تولید گروه های ساده توسط عناصر مرتبه ی دو از مسائل معروف در نظریه ی گروه هاست. ثابت شده که هر گروه ساده غیر آبلی ، شامل عضوی از مرتبه 2 است ، ولی این که آیاهمه ی عناصر مولد را می توان از مرتبه ی دو در نظر گرفت ،مساله ای است که با استفاده از رده بندی گروه های ساده می توان جواب مثبت گرفت. در این مقاله شکل دیگری از این مساله برای گروه های ماتیوی m11 و m12 بررسی شده است.

در این پایان نامه به بررسی تعدادی شاخص های توپولوژیک می پردازیم.یکی از این شاخص ها فاصله-درجه است که می نیمم و ماکسیمم این شاخص روی گراف های همبند با nراس و m یال و هم چنین روی گراف های تک دوری و دودوری به دست می آید، به علاوه الگوریتمی برای محاسبه فاصله-درجه فولرن ها ارائه می شود.هم شاخص های زاگرب روی همه ی یال های غیر مجاور گراف تعریف می شوند. دراین پایان نامه مقدار این هم شاخص ها روی اعمال گراف محاسبه شده وگراف های فرینه وابسته به این هم شاخص ها به دست می آیند. هم چنین دراین پایان نامه به محاسبه اعمال جدید روی گراف ها و شاخص های توپولوژیک متناظر آن ها از جمله شاخص پایای نوع وینر، فاصله-درجه و هم شاخص های زاگرب پرداخته می شود.

یک شاخص توپولوژیک برای یک گراف g عددی حقیقی است که تحت یک ریختی گراف ها پایاست . شاخص وینر اولین شاخص توپولوژیک مبتنی بر تابع فاصله است. پس از معرفی شاخص وینر، تعمیم های بسیاری از آن ارائه شد. یکی از آن ها شاخص فوق وینر بود. در این پایان نامه شاخص های پایای نوع وینر و y-وینر به عنوان تعمیم های شاخص وینر معرفی شده اند. در ادامه به بررسی شاخص های وینر، فوق وینر، پایای نوع وینر و y-وینر تعدادی از اعمال گراف می پردازیم و شاخص های وینر، فوق وینر، زاگرب اول و دوم ،pi، سگد، سگد یالی و سگد راسی- یالی نانولوله و نانوچنبره از نوع c4 را با استفاده از حاصل ضرب دکارتی گراف ها به دست می آوریم.

چکیده هدف از اجرای این تحقیق، بررسی ارتباط بین میزان شیوع و علل آسیب های چوخه کاران نخبه استان خراسان شمالی بود. پژوهش حاضر از نوع توصیفی – همبستگی می باشد. آزمودنیهای پژوهش حاضر را کلیه کشتی گیران با چوخه (106 نفر) شرکت کننده در مسابقات 22 بهمن 1387 شهرستان آشخانه و 14 فروردین 1388 شهرستان اسفراین تشکیل می دهند. آزمودنی ها، پرسشنامه محقق ساخته ای (با اعتبار 0.76) که حاوی سئوالاتی در رابطه با آسیب های استخوانی, آسیب های مفصلی و آسیب های عضلانی را پر نموده و اطلاعات جمع آوری شده توسط نرم افزار spss 13 و با استفاده از ضریب همبستگی پیرسون تجزیه و تحلیل شدند. نتایج تحقیق نشان می دهد که 1/80 درصد (85 نفر) از آزمودنیهای تحقیق به نوعی دچار آسیب هستند. در مجموع میزان آسیب های وارده به کل بدن، اندام فوقانی با 09/47 درصد، بیشترین و سر و صورت با 45/12 درصد، کمترین میزان آسیب را داشته است. بیشترین میزان آسیب ها نیز بترتیب در انگشتان و کف دست، انگشتان و کف پا، دنده ها و گوش ها اتفاق افتاده است. در خصوص توزیع آسیب ها، آسیب های مفصلی با 20/45 درصد، بیشترین و آسیب های استخوانی با 44/25 درصد، کمترین میزان شیوع آسیب ها را به خود اختصاص دادند. از دیگر نتایج تحقیق حاضر اینکه، بین سابقه ورزشی، کاهش وزن، خستگی مفرط، گرم نکردن بدن، اجرای فن غلط و حرکات غیر ورزشی با شیوع آسیب های ورزشی چوخه کاران خراسان شمالی ارتباط معنی?دار مثبت، ولی بین تمرینات منظم و شرایط روحی مناسب با شیوع آسیب های ورزشی چوخه کاران خراسان شمالی ارتباط معنی?دار معکوسی مشاهده گردید. در مقابل، بین حضور مربی و استفاده از وسایل غیر استاندارد با شیوع آسیب های ورزشی چوخه کاران خراسان شمالی ارتباط معنی?دار آماری مشاهده نگردید. همانطور که نتایج تحقیق حاضر نشان می دهد، درصد بالایی از کشتی گیران با چوخه به نوعی دچار آسیب دیدگی هستند. به نظر می رسد که عواملی چون عدم استفاده از وسایلی مانند، کفش، محافظ زانو و مچ پا و همچنین انجام این ورزش بر روی زمین خاکی و همچنین اجرای فنون از بالا (فنون پرتابی)، می توانند دلایل احتمالی شیوع بالای آسیب ها در این رشته ورزشی باشد.

