در این رساله مفهوم آرنز منظم بودن یک جبر باناخ a را به حالتی که یک ساختار مدولی روی آن وجود دارد توسعه می دهیم. سپس نشان می دهیم که وقتی s یک نیمگروه وارون با زیرگروه عناصر خودتوان تماما مرتب e باشد آنگاه (l^{1}(s آرنز منظم مدولی است اگر و تنها اگر ~~/s متناهی باشد که ~~ یک رابطه هم ارزی مناسب روی s می باشد. در حالتی که s یک گروه گسسته باشد این به قضیه یانگ در مورد آرنز منظم بودن جبرهای گروهی بدل می شود. سپس مفهوم میانگین پذیری عملگری مدولی را برای جبرهای باناخی که دارای ساختار عملگری مدولی می باشند تعریف می کنیم و پس از آن به بررسی میانگین پذیری عملگری مدولی(a(s جبر فوریه نیمگروه وارون s به عنوان (c^{*}(e مدول می پردازیم و نشان می دهیم که میانگین پذیری عملگری مدولی (a(s معادل با میانگین پذیری ~~/s است که ~~ نیز یک رابطه هم ارزی دیگر روی s است. در این حالت نیز زمانی که s یک گروه گسسته باشد قضیه فوق همان قضیه روآن در مورد میانگین پذیری عملگری جبر فوریه (a(g خواهد بود.