در این پایان نامه همه حلقه ها جابه جایی و یکدار و همه مدول ها یکانی و ناصفر هستند‎.‎ یک حلقه‎?‎ تجزیه کراندار حلقه ایست که به ازای هر عنصر ناصفر آن چون ‎r،‎ کران بالایی بر طول تجزیه های ‎r‎ به حاصلضرب عناصر غیر یکه‎،‎ وجود داشته باشد‎.‎ در اینجا ما بررسی خواهیم کرد که در چه شرایطی یک حلقه‎?‎ چندجمله ای یک حلقه‎?‎ تجزیه کراندار است‎.‎ به علاوه مفهوم تجزیه در مدول ها نسبت به یک زیرمجموعه‎?‎ ضربی بسته اشباع شده از حلقه را معرفی می کنیم‎،‎ کراندار بودن این نوع تجزیه را بررسی کرده و شرایطی می یابیم که تحت آنها یک مدول چندجمله ای‎،‎ یک مدول تجزیه کراندار باشد‎.‎

در این رساله همه حلقه ها جابه جایی و یکدار و همه مدول ها یکانی و ناصفر هستند‎.‎ همچنین r یک حلقه و m یک r-مدول است. می دانیم که در حلقه ها می توان بر روی مجموعه ایده آل های اول یک توپولوژی به نام توپولوژی زاریسکی تعریف کرد که بسیاری از خواص حلقه در آن منعکس می شود. همچنین برای هر ایده آل i از r، اشتراک همه ایده آل های اول شامل i برابر است با مجموعه عناصری که توانی از آنها در i می افتد. هدف اصلی این رساله بررسی این است که آیا برای دسته های مختلف ? از زیرمدول های m با برخی شرایط «اول مانند»، می توان این دو خصوصیت را به مدول ها تعمیم داد یا خیر. همچنین اگر جواب مثبت است، به مطالعه خواص این توپولوژی ها و زیرمدول های ?-رادیکال m می پردازیم.