امروزه نظریه گراف یکی از پربارترین شاخه های ریاضیات و علوم کامپیوتر شده است. دلیل این امر هم کاربرد قابل ملاحظه این شاخه در زمینه های گوناگونی چون علوم نانو، فیزیک، بیولوژی، شیمی، انتقال اطلاعات و به طور کلی بررسی و تجزیه و تحلیل وابستگی اشیاء به یکدیگر، است. شاخص های توپولوژیک گراف ها، در بسیاری از علوم و از جمله ریاضی-شیمی، به طور چشمگیری مورد استفاده قرار می گیرند. از مهم ترین شاخص های توپولوژیک، شاخص زاگرب است که در بسیاری از محاسبات نیز ظاهر می شود و نقش مهمی در این شاخه دارد. این شاخص در یافتن کران هایی برای شاخص های دیگر و کران هایی برای دیگر موارد وابسته به گراف مانند انرژی گراف کمک بسیاری می کند. یکی از چشمگیرترین کاربرد شیمیایی نظریه گراف، رابطه نزدیک مقادیر ویژه گراف و سطوح انرژی اوربیتال ملکولی ‎$pi$-‎الکترون ها است. انرژی ابتدا در شیمی کوانتمی مورد مطالعه قرار گرفته است. در سال ‎1970‎ ایوان گوتمن ارتباط بین فرمول انتگرال کولسون، برای محاسبه انرژی و مقادیر ویژه گراف را یافت و با استفاده از آن، انرژی یک گراف را در حالت کلی تعریف نمود. شاخص زاگرب نیز در سال ‎1972‎ توسط گوتمن و تریناژستیک معرفی شد. این پایان نامه به صورت زیر ساماندهی شده است: در فصل اول مفاهیم مقدماتی و قضایایی که در فصل های بعد مورد استفاده قرار می گیرند بیان شده است. فصل دوم، شامل چهار بخش است. در بخش اول، پایاهای جمعی-رأسی و جمعی-یالی یک گراف را معرفی کرده و مثال ها و نتایجی در رابطه با آن ارائه نموده ایم. در بخش دوم، روش محاسبه این پایاها، با استفاده از عمل گروه خودریختی گراف روی رأس ها و یال ها داده شده است. در بخش سوم، دنباله درجات گراف و شاخص زاگرب را با توجه به مرجع ‎[8]‎ مورد بررسی قرار داده و کران هایی برای شاخص زاگرب آورده شده است. پس از آن اهمیت شاخص زاگرب را طی چند قضیه بیان کرده و در آخر این شاخص را برای تعدادی از اعمال گراف محاسبه نموده ایم. در بخش چهارم، طی دو قضیه که از مرجع ‎[7]‎ استفاده شده است، مقادیر فرینه برای شاخص زاگرب گراف های دوبخشی محاسبه شده است. در فصل سوم پس از ارائه تاریخچه ای از انرژی گراف ها و گراف های ملکولی، که یکی از مهمترین کمیت های وابسته به گراف است، به تعریف و بررسی آن پرداخته ایم. در بخش سوم این فصل در پی یافتن کرانی مناسب برای انرژی گراف ها، خصوصاً گراف های دوبخشی هستیم. با معرفی ‎$ k $-‎درجات رئوس یک گراف، دنباله ‎$ (s_k)_{k>0} $‎ داده شده، که کران بالای انرژی را که در ‎[9‎ و ‎11]‎ معرفی شده، بهبود می بخشد. در انتهای این بخش از مرجع ‎[10]‎ برای یافتن کران پایین برای گراف ها استفاده کرده ایم. در فصل چهارم، ضمن معرفی گراف ‎$ p_m imes c_n $‎، ماتریس مجاورت این گراف را در حالت کلی به دست آورده ایم. در ادامه نانولوله ها را به عنوان زیرگرافی از این گراف معرفی کرده و چندجمله ای هوسویای آن ها را به دست آورده ایم. در این فصل، شاخص زاگرب و کران های انرژی برحسب شاخص زاگرب این نانولوله ها داده شده است. نتایج این فصل در مراجع ‎[16-12]‎ به چاپ رسیده است. در فصل پنج، با معرفی دندریمرها و نانوستاره ها، گروه خودریختی آن ها را محاسبه کرده و نشان داده ایم که دندریمرها مکعب جزئی هستند. در این فصل به محاسبه شاخص های توپولوژیک نانوستاره ها با استفاده از قضایای معرفی شده در بخش دو از فصل دوم، پرداخته ایم. از جمله می توان به شاخص ها وینر، بالابان، پاداماکار-ایوان، زاگرب و هندسی-حسابی اشاره کرد. برای مطالب این فصل از مراجع ‎[24-17]‎ استفاده شده است.

