در این رساله، مفهوم گراف دوگان مقسوم علیه صفر را برای یک حلقه تعویضپذیر، معرفی می نماییم و خواص این گراف را مورد بررسی قرار می دهیم. مفاهیمی مانند همبندی، قطر، عدد رنگی و عدد خوشه ای را در این گراف مطالعه می کنیم. همچنین ارتباط میان این گراف و گراف مقسوم علیه صفر را مطالعه می کنیم. به علاوه گراف دوگان مقسوم علیه صفر را برای توسیع هایی از حلقه تعویضپذیر، مورد مطالعه قرار می دهیم. نیز گراف دوگان مقسوم علیه صفر را برای یک مجموعه جزئا مرتب تعریف کرده و مورد بررسی قرار می دهیم.

فرض کنید r یک حلقه جابه جایی و یکدار و z(r) مجموعه مقسوم علیه های صفر آن باشد. گراف مقسوم علیه صفر r) )? را به حلقه r نسبت می دهیم که مجموعه رئوس آن z(r)-{0} می باشد و دو نقطه متمایز x,y به هم متصلند اگر و تنها اگر xy=0. در این پایان نامه نشان می دهیم کدام حلقه های متناهی دارای گراف مقسوم علیه صفر مسطح هستند و حلقه های موضعی 32 عضوی که میدان نمی باشند و گراف مقسوم علیه صفر آن ها نامسطح است را شناسایی می کنیم.

چکیده پایان نامه : فرض کنیم r یک حلقه جابجایی یکدار و m یک r- مدول باشد.سینگ و کاتزمن و سوانسون نشان دادند که مجموعه ایده ال های اول وابسته به مدولهای کوهمولوژی موضعی میتوانند نامتناهی باشند.اما یک مسئله باز باقی میماند و ان این است که مجموعه ایده ال های اول کمین در محمل مدولهای کوهمولوژی موضعی همیشه متناهی هستند.هیونیکه و کاتز و مارلی نشان دادند که این عناصر کمین در وضعیت خاصی متناهی هستند.ما در این پایان نامه برخی از نتایج این مسئله را توسیع میدهیم.ما همچنین این مسئله را برای مدول های کوهمولوژی موضعی تعمیم یافته بررسی می کنیم. مهمترین ابزار ما تعمیم طبیعی از دنباله های منظم است که ان را دنباله منظم صافی می نامند.

فرض کنید rحلقه نوتری و جابجایی و aیک ایده ال سره از حلقه ی rباشد.همچنینra n:=gradeدراین صورت نشان میدهیم endr(hna(r)?extnr(hna(r),r).همچنین ثابت میکنیم که برای عدد صحیح غیر منفی nبه طوری که برای هر i?n ،0=hia(r) باشد،اگر برای هر i>0 وa?zوextir(rz,r)=0آنگاه endr(hna(r)تصویر همریخت حلقه ی rاست که rzحلقه ی کسرهای rنسبت به زیر مجموعه ی بسته ی ضربی{zj|j?0}ازrمی باشد.علاوه بر این اگر برای هرa ?z داشته باشیم homr(rz,r)آنگاه همریختی حلقه ای کانونی ??:r?endr(hna(r)یکریختی است.

یکی از شاخه های جدید جبر، جبر ترکیبیاتی است که به ارتباط میان جبر و گراف پرداخته و خواص آن ها را بیان می کند. در این پایان نامه، به ارتباط میان عناصر مقسوم علیه صفر حلقه و گرافی که بتوان به آن ها متناظر کرد، می پردازیم و بیان می کنیم که در چه صورت این گراف، مسطح است. همچنین مفهوم مسطح بودن را از صفحه به سطوح با عدد گونای حداکثر یک، تعمیم می دهیم. و حلقه هایی را که گراف متناظر با آن ها از عدد گونای حداکثر یک برخوردار می باشد، شناسایی می کنیم.

