در این پایان نامه فرمول مشتق گیری عددی کسری جدیدی معرف به l1-2 بررسی می شود. این فرمول جدید برای بدست آوردن تقریبی از مشتق کسری کپوتو از مرتبه آلفا که آلفا بین صفر و یک است توسعه داده می شود که به طور رسمی به عنوان یک اصلاح فرمول قدیمی l1 شناخته می شود زیرا برای ساخت فرمول جدید l1-2 در بازه اول از تقریب درون یابی خطی و در سایر بازه ها از تقریب درون یابی درجه دوم استفاده می شود در صورتی که برای ساخت فرمول قدیمی l1 در هر بازه از تقریب درون یابی خطی استفاده شده است. این فرمول جدید هم از نظر کارایی محاسباتی و هم از نظر دقت عددی از فرمول l1 برتر است. به وسیله ی این فرمول جدید دو طرح تفاضلات متناهی با مرتبه ی بالا در زمان برای حل معادلات کسری زمانی زیر-انتشار در دامنه های مکانی متناهی و نامتناهی ارائه می شود. علاوه بر این استفاده از فرمول جدید در حل معادلات دیفرانسیل معمولی کسری نیز بررسی می شود. مقایسه نتایج متناظر بدست آمده از روش تفاضلات متناهی که به وسیله فرمول l1 ساخته شده است نشان می دهد که فرمول l1-2 در حل عددی معادلات دیفرانسیل کسری زمانی بسیار دقیق تر از فرمول l1 است. همچنین نشان می دهیم که مرتبه همگرایی فرمول l1-2 در مشتقات کسری زمانی کپوتو از مرتبه همگرایی فرمول l1 بهتر است.

طیف پراکندگی غیر الاستیک نوترون در برخی از سیستم های دورانی مثل گروه های مولکولی ch3 دارای ویژگی های خاصی است. این طیف ها دارای یک قله مرکزی انرژی و دو قله جانبی هستند که با دما تغییر می کنند، به گونه ای که این قله ها با افزایش دما پهن تر شده و به سمت فرکانس های کم جابجا می شوند. برای توصیف نظری این پدیده یک مدل ریاضی ارائه می شود که نحوه رفتارطیف را با تغییر دما پیش بینی نماید. مدل های ارائه شده در تقریب قوی برای توصیف این رفتار از سیستم های دو حالته استفاده شده که به محیط اطراف جفت شده است [42]. در این پروژه مدل قبل را تعمیم داده ایم و جفت شدگی در تقریب ضعیف یعنی با فونونهای مرتبه دورتر را بررسی کرده ایم. در این تحقیق مراحل زیر انجام شده است: در فصل اول چرخش آزاد مولکول و تأثیر جفت شدگی با محیط روی آن بررسی شده است و معادله کلی لانژوین در حالت کلاسیک به دست آمده است. فصل دوم به مطالعه سیستم اتلافی کوانتومی اختصاص داده شده است و در فصل سوم سیستم های دوترازه و چرخش گروه مولکولی در یک پتانسیل بازدارنده به صورت کلاسیک و کوانتومی مورد بررسی قرار گرفته است. در فصل پایانی، فصل چهارم، هامیلتونی در مقیاس جفت شدگی ضعیف به کار برده ایم و با استفاده از نظریه اختلال و تابع پارش جابجایی انرژی ناشی از جفت شدگی ضعیف و تغییرات دمایی محاسبات ادامه یافته است.