در این پایان نامه خاصیت جایگشت پذیری و بازنویسی پذیری گروه ها را مورد بررسی قرار می دهیم. ثابت می کنیم که: 1) هر گروه آبلی –بواسطه –دوری، دارای خاصیت 3-بازنویسی پذیری است اگروفقط اگر یک زیر گروه آبلی با شاخص 2 داشته باشد یا مرتبه زیر گروه مشتق آن کمتر از 6 باشد. 2) هر 2-گروه پوچ توان از رده 2، دارای خاصیت 3-بازنویسی پذیری است اگروفقط اگر یک زیر گروه آبلی با شاخص 2 داشته باشد یا مرتبه زیر گروه مشتق آن کمتر از 5 باشد. 3) هر گروه پوچ توان از رده 2، دارای خاصیت 3-بازنویسی پذیری است اگروفقط اگر یک زیر گروه آبلی با شاخص 2 داشته باشد یا مرتبه زیر گروه مشتق آن کمتر از 6 باشد. در سال 1975 پل اردوش سوالی را مطرح کرد: اگر در یک گروه نامتناهی همه زیر مجموعه های با عناصر دو به دو جابجا نشونده، متناهی باشند آیا می توان کران بال برای عدد اصلی چنین مجموعه هایی یافت؟ در سال 1976 نویمن به آن پاسخ مثبت داد. سوال اردوش را در جهت دیگری در نظر می گیریم و ثابت می کنیم که: یک گروه نامتناهی در واریته تعریف شده توسط قانون , قرار دارد اگروتنها اگر به ازای هر m زیر مجموعه نامتناهی از گروه، اعضای برای (i=1, 2, …, m) وجود داشته باشد که . کلمه w به صورت حاصل ضرب چند کلمه مجزا است، به این معنی که کلمه ها از گروه های آزاد تعریف شده روی مجموعه های مجزا بوده و کلمه ها به فرم می باشند که در آن فقط یکی از حروف در چند مکان تکرار شده و بقیه حروف فقط در یک مکان ظاهر شده اند.

در سال 1952 بئر مفهوم زیرگروه –nمرکز z(g,n) را بیان کرد که در آن z(g,n)= {a ? g ? (ax)n = an xn , (xa)n = xn an ? x ? g }. در این پایان نامه برای هر گروه g تمام اعداد صحیح m را به دست خواهیم آورد به طوری که z(g,m) z(g,n) ?. در پایان نیز مجموعه ای از اعداد صحیح s را به دست خواهیم آورد به طوری که .

فرض کنید g یک گروه باشد، گروه g را جابه جایی پذیری قوی یا pc-گروه می نامند،هرگاه به ازای هر x و y در g که x^m,y^n غیربدیهی هستند، اگر [x^m,y^n]=1 آنگاه [x,y]=1 . زیرگروه های فیتینگ و عمل های دارای نقطه-ثابت-آزاد نقش اساسی در مطالعه ی pc-گروه ها دارند. یکی از اهداف ما دراین پایان نامه رده بندی pc -گروه های موضعاً متناهی است که بدین منظور ابتدا p-گروه های متناهی و گروه های پوچ توان متناهی و درنهایت گروه های موضعاً متناهی را مورد مطالعه و رده بندی قرار خواهیم داد. یکی دیگر از اهداف ما دراین پایان نامه این است که هسته ی گروه جابه جایی پذیری قوی را روی گروه های موضعاً پوچ توان و گروه های متناهی که مرکز بدیهی دارند، بررسی کنیم.

یکی از اهداف ما در این پایا نامه بدست آوردن توصیفی از ?t-گروه های متناهی برای کلاس ? از گروه ها است که خواص زیر را دارند: (?) ? نسبت به داشتن زیرگروه بسته است. (?) ? شامل همه ی گروه های آبلی متناهی است. (?) ? دوژنتیک در کلاس همه ی گروه های متناهی است. یکی دیگر از اهداف ما در این پایان نامه اثبات حل پذیری هر گروه متعدّی- حل پذیر متناهی و ارایه ی یک رده بندی از گروه های متعدّی- پوچ توان متناهی است. در فصل آخر به مطالعه ی رابطه ی جملات سری مرکزی بالابب و پایینی پرداخته و مطالب زیر را نشان می دهیم. فرض کنیدg یک گروه متناهی با زیرگروه مشتق از رتبه ی r باشد. ثابت می کنیم | g?z_(2 ) (g) |??|g^ |?^2r| و نشان می دهیم که اگر g گروهی توانا باشد آنگاه | g?z_ (g) |??|g^ |?^4r |. همچنین ثابت می کنیم اگر g یک p-گروه توانا باشد آنگاه رتبه ی g/z(g از بالا بر حسب تابعی از رتبه ی زیرگروه مشتق کراندار است.

