دراین پایان نامه ویژگی های اساسی حاصلضرب ها ی عملگرها ی امید شرطی و عملگر ضربی از دیدگاه نظریه عملگرها مورد بررسی قرار می گیرد. و نشان داده می شود که کرانداری چنین حاصلضرب هایی وابسته به کراندار ی عملگر ضربی نمی باشد. طیف این عملگرها به عنوان یک تجزیه قطبی منحصربفرد توصیف می شود.همچنین نشان داده می شود که فشردگی این عملگرها مستلزم وجود یک اتم نسبت به? ‎-زیرجبر مورد نظر می باشد. جبر ی که شامل چنین عملگرهایی است زمانی که فضا ی اندازه، از اندازه متناهی باشد، به طور ضعیف بسته است و جابه جاگر آن نیز یک جبر از عملگرهای ضربی با یک نماد ‎(سمبل)‎ اندازه پذیر مناسب است‎.