در این پایان نامه برخی از ترکیبات فلزات گروه سیزده جدول تناوبی در مقیاس نانو سنتز شدند. از آنجا که خواص کلی عناصر این گروه بسیار متفاوت هستند روش های گوناگونی مورد استفاده قرار گرفت. با استفاده از روش سونوشیمی، نانو ساختار ایندیم(iii) هیدروکسید و ایندیم(iii) اکسید سنتز شدند. نانو ساختارهای آلومینیوم اکسید، ایندیم(iii) اکسید و تالیم(iii) اکسید با استفاده از پیش ماده های پلیمر کوئوردیناسیونی سنتز شدند و یک پلیمر کوئوردیناسیونی نانومتخلخل از آلومینیوم نیز با استفاده از روش سورفکتانت تهیه شد.علاوه بر موارد فوق چندین پلیمر کوئوردیناسیونی جدید از تالیم (i) نیز سنتز و شناسایی شدند. برای شناسایی محصولات سنتزی از روش های طیف سنجی ir بلور نگاری پرتو ایکس و پراش پرتو ایکس استفاده شد و پایداری گرمایی آن ها توسط آنالیزهای وزن سنجی حرارتی و تجزیه گرمایی تفاضلی، و شکل ظاهری آن ها با استفاده از میکروسکوپ الکترونی روبشی مورد بررسی قرار گرفت.

در این پایان نامه به مطالعه معادلات رابطه فازی، حل این معادلات و شرایط حل پذیری آن ها می پردازیم. معادلات رابطه فازی به طور مشخص در شاخه های سیستم های کنترل کننده فازی، سیستم های دینامیک گسسته و همچنین مهندسی دانش تاثیرگذار است. این معادلات ابتدا در سال ‎1976‎ توسط سانچز‎، معرفی شدند و تاکنون به طور گسترده ای مورد مطالعه قرار گرفته اند. در فصل اول به معرفی عنصر یا-تحویل ناپذیر و مطالعه معادلات رابطه فازی با ترکیب سوپ-اتصالگر روی مشبکه های توزیع پذیر کامل ‎می پردازیم. تعدادی از خاصیت های این معادلات وقتی که بردار‎ سمت راست آن ها یک عنصر یا-تحویل ناپذیر پیوسته است و یا یک یا-تجزیه پیوسته غیرزائد دارد را مورد بررسی قرار می دهیم و همچنین یک شرط لازم و کافی برای یافتن یک جواب قابل دسترس(غیر قابل دسترس)، را بیان کرده و تعدادی از خواص آن ها را نشان می دهیم‎.‎ در فصل دوم، ابتدا مساله حل پذیری دو نوع از سیستم های معادلات رابطه فازی که تنها در نوع ترکیب متفاوت می باشند را مورد بررسی قرار می دهیم. سیستم اول توسط زاده‎ و سیستم دوم توسط بندلر‎ و کوهت‎‎، معرفی شده اند. هدف اصلی در فصل دوم پیدا کردن شرایط و معیارهای حل پذیری متناهی است حتی در حالت هایی که جهان شمولی نامتناهی داریم. برهمین اساس سه نوع محدودیت برای معادلات رابطه فازی اعمال می کنیم. نوع اول محدودیت بر داده های اولیه است و دو نوع محدودیت دیگر بر روی فضای پایه مجموعه های فازی اعمال می شود. در نهایت در فصل دوم به یک شرط کافی جدید و ملاک حل پذیری جدیدی می رسیم که نسبت به شرایط و ملاک های قبلی ضعیف تر است‎.