اگر g یک گراف باشد ، مجموع رنگی آن کوچکترین مجموع ممکن بین همه رنگ آمیزی های راسی سره از g که رنگ ها در آنها اعداد طبیعی هستند را تعیین می کند. همچنین شدت راسی g که با ( s(g نمایش می دهیم ، کوچکترین مقدار s است به طوری که به ازای یک رنگ آمیزی راسی سره از g که تعداد رنگ های به کاربرده در آن s است ، مجموع رنگی گراف g به دست آید. حال رنگ آمیزی راسی سره c : v (g) ? n یک رنگ آمیزی مینیمال برای گراف g است هر گاه مجموع رنگ ها در آن برابر مجموع رنگی گراف g باشد و همچنین اگر در چنین رنگ آمیزی رنگ هر راس کمتر یا مساوی شدت راسی گراف باشد، آنگاه رنگ آمیزی مینیمال c یک رنگ آمیزی بهینه برای گراف g است . در این پایان نامه رنگ آمیزی مینیمال و همچنین رنگ آمیزی بهینه را روی درخت ها ، گرافهای بازه ای ، شکاف، دوبخشی، دوبخشی زنجیری ، جدولی و ابرگرافها مورد بررسی قرار می دهیم .