این پایان نامه مشتمل بر دو موضوع است. در بخشی از این پایان نامه با اضافه کردن یک شرط لازم ترکیباتی بر روی گروههای متناهی، این گروهها را به گروههای آبلی تبدیل می کنیم. این شرط در قالب سوالی از بی. اچ. نیومن در شال 2000 مطرح شده است. موضوع دوم در مورد برخی شاخص های توپولوژِیک گراف های معروف بنزنوئید و دندریمر است. این شاخص ها عبارت است زا شاحص همبندی خروج از مرکز و شاخص مجموع فواصل خروج از مرکز گراف، که آنها را برای گراف های مذکور مخاسبه می کنیم. همچنین ضمن معرفی چندجمله ای خروج از مرکز یک گراف،این چندجمله ای را برای گراف های بنزنوئید مثلثی به دست می آوریم.

گراف های فاصله-منظم در سال های پایانی دهه چهل قرن بیستم مورد توجه قرار گرفتند. مسائل زیادی از اردوش درخصوص این گراف ها وجود دارد که حل آن ها کمک زیادی به پیشرفت در این زمینه می کند. در این پایان نامه حاصل ضرب های تانسوری، حاصل جمع قوی و حاصل ضرب قوی گراف ها مورد بررسی قرار گرفته اند. هم چنین حاصل ضرب گراف های فاصله-منظم مورد مطالعه قرار گرفته و در بین نانو ساختارهایی که مطالعه کرده ایم، نشان داده ایم که تنهه (5-6)- ‎فولرن f20 فاصله-منظم است. سپس تاثیر برخی از اعمال گرافها روی گراف های فاصله-متعادل، مورد بررسی قرار گرفته اند. در پایان هم به مقایسه شاخص های سگد و وینر گراف ها پرداخته ایم.

یک شاخص توپولوژیک یک کمیت عددی است که به یک گراف نسبت داده می شود، به طوری که تحت یکریختی گراف ها پایاست. از شاخص های توپولوژیکی که در این رساله مورد بررسی قرار گرفته است، می توان از عدد دوبخشی سازی یالی، رأسی، شاخص همبندی خروج از مرکز، شاخص وینر، سگد، پادماکار-ایوان رأسی و شاخص زاگرب اول ودوم نام برد. عدد دوبخشی سازی یالی یک گراف g عبارت است از کمترین تعداد یالی از g که به منظور به دست آوردن زیر گراف دوبخشی از آن بایستی حذف شود. عدد دوبخشی سازی رأسی،به طور مشابه و با حذف رئوس به دست می آید. این دو کمیت، شاخص ها یی توپولوژیک برای تعیین (نا) دوبخشی بودن یک گراف g است.این رساله به بررسی برخی خواص این دو شاخص توپولوژیک به همراه چند شاخص دیگر و محاسبه برخی از آن ها برای دسته هایی متنوع از گراف های فولرنی اختصاص دارد. در طی این کار مطالعاتی روی اعمال خاصی از گرافها و اثر آن روی این شاخص های توپولوژیک خواهیم داشت. به علاوه مرکز و محیط این گراف های حاصل ضربی را نیز مورد بررسی قرار خواهیم داد.

