در این رساله به مطالعه ی رفتار گروه های هموتوپی شبه توپولوژیکی فضاهای حدمعکوس می پردازیم. به طور دقیق تر شرایطی را ارائه خواهیم داد که تحت این شرایط گروه های هموتوپی فضاهای حد معکوس و به طور خاص تر فضاهای حاصلضرب، گروه توپولوژیکی شوند. همچنین شرایطی را برای شمارایی گروه های هموتوپی ارائه خواهیم داد‎. یک توپولوژی روی گروه های هموتوپی شکل ‎ قرار خواهیم داد که آن را با ? ?_k^top (x,x)‎ نشان می دهیم و ثابت می کنیم که ? ?_k^top (x,x)‎ یک گروه توپولوژیکی هاسدورف است و برخی ویژگی های توپولوژیکی این گروه توپولوژیکی را بدست می آوریم. همچنین مثالی ارائه خواهیم داد که نشان می دهد ? ?_k^top (x,x)‎ می تواند از یک نوع شکل بودن ‎x‎ و ‎y‎ را مشخص کند در جایی که ? ?_k ‎ نمی تواند‎. همچنین وجود حاصلضرب را در رسته ی شکل ضخیم برای فضاهای هاسدورف فشرده ثابت می کنیم. در این جا ثابت خواهیم کرد اگر حاصلضرب دو فضای ‎x‎ و ‎y‎ یک ‎-hpol‎توسیع اختیار کند که حاصلضربی از ‎-hpol‎توسیع های فضاهای ‎x‎ و ‎y‎ باشد، آن گاه ‎x× y‎ یک حاصلضرب در رسته ی شکل ضخیم است. در نهایت نشان می دهیم برای هر ‎k?n‎، ‎-k‎امین گروه های شکل ضخیم از فضاهای هاسدورف فشرده با حاصلضرب جابه جا می شوند.

درسال 2002 بیس توپولوژی ای روی گروه بنیادین فضاها قرار داد و فضای حاصل را گروه بنیادین توپولوژیک خواند. او نشان داد با گذاشتن این توپولوژی روی گروه بنیادین، برخی از قضایای مربوط به گروه بنیادین در حالت توپولوژیکی نیز برقرارند. قضیه ی مهمی که بیس در مقاله خود بیان می کند این است که یک فضا همبند ساده نیم موضعی است اگر و تنها اگر گروه بنیادین توپولوژیک آن گسسته باشد. فابل با ارائه یک مثال نقض نشان می دهد که این قضیه در حالت کلی برقرار نیست و با اضافه کردن شرط همبند مسیری موضعی و متریک به فضا این قضیه را اثبات کردند. پس از آن کلکات و مکارتی با اضافه کردن شرط همبند مسیری موضعی به فضا این قضیه را اثبات کردند. همچنین در این رساله یک نوع تارسازی با عنوان تارسازی پوششی دقیق معرفی می شود که خواص مشابه با فضاهای پوششی دارند و می توان گفت که تعمیم این فضاهاست. و خواهیم دید که شرط لازم و کافی برای آن که گروه بنیادین توپولوژیک ناهمبند مسیری کلی باشد آن است که برای آن فضا یک تارسازی پوششی دقیق جهانی موجود باشد. و در فصل آخر این رساله فضاهایی را معرفی میکنیم که کاربرد قضایای فصول قبل رانشان می دهد.