این پایان نامه از سه قسمت تشکیل شده است. در قسمت اول سه نوع از مهم ترین توابع خاص ریاضی معرفی می شوند که نقش کلیدی در حسابان کسری دارند. در ادامه با معرفی چند رویکرد، مفهوم مشتق و انتگرال مرتبه ی صحیح به مفهوم مشتق و انتگرال مرتبه ی کسری تعمیم داده می شود و تعاریف گرونوالد-لتنیکوف، ریمان-لیوویل و کاپاتو برای مشتق و انتگرال مرتبه ی کسری به دست می آیند. در آخر به بیان خواصی از این تعاریف و رابطه ی آن ها با یکدیگر می پردازیم. در قسمت دوم روش های تفاضل متناهی فشرده به دست می آیند و آنالیزی از دقت آن ها داده می شود. روش های تفاضل متناهی فشرده، روش هایی ضمنی با دقت بالایی هستند. در قسمت سوم معادله ی موج انتشار کسری و معادله ی انتشار کسری را با روش تفاضل متناهی فشرده حل عددی می نماییم و نتایج حاصل از این حل نشان می دهد که روش تفاضل متناهی فشرده ابزاری قدرتمند برای حل معادلات دیفرانسیل است.