چکیده فرض کنید g گروه غیرآبلی و z(g) نمایانگر مرکز آن باشد. به گروه فوق گراف ?_g را به صورتی نسبت می دهیم که g?z(g) مجموعه ی رئوس گراف باشد و هم چنین دو عضو y,x با هم مجاور باشند، اگر و تنها اگر xy?yx. این گراف را گراف ناجابه جایی گروه می نامند. فرض کنید a یک گراف باشد. زیرمجموعه ی x از رئوس گراف a را یک خوشه می نامیم هرگاه هر دو رأس x به هم مجاور باشند. اندازه ی بزرگ ترین خوشه ی a را با ?(a) نمایش داده، و آن را عدد خوشه ای گراف a می نامیم. ما در این پایان نامه ساختار گروه های غیرحل پذیر g که در شرط ?(?_g )?21 صدق می کنند را مورد بررسی قرار می دهیم که عدد 21، عدد خوشه ای مربوط به گراف ناجابه جایی گروه ساده ی غیرآبلی a_5 می-باشد. و نشان می دهیم که چنین گروهی با z(g)×a_5 یکریخت می باشد. علاوه بر این نشان می دهیم طول مشتق گروه حل پذیر و غیرآبلی g حداکثر 2?(?_g )-3 می باشد. هم چنین در این جا به بررسی ساختار گروه های غیرحل پذیر g که در شرط ?(?_g )?57 صدق می کنند می پردازیم که عدد 57، عدد خوشه ای مربوط به گراف ناجابه جایی گروه خطی خاص تصویری psl(2,7) می باشد و در آخر نیز به بررسی عدد خوشه ای مربوط به گراف ناجابه جایی گروه های ساده مینیمال می پردازیم. کلمات کلیدی: گروه حل پذیر، عدد خوشه ای، گراف ناجابه جایی.

در فصل اول پایان نامه به تعاریف و قضایای مورد نیاز در سراسر پایان نامه پرداخته ایم. در فصل دوم تعدادی از قضایای موجود پوچی گراف را برای گراف های تک دور و گراف هایی با تعداد یال کم اورده و رابطه پوچی و ساختار گراف را اشاره کرده ایم. در فصل سوم تعداد زیادی از قضایای موجود در رابطه با شاخص استرادا را بیان کرده ایم. در فصل آخر با استفاده از پوچی گراف کرانهایی برای شاخص استرادا تخمین و نیز کران هایی برای استرادای دندریمر ها بدست اوردهایم. در بخش پایانی از فصل اخر تعداد 2و 3و 4و 5و 6و 7و 8 -مسیرها را بدست اورده با استفاده از ان تعداد 3 و 4و2-راس های مستقل و نیز یال های مستقل را محاسبه کرده ایم.

روابط ساختار کمی – فعالیت (qsar ها) و روابط ساختار کمی – ویژگی (qsprها) مدل های محاسباتی هستند که ظاهر ساختاری مولکول ها را فعالیت زیستی آن ها یا هر ویژگی دیگری مربوط می کنند. شاخص های توپولوژیکی (tis) دسته ای مهم از توصیفگرهای مولکولی هستند. توصیف کننده های ریاضی ای که از گراف های مولکولی مشتق شده اند و بطور گسترده در qspr و qsar مورد استفاده قرار می گیرند. شاخص های توپولوژیکی برپایه یک محاسبه ریاضی از ماتریس هایی که از گراف مولکولی بدست می آیند، مشتق می شوند. یک گراف g=g(v,e) زوج مرتبی شامل دو دسته v=v(g) رئوس و e=e(g) یال ها است.حجم وسیعی از موضوعات شیمیایی در یک شکل ساده مانند گراف می تواند بیان شود. گراف های مولکولی گراف های شیمیایی غیرجهت دار هستند که در مولکول ها و مجموعه های مختلف ارائه می شود. بمنظور بدست آوردن مشخصه کمی از ساختارهای مولکولی برای مقایسه ساختارهای مولکولی، و برای محاسبه شاخص های توپولوژیکی و ساختاری مختلف باید از گراف هایی که بصورت ماتریس نمایش داده می شوند استفاده شود.در فصل های اول و دوم به توضیح گراف شیمیایی و عناصر آن و ماتریس های مشتق شده از آن ها و چگونگی بدست آوردن آن ها پرداخته و فصل سوم به معرفی شاخص های توپولوژیکی مختلف و نحوه محاسبه آن ها اختصاص یافته است. در فصل پایانی نیز به بررسی ویژگی های شیمی فیزیکی و نحوه محاسبه آن ها از طریق مدل های رگرسیونی پرداخته شده است. ویژگی های شیمی فیزیکی که مورد مطالعه قرار گرفته اند عبارتند از :نقاط جوش،دمای بحرانی،فشار بحرانی،حجم های بحرانی،چگالی،شاخص انکسار،فشار بخار،ظرفیت گرمایی،گرمای تبخیر،آنتالپی تشکیل هیدرو کربن ها هستند، که همبستگی خوبی بین مقادیر پیش بینی شده و مقادیر تجربی دیده می شود.