اگر n عددی صحیح و مخالف 0و1 باشد bn واریته ی n_ بل گروه ها باشدکه با قانون [xn, y][x, yn]?1 = 1 تعریف می شود وb ?n کلاس همه ی گروه هایی باشد که به ازای هر دو مجموعه ی دلخواه x و y از g اعضای xوy از این دو مجموعه موجود باشند که [xn, y] = [x, yn]. برای n=+2,-2,3 ثابت می کنیم ، b ?n = bn ? f که f کلاس همه ی گروه های متناهی است.هم چنین در حالت های زیر بررسی می کنیم که هر b ?n_ گروه نامتناهی n_بل است: اگر g یک گروه باتولیدمتناهی و موضعامدرج باشد. g موضعا حل پذیر باشد.g موضعامدرج و nوn-1 برابر 2apb باشد(که pعدد اول وa ,b اعداد صحیح نامنفی هستند.)هم چنین نشان خواهیم داد که هر b*4 _ گروه نامتناهی 4 بل است.

در این پایان نامه گروه های موضعامدرج با یک شرط پوچ توانی روی زیر مجموعه هی نامتناهی را بررسی کرده هیم.این شرط به این صورت است که هر زیر مجموعه نامتناهی دارای ? عضو است که گروه وچ توان از کلاس حداکثر k تولید میکند.

?عضوم لودم یژولومهوک ندوب ?هانتم مه :یهل?سو هب روپن?سح داجس -rوsتبثم و ح?حص ددع د?نک ضرف ن?نچمه .دشاب نآ زا ?لآهد?اi و یرتون یاهقلحrد?نک ضرف هک دشاب یددع ن?لواsرگا تروص ن?ا رد .دشاب دلوم ?هانتمext s r (r=i; m)هک دنشاب یاهنوگهبmلودم assh s i (m)اذلودلوم?هانتم homr (r=i; h s i (m))م?نک?متباثها?نآ،تس?ن?هانتممه-i ،h s i (m) م?هاوخ ?سرربi =1;2یارب ارext i r (r=i; m)ندوب دلوم ?هانتم ن?نچمه .تسا ?هانتم یاهعومجم .درک ن?رتگرزبnرگا .دشاب دلوم ?هانتم ?لودم-r،mو یرتون و ?عضوم یاهقلح(r;m)د?نک ضرف هب اهنت nم?هد?م ناشن ،تس?ن ?هانتممه-m،h n i (m)?عضوم لودم یژولومهوک هک دشاب ?ح?حص ددع .تسا هتسباو supp(m) لودم هاگ ه??ت،هتسباو لوا یاهلآهد?ا ،?هانتممه-iلودم ،?عضوم یژولومهوک:ید?لک یاههژاو

اگر n یک عدد صحیح باشد و ?_n:g?g با ضابطه ?_n(g)=g^n یک درون ریختی ازg باشد، آن گاه به ازای هر x و y از g،?(xy)?^n=x^n y^n. دراین صورت g را یک گروه n-آبلی گوییم. نشان می دهیم که هر گروه n-آبلی حاصلضرب مستقیم یک n-گروه، یک (1-n)-گروه و یک pn(1-n)-گروه آبلی است. در این پایان نامه به مطالعه کلاس های b_n و c_n می پردازیم که b_n نشان دهنده کلاس تمام گروه هایی که برای آن ها درون ریختی ?_n یک به یک است، بوده و c_n نشان دهنده کلاس تمام گروه هایی که برای آن ها درون ریختی ?_n پوشاست، می باشد. هم چنین نیم گروه نماییe(g) را تعریف می کنیم و در نهایت a(g) را مورد مطاله ساختاری قرار داده و شرایطی که در آن g گروه آبلی است را بررسی می کنیم.

