تحلیل عددی معادلات دیفرانسیل و انتگرال تأخیری به واسطه اهمیت آنها در مدلسازی عینی و کاربردی برخی پدیده های طبیعی از اهمیت ویژه ای برخورئار هستند. در یکصد سال گذشته کارهای قابل ملاخظه ای در زمینه نظریه، کاربردها و حل عددی این معادلات انجام شده است. در این رساله سعی بر آن است که انواع معادلات انتگرال تأخیری، تاریخچه، کاربردها و نظریه انها و همچنین خواص کمی و کیفی آنها مورد بررسی قرار گیرد. لیکن هدف اصلی این مقاله بررسی و تحلیل معادلات انتگرال تأخیری حالت وابسته، پیاده سازی روش هم محلی تکه ای روی آنها و آنالیز همگرایی و همچنین بررسی چالشهای موجود در حل عددی این نوع از معادلات می باشد. مبنای کار تحقیقاتی در این پایان نامه مبتنی بر مراجع [42]، [5] و [27] می باشد. فصل چهارم بخش اصلی پایان نامه را تشکیل می دهد که منحصراً مربوط به این پایان نامه بوده که یافته های جدید نیز در این فصل گردآوری شده است.