از آنجاکه مدل¬های ریاضی معمولاً نمی¬توانند مسائل واقعی را بصورت دقیق و کامل پوشش دهند، پس برای تقریب این پدیده¬ها از مدل¬های تقریبی استفاده می¬شود؛ بنابراین بررسی جواب¬های تقریبی در بهینه¬سازی از اهمیت ویژه-ای برخوردار است. به دلیل اینکه مدل¬های چند¬هدفه از نظر عملی بسیار جامع و وسیع می¬باشند، پرداختن به جواب-های کارای تقریبی در بهینه¬سازی چند¬هدفه از اهمیت دوچندانی برخوردار است. در این پایان¬نامه به بررسی جواب¬های کارای تقریبی در مسائل بهینه¬سازی برداری پرداخته می¬شود. ابتدا یک تعریف کلی از کارایی تقریبی بر اساس مجموعه¬هایی به نام مجموعه¬های هم¬شعاع ارائه می¬شود و سپس نشان داده می¬شود که تمام مفاهیم کارایی تقریبی بر اساس این مفهوم جدید قابل تعریف می¬باشند. در ادامه با استفاده از خواص مجموعه¬های هم¬شعاع و با تعریف نگاشت¬هایی بین آن¬ها، ارتباط بین بسیاری از مفاهیم کارایی تقریبی که به شیوه-های گوناگون توسط افراد مختلفی بیان شده¬اند، ثابت می¬شود. در این پایان¬نامه هم¬چنین ارتباط بین کارایی تقریبی و ومفهوم بهینگی تقریبی در مسائل بهینه¬سازی اسکالر مورد بررسی قرار می¬گیرد. مطالباین پایان¬نامه در چهار فصل ارائه می¬شود. فصل اول به بیان مقدمات، تعاریف و قضایای لازم از بهینه-سازی چند¬هدفه و آنالیز محدب می¬پردازد. در فصل دوم خاصیتی از کارایی، کارایی تقریبی، کارایی اکید و ارتباط آن¬ها با یکدیگر مورد بررسی قرار می¬گیرد. فصل سوم تعریفی جامع و کلی از کارایی تقریبی ارائه می¬دهد. این تعریف جامع امکان مطالعه بیشترتعاریف مختلف از کارایی تقریبی را به یک شکل واحد بر اساس مجموعه¬هایی به نام مجموعه¬های هم¬شعاع میسر می¬سازد. در این فصل هم¬چنین مفهوم جدید کارایی تقریبی بر اساس اسکالر¬سازی تقریبی برای مسائل بهینه¬سازی چند¬هدفه، توصیف و بررسی می¬شود. بر این اساس یک نمایش پارامتری برای جواب¬های کارای تقریبی ارائه می¬گردد. در فصل چهارم با بررسی مفاهیم مختلف کارایی تقریبی در فضا¬های توپولوژیک، نشان داده می¬شود که برخی ازتعاریف کارایی تقریبی معادلند، بدین مفهوم که با تغییر برخی پارامتر¬ها هریک از تعاریف از دیگری قابل حصول می¬باشد. این نتایج بر اساس ویژگی¬های هندسی مجموعه¬های هم¬شعاع بدست می-آیند.

روش های اسکالرسازی مهم ترین دسته از روش های حل مسائل چندهدفه را تشکیل می دهند. از طرف دیگر ساختن یک تابع اسکالرسازی مناسب مستلزم داشتن نگرشی عمیق نسبت به ساختار مسأله است که در حالت کلی ممکن نیست. بنابراین پیداکردن روش هایی که نیاز به اطلاعات قبلی ندارند می تواند بسیار مفید باشد. برای این منظور، اخیراً برخی از روش های کلاسیک بهینه سازی تک هدفه به حالت چندهدفه تعمیم داده شده اند. در واقع، این روش ها به وزن های از قبل تعیین شده، رتبه بندی قبلی یا هر نوع اولویت بندی قبلی برای توابع هدف مختلف نیاز ندارند.در این پایان نامه تعمیم روش های تندترین شیب، نیوتن و شبه نیوتن ‎bfgs در مسائل بهینه سازی چندهدفه نامقید مورد مطالعه قرار می گیرد. ابتدا نقطه ی بحرانی تعریف شده، سپس برخی جهت های کاهشی برای رسیدن به یک نقطه ی بحرانی بررسی می شود. در ادامه و با شرایطی مشخص، همگرایی روش های فوق مورد مطالعه قرار می گیرد. به طور خاص، ثابت می شود که روش نیوتن به صورت زبرخطی به یک جواب کارای مسأله همگراست. به علاوه مشابه حالت تک هدفه ثابت می شود که اگر مشتقات مرتبه دوم، پیوسته ی لیپ شیتس باشند، سرعت همگرایی روش نیوتن مجذوری است. به صورت مشابه، همگرایی زبرخطی روش شبه نیوتن‎bfgs ‎ اثبات می گردد.

به دلیل تنوع وتعدد تعاریف و تعابیر مختلف برای جواب مسایل چندهدفه، یکی از مسایل مهمی که همواره مورد علاقه و توجه است بررسی شرایط نظری می باشد. در سال های اخیر جواب های کارای مراتب بالاتر بسیار مورد توجه قرار گرفته است. انگیزه پیدایش این مفهوم نشان گرفته از مفهوم مینیمم تنهای مرتبه دوم در مسایل بهینه سازی خطی تک هدفه است این پایان نامه به شرح و بررسی چنین مفهومی می پردازد در این پایان نامه، ابتدا مفهوم مینیمم تنهای مرتبه دوم در مسایل بهینه سازی تک هدفه بررسی می شود سپس شرایط بهینگی مربوطه مورد مطالعه قرار می گیرد.