بسط های لاگرانژی می توانند در فراهم کردن مدل های احتمال متعددی مفید واقع شوند. این مدل های احتمال در مسائل واقعی از جمله فرآیندهای شاخه ای، فرآیندهای صف بندی، سم شناسی زیست محیطی، انتشار اطلاعات، بوم شناسی، اعتصاب در کارخانجات، فروش محصولات جدید و تعداد محصولات برای سوددهی بهینه کاربرد دارند. توزیع های احتمال لاگرانژی رده وسیعی از توزیع های احتمال را تشکیل می دهند که خانواده های بسیار مهمی نظیر توزیع های پواسن تعمیم یافته، دوجمله ای منفی تعمیم یافته، سری لگاریتمی تعمیم یافته و سری توانی را در برمی گیرند. در این پایان نامه پس از ارائه مقدمه و مفاهیم اولیه، توزیع های احتمال لاگرانژی، توزیع های لاگرانژی موزون و نیز توزیع های لاگرانژی تعمیم یافته را مورد مطالعه قرار داده و ارتباط آن ها را با توزیع های لاگرانژی بررسی خواهیم کرد. در ادامه چند توزیع آمیخته لاگرانژی تعمیم یافته را بررسی می کنیم. سپس به تشریح چند توزیع شبه احتمال که بر اساس بسط های لاگرانژی ایجاد می شوند می پردازیم. در نهایت حالت چند متغیره توزیع های لاگرانژی را مورد توجه قرار خواهیم داد.