در این پایان نامه به مطالعه گروه های ‎‎‎2-انگل‎ نیرومند می پردازیم. ابتدا نشان می دهیم که هر گروه 2-‎انگل نیرومند 3 مولدی پوچتوان از رده حداکثر 2 است، موجب شگفتی است که این ‎‎نتیجه زمانی که تعداد مولدها بیش از سه باشد‏، برقرار نیست‏، در واقع نشان می دهیم مثال های نقض مینیمال بسیاری وجود دارند‏، که تعداد مولدها بیش از سه‏، ولی گروه پوچتوان از کلاس حداکثر 2 نیستند. سپس به رده بندی گروه های 2-انگل نیرومند مینیمال که پوچتوان از کلاس 3 هستند‏، می پردازیم‏. دراین جا مینیمال بودن به این معنی است که هر بخش نیرومند محض آن پوچتوان از کلاس حداکثر دو باشد. سپس نشان می دهیم که برای هر3-گروه نیرومند g با کلاس پوچتوانی 3، که این رابطه برای تقسیم مثال های نقض مینیمال در دو حالت زیر مورد استفاده قرار می¬گیرند. (i) مثال¬های مینیمال g که ، (ii) مثال های مینیمال g که . که‎‎‎‎ این جا فقط به بررسی مثال های مینیمال نوع (i) می پردازیم.

فرض کنیم l یک جبر لی و f یک جبرلی آزاد باایده آل r باشد. دراین صورت ضربگرc-پوچ توان از l برای 1? c به صورت زیراست (m (c)(l)=(r?? c+1(f))/ ? c+1(r,f). در این پایان نامه قصد داریم بابررسی بعد ضربگر c-پوچ توان کران هایی برای ضربگر c-پوچ توان جبرلی ازبعد متناهی بدست آوریم. سپس به مقایسه بعد در کران های بالای ضربگر c-پوچ توان بپردازیم.

فرض کنیم n عدد صحیح مثبت، p عددی اول و عدد صحیحی باشد که . در این پایان نامه، ابتدا نشان می دهیم که هر p-گروه موضعاً متناهی که در شرط اِنگل صدق می کند، پوچتوان از کلاس n-کراندار- به واسطه – نمای متناهی است. سپس به بررسی گروه های 4-اِنگل می پردازیم و نشان می دهیم هر 3-گروه 4-اِنگل، حل پذیر بوده و طول مشتق با ثابتی کراندار است.

در این پایان نامه گروه های n- جایگشت پذیر(? گروه ها-p?_n)، گروه های n- بازنویسی پذیر(? گروه ها-q?_n) و همچنین گروه جبرهایی که در همانی چند جمله ای از درجه ی nصدق می کنند(? گروه ها-pi?_n ) را معرفی می کنیم و نشان می دهیم اگر g، یک ? گروه -q?_n باشد آنگاه g دارای یک زیرگروه مشخصه ی n است، به طوری که |g:n| و |n^ | هردو متناهی و توسط تابعی از n کراندار می باشند. این درواقع تعمیم قضیه بلایث می باشد که نشان داد اگر g، یک ? گروه -q?_nو f=fc(g)مرکز مزدوج متناهی گروه g باشد، آنگاه |g:f| و|f^ | هردو متناهی و |g:f| توسط تابعی از n کراندار است و نشان می دهیم که هر ? گروه -pi?_n یک ? گروه -p?_n است.

هفتاد سال پیش ریاضیدانی به نام هال مسأله ای مطرح کرد. " چه گروه هایی مانند g وجود دارند که برای آن ها گروه h هست بطوریکه ((g?h/(z(h ؟ " او متوجه شد که این گروه ها در طبقه بندی p-گروه ها نقش مهمّی دارند . به تبع هال وسنیور گروه هایی با این ویژگی را توانا نامیدند . اخیراً بسیاری از نتایج p-گروه های متناهی قابل توسیع به جبرهای لی پوچ توان شده است . به عنوان مثال مفهوم توانایی گروه ها را می توان برای جبرهای لی نیز تعریف کرد. دراین پایان نامه قصد داریم همه جبرهای لی پوچ توان توانا از بُعد متناهی را طبقه بندی کنیم که دارای زیرجبرمشتق از بُعد یک هستند.همچنین بطورغیرمسقیم محکی برای تشخیص جبرهای لی غیرتوانا می یابیم و نشان می دهیم که به ازای هر هم رتبه دلخواه حداقل یک جبرلی توانا از آن هم رتبه وجود دارد .