معرفی پوچی گراف /رابطه ی بین پوچی و ساختار گراف/ بررسی طیف ضرب کرونا/ بررسی یک ضرب جدید و طیف آن/ بررسی پوچی گرافهای دارای رأس برشی محاسبه پوچی چند دسته از دندریمرها/پوچی گراف هایی با یک درخت آویزان/ محاسبه ی پوچی یک گراف تک دور با استفاده از عدد تطابقی آن/تعیین گراف هایی با پوچی ماکزیمم

شاخص وینر گراف g به صورت مجموع فواصل بین همه جفت از رئوس تعریف می شود.شاخص وینر یک ویژگی جالب از ریاضی شیمی است . شاخص سگد ((sz(g ) تعمیمی از شاخص وینر برای همه گراف های همبند می باشد. درمورد درخت ها شاخص سگد با شاخص وینر برابر است. از این رو هر تحقیقی در شاخص سگد معنی دار است اگر و فقط اگر برای گراف های شامل دور به کار برده شود. در محاسبه شاخص سگد، برای یالe=uv تعداد رئوس با فاصله های یکسان از u وv در نظر گرفته نمی شود. به همین دلیل برای شمردن این تعداد رئوس، شاخص سگد اصلاح شده (شاخص سگد ستاره ((sz*(g )) تعریف شده است.. فرض کنید g گراف همبند و (?(g)=sz(g)-w(g . یک نتیجه معروف از کلاوزار، راجاپکس و گوتمن نشان می دهد که ?(g)?0 و بنا به نتیجه ای از دوبرینین و گوتمن، ?(g)=0 است اگر و فقط اگر بلوک های کامل باشند. کارمان را با طبقه بندی گراف های همبند که بیان می کند ?(g)=4,5 ، ادامه داده و سرانجام بیان نموده ایم که برای یک عدد صحیح مثبت k مخالف 1,3 گراف g وجود دارد به طوری که ?(g)=k . گراف نسر (( kg(m,n) گرافی است که رئوس آن زیرمجموعه های n عضوی از یک مجموعه m عضوی هستند و دو راس مجاورند هر گاه مجموعه های متناظر، مجزا باشند. در این قسمت شاخص سگد و وینر گراف نسر را به وضوح محاسبه می کنیم.

در این پایان نامه با استفاده از نتیجه قضیه درهم بافتن نشان می دهیم که جداساز یک فولرن با n رأس حداکثر 1-3/n می باشد و فولرن دوازده وجهی بزرگترین جداساز و ماکزیمم کوچکترین مقدار ویژه را در کلاس فولرن ها دارد. همچنین با استفاده از نمایش مسطح گراف ها (نمایش هندسی گراف ها) نشان می دهیم که جداساز فولرن ها حداکثر 24/n می باشد. از نتایج دیگر این پایان نامه این است که تعداد گراف فولرن های رامانوجان محدود است. در ادامه مقادیر ویژه گراف فولرن های دوری چند لایه را می یابیم. در انتها آن دسته از گراف های فولرنی که گراف کیلی هستند را به دست می آوریم. کلمات کلیدی : گراف فولرن، مقادیر ویژه، جداساز، گراف دوری، گراف کیلی.

عدد رنگی یالی گراف g کوچکترین عدد صحیح مثبت k است که یال های گراف را با k رنگ بتوان رنگ کرد به طوری که یال های مجاور دارای رنگ یکسان نباشند.طبق قضیه ویزینگ گراف ها از کلاس 1 یا 2 هستند.در این بایان نامه با استفاده از تعریف گراف های سرریز می توان دید این گراف ها از کلاس 2 هستند و برخی از ویژگی های گراف های سرریز را مورد مطالعه قرار می دهیم. همچنین برخی از گراف های تقسیم شده از کلاس 1 و 2 را تعیین می کنیم.

