در این پایان نامه به دنبال شرایطی هستیم که تحت آن یک سیستم هذلولوی یکنواخت شود .در حقیقت نشان می دهیم که هر دیفیومورفیسم موضعی که روی مجموعه ای از اندازه ی احتمال کلی ، انبساطی غیر یکنواخت باشد ، انبساطی یکنواخت است . همچنین شرط ضعیفتر از انبساطی غیر یکنواخت را یعنی مثبت بودن نماهای لیاپانوف را جایگزین می کنیم و انبساطی یکنواخت را نیز نتیجه می گیریم . می دانیم نماهای لیاپانوف هر سیستم هذلولوی غیر صفر است . اگر سیستم هذلولوی نباشد در مورد نماهای لیاپانوف آن چه می شود گفت ؟ مثالی ارائه می شود که هذلولوی نیست (نعل اسب با تماس داخلی ، یعنی نقطه ی هموکلینیک توسط نقاط تناوبی انباشته می شود ) اما نماهای لیاپانوف آن خارج بازه ای که حول صفر است ، قرار دارند .