در بخش اول از فصل اول پیشنیازها و مقدمات نظریه گراف و در بخش دوم مقدمات جبر جابجایی بیان شده است. در بخش سوم این فصل تست شرکت پذیری لایت شرح داده شده است.در بخش اول از فصل دوم شرایط لازم و کافی برای اینکه یک گراف، گراف مقسوم علیه صفر متناظر با یک نیمگروه جابجایی باشد بیان می شود.در بخش دوم سکل یک نیمگروه جابه جایی را معرفی کرده و به بررسی ساختار آن به کمک گراف مقسوم علیه صفر وابسته به آن می پردازیم.در بخش اول از فصل سه برای یک نیمگروه جابه جایی ایده آل تعریف کرده و به بررسی ساختار چند نمونه از ایده آ ل های یک نیمگروه جابه جایی به کمک گراف مقسوم علیه صفر وابسته به آنها پرداخته شده است. در بخش دوم نیمگروه های جابه جایی با عدد رنگی متناهی بررسی شده اندو گراف مقسوم علیه صفر آنها رنگ آمیزی شده است. در فصل چهارم به مطالعه و بررسی گراف های r-بخشی و r-بخشی کامل پرداخته شده است و انواعی از این گرافها که می توانند متناظر با گراف مقسوم علیه صفر نیمگروه جابه جایی باشند معرفی شده است.

در سال های اخیر گراف های بسیاری به ساختارهای جبری مثل گروه، حلقه، نیم گروه و مجموعه های مرتب جزیی نسبت داده شده اند. یکی از این گراف ها که اولین بار توسط بک در سال ‎1988‎ معرفی شد گراف مقسوم علیه صفر بود. در سال ‎2009‎‏، این مفهوم بر روی مجموعه های مرتب جزئی برده شد. از انواع دیگر و با سابقه ای طولانی در گراف های جبری، گراف های کیلی را می توان نام ‏برد که توسط کیلی در سال ‎1878‎ به ساختار گروه نسبت داده شد. ساختار گراف کیلی برای نیم گروه ها مورد مطالعه قرار گرفته است. همچنین این مفهوم برای حلقه های متناهی با در نظر گرفتن مجموعه ی ‎s=u(r)‎ در تعریف گراف کیلی، با عنوان گراف های کیلی یکانی برای حلقه های متناهی در سال ‎2009‎ معرفی شده است. از دیگر گراف های جبری، که برای ساختار حلقه تعریف شده اند، می توان از گراف کُلی و گراف یکه که برای ساختار حلقه ی جابه جایی تعریف شده است‏، نام برد. در این رساله از گراف مقسوم علیه صفر تعریف شده برای مجموعه مرتب جزیی توسط هالاس و جاکل، رأس صفر را حذف می کنیم و خواص آن را بررسی کرده و مسطح بودن این گراف را مطالعه می نماییم. همچنین گراف کیلی را برای مجموعه های مرتب جزیی تعریف کرده و به بررسی خواص گرافی آن می پردازیم‏، و نیز این گراف را در حالت های خاص برای مجموعه ی s‎ مطالعه خواهیم کرد. در آخر‏، گراف های یکه و کلی را برای ساختار جبری مشبکه معرفی کرده و خواص گرافی آن را بررسی می نماییم.

هدف این رساله مطالعه خواص برخی از گراف های نسبت داده شده به یک حلقه جابه جایی می باشد. یکی از گراف های مورد نظر، گراف منظم ایده آل های یک حلقه جابه جایی می باشد. این گراف در حالتی که حلقه زمینه، آرتینی است قبلا مورد بررسی قرار گرفته است. در این رساله ما رفتار این گراف را بر روی یک حلقه نوتری بررسی می کنیم. در بخشی از این رساله همه حلقه هایی را رده بندی می کنیم که گراف نظیر آن ها همبند باشد و قطر آن را نیز محاسبه می کنیم. همچنین مسطح بودن و متناهی بودن گونه این گراف نیز بررسی می شود. علاوه بر این ها کمر گراف نیز مطالعه خواهد شد. سرانجام، ما گرافی را به یک حلقه جابه جایی نظیر می کنیم که به مفهومی دوگان گراف منظم ایده آل ها است. با استفاده از این گراف جدید، در حالتی که حلقه آرتینی است، می توان عدد رنگی و عدد خوشه ای گراف منظم ایده آل ها را محاسبه کرد.

