در این پایان نامه که مبتنی بر نتایج منبع [11] نوشته می شود، ضمن مرور برخی خواص ساختارهای ت-کمینه از جمله یکنوایی قوی و تجزیه سلولی بررسی آنها برای ساختارهای ت-کمینه ضعیف نشان داده خواهد شد که هر بسط ت-کمینه ضعیف غیرارزیابی از یک گروه مرتب دارای خواص تجزیه سلولی و یکنوایی قوی می باشد. همچنین برای ساختارهای ت-کمینه ضعیف با خاصیت تجزیه سلولی قوی توسیع ت-کمینه متعارف ساخته میشود. در پایان صورت ضعیفی از مشخصه اویلر برای ساختارهای ت-کمینه ضعیف ارائه می گردد.

یک ساختار مرتبه اول ‎$ cal m $‎ که بسطی از یک ترتیب خطی چگال بدون ابتدا و انتها می باشد، ت -کمینه (به ترتیب، ت-کمینه ضعیف) گفته می شود، هرگاه هر زیرمجموعه از ‎$ m $‎، که در ‎$cal{m}$‎ تعریف پذیر است، برابر اجتماعی متناهی از بازه های باز و نقاط (به ترتیب، مجموعه های محدب و نقاط) باشد. با توجه به این که ساختارهای ت -کمینه ضعیف از خاصیت به طور تعریف پذیر کامل بودن، برخوردار نیستند، بسیاری از ویژگی های توپولوژیکی و نظریه مدلی ساختارهای ت -کمینه را از دست می دهند. به عنوان مثال، برخی از آن ها دارای نظریه ت-کمینه ضعیف نمی باشند و برخی دیگر دارای ویژگی تجزیه سلولی که یک ویژگی توپولوژیکی ساختارهای ت-کمینه می باشد، نیستند. در سال های اخیر ساختارهای ت-کمینه ضعیف در مقایسه با ساختارهای ت-کمینه در دو جهت عمده مورد بررسی واقع شده اند. اول این که در رده هایی از آن ها همان ویژگی های ساختارهای ت-کمینه مورد جستجو بوده اند. در جهت دوم سعی شده است با تضعیف برخی شرایط آن ویژگی ها، ساختارهای ت -کمینه ضعیف را نیز از موهبت آن ها برخوردار نمایند. در این رساله در هر دو جهت مذکور به مطالعه خواص خوش رفتار توابع و مجموعه های تعریف پذیر در ساختارهای ت-کمینه ضعیف می پردازیم. به طور دقیق نتایجی را در هر دو جهت، به صورت زیر خواهیم داشت‎:‎ الف) مشابه ساختارهای ت-کمینه، نشان می دهیم که هر ساختار ت-کمینه ضعیف با خاصیت تجزیه سلولی قوی توسیع پیوسته دارای خاصیت سلول باز می باشد. هم چنین ضمن به دست آوردن شرایط لازم و کافی برای خاصیت تجزیه سلولی در ساختارهای ت-کمینه ضعیف نشان می دهیم که خاصیت هیچ جا چگالی گراف توابع در ساختارهای ت-کمینه ضعیف با خاصیت تجزیه سلولی برقرار است‎.‎ ب) خواص مقدار میانی تعمیم یافته، همبندی تعریف پذیر ضعیف و شبه همبندی تعریف پذیر که خواصی شبیه خواص مقدار میانی و همبندی تعریف پذیر می باشند، را در ساختارهای ت-کمینه ضعیف مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم.