این پایان نامه به معرفی گروه های کوانتمی فشرده موضعی در چارچوب نظریه جبر عملگرها، یعنی جبرها و جبرهای فون نویمان، خواهد پرداخت. این نظریه برگرفته شده از کار کاسترمن و واعظ [15] و [16] می باشد. از نظر تاریخی اولین ایده در ایجاد اصول کوانتیزه کردن گروه های فشرده موضعی، تعمیم قضیه دوگانی پنتریاگین برای گروه های فشرده موضعی ناآبلی بوده است. از آنجا که دوگان یک گروه ناآبلی گروه نیست، بنابراین باید رسته بزرگتری که شامل گروه و دوگان آن باشد را جستجو کرد. بعد از کارهای پایه ای توسط تاناکا، کرین، کاتس و تاکساکی این مساله در دهه هفتاد به طور جداگانه توسط انوک و شوارتز [7] کاتس و واینرمن [12] و [13] به طور کامل حل شد. ساختاری که آنها تعریف کردند جبرهای کاتس نامیده شد. ورونوویچ [32] کوانتوم su(2) را به عنوان یک جبر همرا ه با هم ضرب معرفی کرد، ویژگی های su(2)چنان شبیه به گروه بود که می شد آن را به عنوان گروه کوانتمی در نظر گرفت،?اما این مثال در رسته جبرهای کاتس قرار نگرفت، بنابراین رسته جبرهای کاتس نمی تواند شامل همه گروه های کوانتمی باشد، پس باید به گسترش آن پرداخت. اولین موفقیت در این راستا توسط ورونوویچ [31] و [33] بدست آمد وی موفق شد به طور ساده گروه های کوانتمی فشرده را تعریف و مهمتر از آن وجود و یکتایی حالت هار روی این فضاها را اثبات کند. موفقیت های بعدی نگرش متفاوتی برای ما فراهم آورد. باج و اسکاندالیس [2] مطالعه یکانی های ضربی را چنان ایجاد کردند که می توان آنها را به عنوان تعمیم عملگر کاتس-تاکساکی گروه های فشرده موضعی در نظر گرفت. آنها به یک یکانی ضربی، دو جبر به همراه هم ضرب چنان وابسته ساختند که دوگان یک دیگر محسوب می شدند، همچنین هم وارون آنها به طور چگال تعریف می شد. به این صورت آنها هر دو ساختار گروه های فشرده کوانتمی و جبرهای کاتس را بدست آوردند. اما هم چنان نیاز بود که به کمک جبرها ( جبرهای فون نویمان) همراه با هم-ضرب، تعریف طبیعی تری از گروه های کوانتمی فشرده موضعی ارایه شود. ایده اساسی در این راستا از آن کیرچبرگ است که در[14]? هم وارون جبرهای کاتس را با گروه های مقیاس که گروه تک پارامتری از خودریختی های جبرهای فون نویمان هستند، بازسازی کرد. سپس مسودا و ناکاگامی [20] جبرهای ورونوویچ و به طورکلی جبرهای کاتس را با استفاده از گروه های مقیاس فرمول بندی کردند. آنها توانستند دوگان را نیز در همان رسته بدست آورند، همچنین نظریه آنها مثال های شناخته شده یعنی گروه های کوانتمی فشرده و جبرهای کاتس را شامل می شد. به هر حال ایراد نظریه آنها وجود اصول و شرایط زیاد آن بود. سرانجام یک تعریف نسبتا ساده توسط کاسترمن و واعظ[15] و [16] ارایه گردید.?به طور کلی برای تهیه این پایان نامه از [17] ?که توسط کاسترمن نوشته شده استفاده شده است. در اولین فصل تعاریف و ابزار مورد نیاز بیان و در فصل دوم سعی شده با بررسی گروه های فشرده موضعی و بازسازی آنها با ابزار جدید به ایده تعریف گروه های کوانتمی فشرده موضعی پرداخته شود. در فصل سوم گروه های فشرده موضعی به همراه مثال هایی از این فضاها بیان شده است. در فصل چهارم ابزار پیشرفته تر این نظریه و تعریف گروه های کوانتمی فشرده موضعی ارائه و سرانجام در فصل پنجم نیز به جمع بندی و ارایه نتایج به دست آمده در این فضاها پرداخته شده است.