یکی از مباحث مهم آنالیز مطالعه اشتقاق روی جبرهای مختلف است. از مباحثی که در این زمینه مورد بحث قرار گرفته اند بررسی شرایطی است که تحت آن ها الحاقی دوم یک اشتقاق می کنیم که تحت آن ها الحاقی سوم از یک دواشتقاق همچنان یک دواشتقاق باقی می ماند. به علاوه شرایطی را که الحاقی سوم یک دواشتقاق داخلی، داخلی باشد نیز مورد بررسی قرار گرفته است‎.‎ از آنجائی که جبرهای مثلثی یکی از جبرهای شناخته شده در آنالیز است، بررسی اشتقاق های جردن، اشتقاق های تعمیم یافته جردن و نگاشت های جابجاشونده روی این جبرها از اهمیت ویژه ای برخوردار است. لذا با توجه به همریختی موجود بین جبر مثلثی و یک نوع خاص از جبر گسترش بدیهی، در این رساله نگاشت های فوق را روی جبر گسترش بدیهی بررسی می کنیم‎.‎ در نهایت، شرایطی که تحت آن ها می توان از اشتقاق جردن به اشتقاق، از اشتقاق تعمیم یافته جردن به اشتقاق تعمیم یافته و نیز از نگاشت جابجاشونده به نگاشت جابجاشونده سره دست یابیم بررسی شده اند.