در این پایان نامه با استفاده از تبدیلات یکانی پیوسته ( معادلات شار) مدل هابارد یونی یک بعدی نیمه پر در دمای صفر و شرایط مرزی تناوبی را بررسی می کنیم. آنچه در مورد این مدل ابهام آمیز است حالت سیستم بین دو عایق نواری و عایق مات می باشد. بدین منظور ابتدا با استفاده از تبدیلات یکانی پیوسته یک هامیلتونی موثر قطری بدست می آوریم که شامل جمله یونی، برهمکنش درون جایگاهی و برهمکنش نزدیکترین همسایه های برون جایگاهی است. به منظور تشخیص گذارها گاف اسپین و گاف بار را محاسبه می کنیم. در شدت جمله یونی ثابت، با افزایش برهمکنش درون جایگاهی ابتدا ناحیه ای داریم که در آن گاف اسپین و گاف بار هر دو بزرگتر از صفر هستند. سپس در یک مقدار بحرانی اول از برهمکنش درون جایگاهی هر دو صفر می شوند و تا یک مقدار بحرانی دوم از برهمکنش درون جایگاهی هر دو صفر باقی می مانند و برای برهمکنش درون جایگاهی بزرگتر گاف اسپین صفر و گاف بار بزرکتر از صفر می شود.