فرض کنید ‎ g‎ یک گراف با ماتریس مجاورت ‎a‎ و d ‎ یک ماتریس قطری است که درایه های روی قطر اصلی آن همگی درجات رئوس ‎ g ‎اند. در اینصورت ماتریس ‎l = d‎ - ‎a ‎ را ماتریس لاپلاسین ‎ g ‎ نامیده و ریشه های چندجمله ای ‎?(g,x) =det(xi‎ - ‎l)‎ را مقادیر ویژه لاپلاسی گراف ‎ g می نامیم. ضرایب این چند جمله ای را ضرایب لاپلاسی گراف ‎ g ‎ می نامیم. محاسبه ضرایب لاپلاسی با تعداد درخت های فراگیر گراف ‎ g رابطه ی مستقیم دارد. در این پایان نامه ضرایب لاپلاسی گراف های تک دور، دو دور و سه دور را مورد بررسی قرار می دهیم. همچنین برخی از ویژگی های ضرایب چندجمله ای لاپلاسی درخت ها را مورد بررسی قرار می دهیم. در نهایت، تعداد درخت های فراگیر گراف هایی با اعداد دوری ‎0‎ ، ‎1‎، ‎2‎ و ‎3‎ را محاسبه می کنیم.

ساختار مولکولی ترکیبات شیمیایی را می توان به صورت چند ضلعی ها، مسیرها، درخت ها و یا غیره مدل سازی نمود. بطور کلی گراف مولکولی، گرافی است که به یک ساختار مولکولی نسبت داده می شود. در این گراف، هر اتم از مولکول شیمیایی به عنوان یک راس و پیوند بین اتم ها یال های گراف نامیده می شود‎.‎ ‎hspace*{5mm}‎ یک شاخص توپولوژیک مقدار عددی است که به یک گراف نسبت داده می شود. به عبارت دیگر فرض کنید ‎$ mathcal{c}_{j} $‎ کلاس همه گراف های همبند باشد. در این صورت تابع ‎$ f‎ : ‎mathcal{c}_{j} longrightarrow mathbb{r }^{+} $‎ را یک تابع توپولوژیک می نامیم، هرگاه برای هر دو گراف ‎$ g‎ , ‎h in mathcal{c}_{j} $‎ از ‎$ g cong h $‎ نتیجه شود که ‎$ f(g) = f(h) $‎. وینر یک گراف، اولین بار در سال ‎1947‎ توسط هارولد وینر (فیزیکدان و شیمیدان آمریکایی) مطرح شد. هارولد وینر ارتباط زیادی بین شاخص وینر و ویژگی های شیمی ـ فیزیک آلکان ها به دست آورد. این شاخص، از نصف حاصل جمع فواصل همه جفت راس ها از یک گراف حاصل می شود. هارولد تنها عدد وینر آلکان ها بدست آورد، هوسویا ‎(1971)‎ اولین کسی بود که ارتباط بین عدد وینر و فاصله در گراف های مولکولی را مطرح کرد. ‎‎ در این پایان نامه به سوالات زیر پاسخ می دهیم‎:‎ آیا می توان شرایطی فراهم کرد که توسط آن ها، شاخص وینر افزایش یا کاهش یابد؟ اگر معیاری برای کاهش وینر بدست آید، آیا می توان گراف هایی پیدا کرد که این شاخص را در آن ها مینیمم کرد؟ نهایتا به این سوال پاسخ می دهیم که آیا می توان رابطه ای بین شاخص وینر و ضرایب چند جمله ای مشخصه لاپلاسی به دست آورد؟

در این پایان نامه به بررسی تعداد کلاس های تزویج گویای برخی 2 - گروه های متناهی و ارتباط آن با مجموعه سرشت های گویای این 2 - گروه ها می پردازیم. برای این منظور میدان مقادیر سرشت ها و میدان مقادیر کلاس های تزویج آن ها را تعریف کرده و 2 - گروه های خاصی را در نظر می گیریم که دارای تعداد یکسانی کلاس های تزویج گویا و سرشت های تحویل ناپذیر گویا می باشند. با این شرط ‎‎که زیرگروه های ?- سیلو آن دوری باشد.‎‎ ‎در ادامه به مشخص کردن 2 - گروه های متناهی با 5 کلاس تزویج گویا می پردازیم و نشان می دهیم که اگر g‎‎یک 2 - گروه متناهی با دقیقا 5 کلاس تزویج گویا باشد‏، آنگاه g دووجهی‏، نیمه - دووجهی یا چهارگان تعمیم یافته می باشد. همچنین 2 - گروه ها با 4 کلاس تزویج گویا را مشخص می نماییم.