یکی از شاخه های جدید جبر، جبر ترکیبیاتی است که به ارتباط میان جبر و گراف پرداخته وخواص میان آن ها را بررسی می کند. به مجموعه مقسوم علیه های صفر حلقه گرافی را می توان متناظر کرد که به آن گراف مقسوم علیه صفر می گوییم. در این پایان نامه، به مطالعه گراف خط وابسته به گراف مقسوم علیه صفر حلقه های zn وzn[i] می پردازیم و خواص آن ها را مورد بررسی قرارمی دهیم.

گراف هم بیشین حلقه ی یکدار r گرافی است که مجموعه ی راس های آن تمامی عناصر حلقه یr است و دو راس از آن مانندa و b مجاورند اگر و تنها اگر ra+rb=r .برخی از ویژگی های آن مانند هم بندی و قطر را بررسی میکنیم.

در این پایان نامه، رابطه ایده آل های حلقه توابع پیوسته روی فضای توپولوژیکی ‎x‎ و ساختار توپولوژیکی ‎x‎ مورد بررسی قرار می گیرد. نشان می دهیم که برای یک ایده آل غیر صفر ‎e‎ در‎c(x)‎‎ , ایده آل e اساسی است اگر و تنها اگر اشتراک صفر مجموعه های توابع متعلق به ‎e‎، زیر مجموعه هیچ جا چگال در ‎x‎ باشد. با استفاده از این قضیه ثابت می کنیم که هر ایده ال شامل یک ایده ال اول در ‎c(x)‎ یا یک ایده ال اساسی است یا یک ایده ال ماکسیمال تولید شده توسط یک عنصر خود توان است که در عین حال ایده ال اول مینیمال نیز می باشد. همچنین یک مشخص سازی جدید برای اشتراک همه ایده ال های ماکسیمال آزاد و اشتراک همه ایده ال های ماکسیمال اساسی در ‎c(x)‎ ارائه می دهیم. پس از آن، آن دسته از فضاهای توپولوژی ‎x‎ را مشخص سازی می کنیم که برای آنها، ‎c_f (x)‎ و ‎c_k (x)‎ با اشتراک همه ایده ال های ماکسیمال آزاد و اشتراک همه ایده ال های ماکسیمال اساسی مساوی می باشند.

در این پایان نامه، به مطالعه ی گراف مقسوم علیه صفر وابسته به یکمجموعه ی مرتب جزیی پرداخته و خواص این گراف از جمله قطر گراف، کمر گراف و همبندی گراف را بررسی می نماییم. همچنین -بخشی را مطالعه می کنیم. در پایان مسطح بودن این گراف را به طور k گراف های مقسوم علیه صفر کامل مورد بررسی قرار می دهیم.

در این پایان نامه، به مطالعه و بررسی گراف‎‎ مقسوم علیه صفر وابسته به حلقه ‎‎‎‎c(x)‎‎‏ می پردازیم. با ‏به کارگیری خواص توپولوژیکی فضای ‎‎‎‎x‎‏‏،خواصی از این گراف مانند قطر‏، کمر و عدد خوشه ای را مورد بررسی قرار می دهیم. در پایان گراف مقسوم علیه صفر حلقه های جابجایی را نسبت به ایده آل ها مطالعه می نماییم.

در این پایان نامه، گراف مقسوم علیه صفر را بر روی یک مشبکه تعریف می کنیم و به مطالعه خواص این گراف می پردازیم. همچنین گراف مقسوم علیه صفر نیم مشبکه ی تقاطعی و نیم مشبکه ی تقاطعی صحیح را بررسی می کنیم. نیز گراف های دو بخشی کامل شاخه دار و مشبکه های متناظر با آن ها را شناسایی می کنیم. به علاوه، گراف مقسوم علیه صفر مشبکه نسبت به یک ایده آل آن را بررسی می نماییم و خواصی نظیر عدد رنگی و عدد خوشه ای این گراف را مطالعه می کنیم.