در این پایان نامه یکی از روش های تکراری به نام روش تکرار تغییرات ارائه شده است که جواب های تقریبی از حل معادلات دیفرانسیل را نتیجه می دهد. در ادامه این روش بر روی تعدادی از معادلات دیفرانسیل خطی و غیرخطی و همچنین بر روی رده ای از معادلات دیفرانسیل به نام معادلات دیفرانسیل کسری به کار برده می شود و همچنین بهبودی از این روش به نام روش تکرار تغییرات چند مرحله ای معرفی و سپس با ارائه ی مثال هایی متنوع این دو روش مورد مقایسه قرار می گیرند.

یکی از خصوصیات بارز انسانها کارا بودن آنها در محیطهایی است که اطلاعات حسی زیادی دریافت می کنند. بینایی مهمترین حسی است که انسانها بر آن تکیه دارند و به همین علت است که این حس بیشترین مطالعات را در بینایی ماشین و هوش مصنوعی به خود اختصاص داده است. علیرغم تحقیقات وسیع در بینایی ماشین و رباتیک تعداد زیادی از اعمال حسی – حرکتی که در انسانها به سادگی انجام می دهند ، هنوز حل نشده اند. بطور خاص طراحی الگوریتمهای یادگیری که دارای دقت بالا و پیچیدگی محاسباتی پایین باشند و رباتهای متحرک خودکار را قادر سازند تا در محیطهای تعاملی بینایی عمل کنند بسیار مورد علاقه است. در مقایسه با محیط های بینایی کنترل شده که اغلب در آزمایشگاه استفاده می شوند، یادگیری رفتارهای بینایی در محیط های کنترل نشده و بصورت کلی بسیار مشکل ترمی باشد. نمونه های از کاربردهای یادگیری بینایی ، راهبری مبتنی بر بینایی ، تشخیص محل بر اساس اطلاعات بینایی ، گرفتن و حرکت دادن اشیاء می باشند. گرایش اخیر در رباتیک به سمت توسعه ربات هایی است که قادر باشند بصورت خودکار در محیط های بینایی ناآشنا و تصادفی عمل کنند. این کیفیت مورد علاقه ، روشهای بر خط و تعاملی را برای یادگیری نمایشهای بینایی و کنترل بسیار مناسب و ضروری می سازد. این گونه روشهای پویا منتج به راه حل های قابل انعطاف با پیچیدگی کم و هزینه محاسباتی پایین می شوند. یک عامل رباتیکی برای اینکه قادر باشد که در محیط های بینایی عمل کند باید قادر باشد که فضای ادراکی بینایی خود را به اعمال فیزیکی خود متناظر سازد. این قابلیت ، هماهنگی بینایی – حرکتی ، بینایی مبتنی بر منظور یا بینایی برای عمل نامیده می شود. بر خلاف راه حل های بینایی ماشین که اغلب نمایشهای از قبل تعریف شده و ثابتی در ذهن عامل فرض می کنند ، نمایشهای لازم در بینایی مبتنی بر منظور از تعامل عامل با محیط پیرامونی ایجاد می شوند. در این رساله ، راه حل هایی برای یادگیری کنترل توجه بینایی بالا به پایین و مبتنی بر وظیفه در محیط های تعاملی و هنگامی که تصاویر پیچیده طبیعی باید پردازش شوند ارائه می دهیم. عامل باید نمایشهای بینایی داخلی اش را همزمان با اعمال فیزیکی خود یاد بگیرد تا قادر باشد یک وظیفه پیچیده را انجام کند. این راه حل ها از ایده های بینایی مبتنی بر وظیفه و توجه بینایی الهام گرفته اند. بطور مشخص در اینجا ما الگوریتم های یادگیری تقویتی ای ارائه می دهیم که قابل اعمال به محیط های بینایی هستند. با الهام از نحوه عملکرد بینایی انسان که پردازش های پیچیده بینایی را بر زیر مجموعه ای از اطلاعات بینایی متمرکز می کند ، هدف در راه حل های ارائه شده محدود کردن استخراج ویژگی بر روی تعداد کمی از نواحی تصویر است. تاکید اصلی بر روی یادگیری توجه مکانی همراه با اعمال حرکتی می باشد.