هدف ما در این رساله، بررسی مدل هایی از شبکه های عصبی ‎bam‎ دارای تأخیر زمانی است که به دلیل پیچیدگی، پیش از این مطالعه نشده بودند. به طور کلی، شبکه های عصبی ‎bam‎ قادر به ذخیره چندین الگو هستند و توانایی جستجوی الگوی مطلوب را از هر دو جهت پیشرو و پسرو دارند. جواب های دوره ای در این سیستم ها، به دلیل این که الگو های حافظه ای چندگانه را نشان می دهند، بسیار حائز اهیت اند. در این جا، با بررسی انشعاب هاف، وجود جواب های دوره ای در یک سیستم شبکه عصبی ‎bam‎ تأخیری که دارای دو نرون در لایه ‎x‎ و سه نرون در لایه ‎y‎ می باشد، نتیجه گرفته می شود. سپس، پایداری و دوره تناوب این جواب های دوره ای مورد مطالعه قرار خواهند گرفت. در ادامه، با ساخت تابع لیاپانف مناسب به بررسی پایداری سراسری در یک مدل شبکه عصبی ‎bam‎ هشت نرونی تأخیری خواهیم پرداخت. همچنین، از نقطه نظر وجود یا عدم وجود جواب های دوره ای، این سیستم مورد مطالعه قرار می گیرد. با توجه به پیچیدگی تحلیل انشعاب در سیستم های معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، به بررسی انشعاب در یک مدل حجره ای غیرخطی پخش واکنش، به کمک روش شبکه عصبی می پردازیم. در حقیقت، با یافتن معادلات دیفرانسیل معمولی معادل با آن، دینامیک سیستم بررسی خواهد شد. برای درک بهتر نتایج تئوری بدست آمده، مثال هایی نیز ارائه می شود.

در این پایان نامه سیستم حاصل از شبکه عصبی bam و حلقه ای با تاخیر زمانی را معرفی کردیم و به بررسی منحنی جواب های این سیستم ها پرداختیم. پارامتر تاخیر زمانی را به عنوان پارامتر سیستم در نظر گرفتیم و منحنی جواب های سیستم را وقتی پارامتر سیستم تغییر می کرد بررسی کردیم. در آخر در تایید نتایج تئوریمان مثالی آوردیم.

در این پایان نامه توجه ما به مدل معادلات دیفرانسیل معمولی غیرخطی در تومورهای لمفاوی و دستگاه ایمنی بدن است. به دلیل این که سیستم های ما غیرخطی و وابسته به پارامتر هستند لذا تئوری انشعاب به ما کمک می کند که این نوع سیستم ها را از نقطه نظر جواب های دوره ای و پایداری و عدم پایداری آن ها مورد تجزیه و تحلیل قرار می دهیم. دو سیستم معادلات دیفرانسیل داریم. در مدل اول که مربوط به سیستم ایمنی بدن است با توجه به تاخیر زمانی، به بررسی پایداری نقطه تعادل پرداخته و دینامیک جواب های دوره ای را با استفاده از انشعاب هاف تحلیل می کنیم. در سیستم با تأخیر زمانی و پاسخ ایمنی بدن با استفاده از آنالیز عددی، پایداری نقطه تعادل را مورد بحث قرار داده و توجه می کنیم اگر تأخیر زمانی بزرگ شود احتمال جاذب های آشوبناک وجود دارد که به آن پرداخته می شود. اما در سیستم دوم که مربوط به تومور لمفاوی است با توجه به انشعاب هاف دینامیک تومور سرطانی مورد بررسی قرار می گیرد وجود جواب های نوسان کننده ی دوره ای پایدار تحقیق خواهد شد. توجه داریم که در این نوع موارد دور حدی و جواب های دوره ای نقش اساسی در معادلات دیفرانسیل تومور سرطانی ایفا می کند. اهمیت به دست آمدن جواب های دوره ای و دور حدی (با استفاده از انشعاب هاف) در این است که با وضعیت دینامیک هر توموری بعد از زمانی معین (که جواب دوره ای آن است) به حالت اولیه باز می گردد. در خاتمه با توجه به ارائه ی مثال هایی برای هر کدام از این سیستم ها و استفاده از شبیه سازی عددی نتایج را شرح می دهیم.

همانطور که می دانیم بررسی پایداری سیستم های برق بسیار مفید است . معادله دیفرانسیل یک مدل بسیار مناسب برای سایر علوم از قبیل سیستم های برق فراهم می کند . همچنین نظریه انشعاب یک ابزار برای آنالیز کردن سیستم های پارامتری غیرخطی است . این نظریه به بررسی تغییرات یک سیستم پارامتری می پردازد . در این پایان نامه یک سیستم گاورنر وات به همراه یک فنر که یک سیستم کنترلی است مورد بررسی قرار می گیرد . تحلیل پایداری وضعیت های تعادل و نوسانات کم دامنه ی این سیستم هدف ما خواهد بود . در این جا ابزار مهم در تحلیل پایداری ضرایب لیاپانف می باشند . پس ابتدا به تعریف این ضرایب می پردازیم و در ادامه معادلات دیفرانسیل حاکم بر سیستم گاورنر وات با فنر را تعیین می کنیم . از آنجا که می خواهیم نظریه انشعاب را برای یک سیستم نوسان کننده ی تحت اختلال بررسی کنیم لذا انشعاب هاف را مورد بررسی قرار می دهیم . روشی که در این پایان نامه به کار می رود محاسبه ضرایب لیاپانف است . برای این منظور از نرم افزار mathematica5 استفاده می کنیم . در آخر بیان می کنیم که اگر ضرایب لیاپانف را بصورت li; i=1,2,3,4 نمایش دهیم ؛ آنگاه از روی علامت li≠0 می توان به پایداری ( li<0) یا ناپایداری ( li>0) نقطه تعادل سیستم پی برد .