در این تحقیق، روش پتروف-گالرکین محلی بدون شبکه با تابع آزمون واحد برای حل مسئله جابجایی طبیعی در هندسه های پیچیده به کار رفته است. به این منظور، معادلات پیوستگی و مومنتوم در قالب معادله تابع جریان و معادله چرخش به همراه معادله انرژی، برای مسائل مختلف حل گردیده است. برای استفاده از روش پتروف-گالرکین محلی بدون شبکه، ابتدا مجموعه ای از گره ها در دامنه حل توزیع شده و سپس حول هر گره حجم کنترلی به شکل دلخواه در نظر گرفته می شود. معادلات حاکم با ضرب کردن در تابع آزمون واحد و انتگرال گیری جزء به جزء روی حجم کنترل ها به شکل ضعیف تبدیل می شوند. به منظور محاسبه انتگرال های موجود در شکل ضعیف معادلات حاکم، از روش انتگرال گیری گوسی استفاده شده و متغیرهای میدان حل در هر نقطه گوسی با استفاده از درونیابی حداقل مربعات متحرک، تقریب زده می-شوند. با جایگذاری درونیابی در شکل ضعیف معادلات حاکم، معادله منفصل شده برای هر حجم کنترل حاصل می شود. با سوار کردن این معادلات برای تمام گره های میدان به همراه اعمال شرایط مرزی اساسی با روش درونیابی مستقیم، دستگاه معادلات منفصل شده جبری برای متغیرهای میدان حاصل می گردد که با حل این دستگاه معادلات، مقادیر گره ای متغیرهای میدان به دست خواهند آمد. به منظور صحه گذاری بر برنامه رایانه ای (تهیه شده به زبان فرترن) مسائل مختلفی در هندسه های ساده و پیچیده مانند انتقال حرارت هدایتی پایدار، جابجایی اجباری و جابجایی آزاد به کمک این برنامه حل گردیده و نتایج حاصل با نتایج موجود، مقایسه شده است. در انتها نیز جابجایی آزاد نانوسیال آب-اکسید آلومینیوم در محفظه های مربعی با دیواره های جانبی موجی شکل، مورد مطالعه قرارگرفته و تأثیر عواملی نظیر کسر حجمی نانوذرات، عدد رایلی، تعداد و دامنه برجستگی های دیواره های موجی شکل بر جریان و انتقال حرارت نانوسیال مورد بررسی قرار گرفته است. نتایج حاصل از این مطالعه نشان می دهند که ناسلت محلی روی دیواره موجی شکل دارای نموداری مشابه پروفیل دیواره می باشد و ناسلت متوسط در محفظه با دیواره های جانبی موجی شکل کمتر از ناسلت متوسط در محفظه مربعی ساده خواهد بود و افزایش کسر حجمی نانوذرات در تمام اعداد رایلی منجر به افزایش ناسلت و انتقال حرارت می گردد.