در این پایان نامه ساختار گراف های کیلی یکانی براساس عدد خوشه ای، عدد رنگی رأسی و یالی، عدد همبندی، مسطح بودن و تقاطع یالی نشان داده شده است. در ادامه یک رابطه بین گراف های کیلی یکانی و گراف های کیلی یکانی جمعی بیان می شود. انرژی گراف در سال 1970 توسط ایوان گوتمن معرفی شد که کاربردهای زیادی در علوم نانو و شیمی دارد. فرض می کنیم {?_1,?_2,…,?_n } مجموعه همه مقادیر ویژه گراف g باشد در اینصورت انرژی گراف g با رابطه ?_(i=0)^n?|?_i | =(g)? بدست می آید. گراف g از مرتبه n ابرانرژی نامیده می شود، هرگاه انرژی آن از انرژی گراف k_n بیشتر باشد یعنی ?(g)>2n-2. می توان دید گراف کیلی یکانیg_n ابرانرژ‍ی است اگر و فقط اگر دو عامل اول بزرگتر از 2 یا سه عامل اول متمایز داشته باشد. همچنین نشان داده می شود که گراف نسر k_(n:r) برای عدد طبیعی n و r?2 با n?2r+1 ابر انرژی است.

چکیده انرژی گراف gبرابر است با مجموع قدر مطلق مقادیر ویژه ماتریس مجاورت آن. درخت کاترپیلار درختی است که با حذف تمام رئوس تنها یک مسیر ایجاد می کند. برای و ، فرض کنید به طوری که , ,…, و در آن فرض کنید c (p) درخت کاترپیلار حاصل از ستاره های و مسیر باشد که ریشه ستاره به iامین راس متصل است. گراف خطی c (p) را نیز با نشان می دهیم که تشکیل شده است از دنباله هایی مرتب گراف های کامل ، به طوری که هر دو گراف کامل پشت سر هم دقیقا یک رأس مشترک دارند. در این پایان نامه، مقادیر ویژه و انرژی را تعیین می کنیم. همچنین فرمول هایی برای مقادیر ویژه و انرژی که بدست می آوریم سرانجام، یک کران بالا و پایین برای انرژی تعیین می کنیم.

گراف توانی متناظر با گروه g، گرافی است که مجموعه رئوس آن گروه g است و دو عنصرx و y از gمجاورند اگر یکی توانی از دیگری باشد. در این پایان نامه گراف توانی گروه های از مرتبه ی 2pq را بررسی می کنیم. نشان می دهیم چه عناصری از گراف توانی گروه های از مرتبه ی 2pqبا یک دیگر مجاور هستند. نمایش هندسی گراف توانی این خانواده از گروه ها را در صفحه رسم کرده، ماتریس مجاورت آن ها را به دست می آوریم. هم چنین نشان می دهیم این گراف ها همبند بوده، دارای قطر، شعاع و کمر های برابر هستند، اما اویلری و مسطح نیستند. مرکز و محیط متفاوتی دارند، درخاصیت همیلتونی بودن با یک دیگر متمایزند، هم چنین دارای عدد رنگی، عدد خوشه ای و اندیس وینر متفاوتی هستند.

