se(sl) ‎‎‎‏‏، یعنی تقریب نزدیکترین ماتریس مانند ‎ a ?‎‎ ‏در مجموعه ی se(sl) ‎‎ ‏برای ‎a‏ خواهد بود. در ارتباط با این مسئله‏، وجود و یکتایی بهترین تقریب اثبات و عبارت صریحی از‎ a ? ‎‏نیز ارائه می گردد و مثالی در حالتی که a‏ ماتریس ‎‎‏سه قطری دومتقارن است را بررسی خواهیم کرد.

در این پایان نامه بر پایه ی رابطه ی بین معادلات دیفرانسیل کسری چندمرتبه ای و معادله انتگرال ولترا، به معرفی یک روش هم محلی غیرچندجمله ای برای حل معادلات دیفرانسیل کسری چندمرتبه ای مبادرت گردیده