چکیده هدف از این پروژه محاسبه نوارهای انرژی ، بررسی ضرایب الاستیک و طیف فونون فاز ? و ? تیتانیوم می باشد.این پایان نامه در چهار فصل تدوین شده است که به شرح ذیل می باشد: فصل اول به صورت مقدمه برای معرفی فلز تیتانیوم ارائه می گردد که در این فصل به تاریخچه، ویژگی ها، کاربردها، گذار فاز و همچنین به معرفی ساختارهای پایدار و نیمه پایدار فلز تیتانیوم پرداخته ایم. فصل دوم با استفاده از نظریه تابعی چگالی سیستم بس ذره ای را مورد بررسی قرار داده ایم.سپس اتم های بلور را به عنوان یک دستگاه بس ذره ای در نظر گرفته و معادله شرودینگر برای کل بلور را مورد مطالعه قرار دادیم. به خاطر وجود جملات برهمکنشی، همیلتونین این دستگاه پیچیده است در نتیجه تنها راه موجود استفاده از روش های تقریبی مختلفی است که برای دستگاه های بس ذره ای در فیزیک ماده چگال ارائه شده است. در این تحقیق به دلیل استفاده از روش های flapw و شبه پتانسیل به توضیح کامل این دو روش پرداخته ایم. فصل سوم پاسخ های سیستم به اختلالات خارجی محاسبه شده از طریق نظریه تابعی چگالی، یک پتانسیل اضافی به سیستم وارد می کند که در قالب نظریه تابعی اختلالی چگالی مطرح می شود. در اینجا به منظور بررسی محاسبات دینامیکی شبکه و پاسخ های فونونی سیستم به ارتعاشات وارد بر آن، این نظریه را معرفی می کنیم. در نهایت در فصل چهارم با استفاده از دو کد محاسباتی wien2k و pwscf به محاسبه نوارهای انرژی، چگالی حالات، بهینه سازی انرژی حالت پایه بر حسب حجم با روش بیرچ مورنگان و محاسبه تعداد الکترون ها برای فاز ? پرداختیم و سپس اثر فشار روی مدول حجمی دو فاز ? و ? با استفاده از روش flapw و معادله حالت درجه سه بیرچ مورنگان بررسی کردیم. همچنین تغییرات حجم بر حسب تنش وارد بر سیستم در حالت پایه با روش شبه پتانسیل فوق نرم وندربیلت محاسبه شد. در آخر منحنی های پاشندگی، فرکانس های فونونی و ضرایب الاستیک مربوط به این دو ساختار را بدست آوردیم.