آمارها نشان می دهد که اطفال و مجانین به میزان قابل توجهی دچار بزهکاری و انحراف می شوند و از آن جا که بخشی از جمعیت کشورما را اطفال و مجانین تشکیل می دهند، و ازطرفی یکی از اساسی ترین مفاهیم علم حقوق بخصوص حقوق جزا مسأله مسوولیت می باشد لازم است این مهم توسط پژوهشگران موردبررسی قرار گیرد. قتل عمدیک انسان نیز بدون تردید مهم ترین و در عین حال جبران ناپذیرترین جرم از نگاه شرع، قانون و جامعه است. موضوع مسوولیت صغار و مجانین با توجه به حمایت قانون از ایشان از مباحث مهم حقوق مدنی و کیفری است. مسوولیت ایشان از دیدگاه جزایی به واسطه فقدان عنصر معنوی تحقق پذیر نمی باشد. در حقوق کیفری صرف رفتار خارجی فرد اگرچه منطبق با تعریف قانونی عملیات مجرمانه جرمی خاص باشد نمی تواند سبب مجرم شناختن مرتکب عمل گردد، چراکه ارتکاب هر عملی که نقض مقررات وقانون تلقی می شود باید مبتنی براراده،آگاهی واختیارفردمرتکب وبه تعبیری تحقق عنصرروانی باشد. شخصی که حین ارتکاب جرم فاقد قوه تمیز است نمی تواند مسئول بزه انجام یافته باشد. لذا، کودک و یا مجنونی را که فعل مجرمانه ای مرتکب می شوند به دلیل اینکه در محدوده مسئولیت پذیری قرار ندارند، نمی توان برای جرم انجام یافته کیفر داد. به عبارت دیگر توان تحمل بار مسئولیت و به تبع آن مجازات در این شرایط وجود ندارد. در فقه اسلامی، بر اساس روایات مرسوم به «رفع قلم»، عدم مسئولیت صغار و مجانین مورد تاکید قرار گرفته است در حقوق انگلیس نیز، بر اساس قواعد پذیرفته شده، اطفال و نوجوانان و نیز مجانین از مسئولیت کیفری مبرا گشته اند. در حقوق انگلیس، عقیده بر این است که صغیر و مجنون (minor and insane) بهیچوجه مرتکب قتل نمی توانند بشوند زیرا آنها فاقد توانائی ارتکاب جرم هستند. بررسی ریشه ای مسائل اطفال ومجانین و از آن جمله بزهکاری این اشخاص ، برای رسیدن به یک جامعه ی ایده آل شرطی ضروری است.از آن جا که دلایل و عوامل بروز جرم در میان اطفال با افراد بزرگسال ومجانین با اشخاص عاقل متفاوت بوده و از سوی دیگر این طبقه از جامعه دارای وضع روانی و اجتماعی حساس تر و به مراتب آسیب پذیرتری نسبت به سایرین می باشند ، لذا باید روشی متناسب با شرایط و موقعیت این افراد اتخاذ شود . برای پیشگیری از جرم در مورد کودکان بزهکار ومجانین به جای تحمل هزینه های نگهداری وی بهتر است او را به چشم یک آسیب دیده اجتماعی بنگریم و با بررسی شرایط خانوادگی، محیط زندگی و ارتباطات فرد، با یاری مددکاران اجتماعی، آسیب شناسان و روان شناسان مانع تربیت و پرورش ناصحیح او شویم. کمبودها و ناکامی هایش را جبران و دردهایش را التیام بخشیم. در این صورت علاوه بر آن که از بزهکار ماندن کودک و مجانین و وقوع جرم های آتی جلوگیری می شود از تاثیراتی که می تواند در میان همسالان وهمنوعانش داشته باشد نیز پیشگیری می شود. اهمیت توجه به شخصیت و حیثیت اطفال در هنگام رسیدگی به جرایم ارتکابی توسط آنان و جلوگیری از تجری آنها، ایجاب می کند که قانونگذار تشریفات رسیدگی خاصی را که با دقت نظر در روحیه و شخصیت اینگونه اشخاص تدوین گردیده است، در حین رسیدگی به جرایم آنها لحاظ نماید. اما، باید گفت عدم مسئولیت جزایی طفل و مجنون بدین معنی نیست که آنها را کاملا رها کنند.

یک جورسازی از گراف g، مجموعه ای از یال های دو به دو غیر مجاور m از g است و یک جورسازی تام (یا ساختار ککوله)، جورسازی است که تمام رئوس g را می پوشاند. یک دور از گراف g را m- متناوب گویند هرگاه یال های آن به طور متناوب در m و em باشند. فرض کنید f_n یک گراف فولرنی n رأسی باشد. مجموعه h از شش ضلعی های غیر مجاور f_n را یک الگو شش ضلعی گویند، هرگاه f_n یک جورسازی تام m را به گونه ای داشته باشد که هر شش ضلعی h، m- متناوب باشد. بیش ترین اندازه همه الگوهای شش ضلعی f_n را عدد کلار آن گویند. هدف از این پایان نامه مطالعه ساختار ککوله و عدد کلار (?,?)- فولرن هاست. هم چنین عدد کلار بعضی دسته های نامتناهی از فولرن ها را محاسبه نموده ایم.

فرض کنید گروهg گروهی متناهی بوده وs یک مجموعه مولد برای گروهg باشد. رئوس گراف کیلی =cay(g,s)? همان عناصرg هستند. دوری که شامل همه رئوس? است را دور همیلتونی? می نامند. در اوایل سال 1970 حدس زده بودند که هر گراف کیلی همبند یک دور همیلتونی دارد، اما هیچ راه حلی جهت حل این مشکل ارائه نگردید. یکی از اهداف این پایان نامه، ارائه برخی از شواهد برای اثبات این حدس است.

در این پایان نامه از روش شمارشی پولیا برای شمردن تمامی گرافهای کیلی غیریکریخت که از یک گروه ساخته شده انداستفاده میشود.

در این پایان نامه شاخص های توپولوژیک مبتنی بر خروج از مرکز معرفی شده است؛ مانند: شاخص وینر،شاخص همبندی خروج از مرکز، فاصله درجه، شاخص گوتمن، مجموع فاصله ی خروج از مرکز . ... سپس کران های بالا برای برخی از این شاخص ها معرفی شده است.