که راجع به جواب (n.mccoy) حلقههای جابجایی را معرفی کرده وپس از بررسی رابطه آن با تعریف رتبه یک ماتریس در جبر خطی کلاس یک، قضیه است، را بیان میکنیم. ax = دستگاه معادلات همگن 0 3، به بیان واثبات قضیه کیلی-همیلتون پرداخته و نشان میدهیم این قضیه برای ماتریسها روی حلقههای جابجایی نیز معتبر است. در پایان فصل، فرم - در بخش 1 نرمال اسمیت یک ماتریس را در حد وسیعی تشریح میکنیم تا اهمیت این موضوع را، در ماتریسها روی حلقههای جابجایی برجستهتر سازیم . در فصل دوم، به ارائه شرایطی میپردازیم که در صورت احراز این شرایط، قطری پذیر بودن یک ماتریس، امکان پذیر خواهد بود. مشابه روند موجود در جبر خطی کلاسیک در این فصل نیز ابتدا تعاریف مقدار ویژه، بردار ویژه و فضای ویژه را بیان میکنیم. است. پایان بخش این فصل ارائه الگوریتمی است ( d فضای ویژه مربوط به مقدار ویژه ) e(d) گستردهترین مبحث این قسمت، بررسی آزاد بودن زیر مدولهای که روند قطری کردن یک ماتریس را بیان میکند. در فصل سوم نیز بحث قطری پذیری را از زاویه چند جملهای مشخصه یک ماتریس و ماتریس همراه مربوط به آن دنبال کرده و در پایان نشان می دهیم که اگر k یک pid باشد ، ) k ( m a n n× ? و ?= ? = ? ? n k det (ix a) (x k ) 1 قطری a آنگاه ماتریس (i, j = 1,2,...,n)i ? j,(?i ? ? j ) ?u(k) و ?k ?k که متشابه است. ،det(ix ?a) پذیر بوده و با ماتریس همراه چند جملهای عنصری یکه است به سادگی نتیجه میشود که قضیه فوق تعمیم مشابه آن، در جبر k از آنجا که در جبر خطی کلاسیک تفاضل هر دو عضو متفاوت از میدان خطی کلاسیک است.