در این پایان نامه ابتدا به معرفی برخی تعمیم ها از فضاهای ضرب داخلی با عناوین n- ضرب داخلی، n– ضرب داخلی تعمیم یافته، 2k– ضرب داخلی و بیان برخی از ویژگی های آنها می پردازیم. سپس به بررسی پایداری کشی- راسیاس نگاشت های حافظ ضرب داخلی در فضاهای هیلبرت و پایداری کشی- راسیاس نگاشت های حافظ n– ضرب داخلی در فضاهای n– ضرب داخلی باناخ خواهیم پرداخت و سرانجام برخی نامساویها از نوع بومبری در فضاهای ضرب داخلی را معرفی می کنیم و به تحقیق درباره گسترش این نامساوی ها در فضاهای q– ضرب داخلی می پردازیم.

در این پایان نامه ابتدا به معرفی انواع فضاهای متریک مخروطی پرداخته ایم. سپس برخی قضایای نقطه ثابت که در فضای متریک ثابت شده اند، از جمله اصل انقباض باناخ، را در فضای متریک مخروطی نرمال اثبات می کنیم. در ادامه نشان می دهیم فرض نرمال بودن برای بسیاری از این قضایا ضروری نیست. در فصل دوم، قضیه ای را ثابت می کنیم که نقطه ثابت مشترک سه درون ریختی روی فضای متریک مخروطی را بدون فرض پیوستگی آنها به دست می دهد. با استفاده از این قضیه بسیاری از قضایای نقطه ثابت در این فضا که در این پایان نامه آورده شده است را می توان نتیجه گرفت. در پایان بسیاری از قضایای فصل دوم را در فضای متریک مخروطی تعمیم یافته ثابت می کنیم. علاوه براین، برخی قضایای نقطه ثابت مشترک را برای نگاشتهای شبه انقباضی در این فضا، بیان و اثبات می کنیم.

یک *c -مدول هیلبرت روی یک *c-جبر a یک مدول چپ m همراه با یک ضرب داخلی روی a است که در مولفه ی اول خطی ودر مولفه دوم مزدوج خطی است به طوری که m با نرم تعریف شده از ضرب داخلی یک فضای باناخ است.مساله حافظ رتبه یک مساله اساسی در مطالعه مسائل حافظ خطی است. *c-مدول های هیلبرت ابتدا توسط کاپلانسکی در سال 1953 به منظور اثبات درونی بودن اشتقاق های روی *aw-جبرها به کار گرفته شد.او ضرب داخلی فضاهای هیلبرت را با مقادیری در *c-جبرهای یکدار جابجایی کلی کرد. فرض کنید h یک با بعد نامتناهی تفکیک پذیر وa یک *c-جبر جابجایی یکدار باشند a-مدول هیلبرت تانسوریh باa نقش خاصی در قضیه *c-مدول های هیلبرت بازی می کند. اگرe یک a-مدول هیلبرت شمارای کلی شده باشد بنابراین e ایزومورف با یک زیر مدول کامل تانسور hباa.ما یک رده از نگاشت های جمعی روی *c-مدول های هیلبرت را بررسی می کنیم که عملگر های الحاقی با رتبه 1 را به عملگر های دیگری از رتبه 1 تصویر می کند.a

در این پایان نامه به بررسی برخی معادلات تابعی در فضاهای ناارشمیدسی می پردازیم. در فصل اول مباحثی از فضاهای ناارشمیدسی از جمله خواص کامل کروی بودن را مطرح می کنیم. با معرفی ضرب داخلی در فصل دوم ثابت می کنیم که نرمال بودن¸ متعامد بودن را نتیجه می دهد و برای برقراری عکس این مطلب ضرب داخلی سازگار را معرفی می کنیم و نشان می دهیم که در فضاهای ضرب داخلی متناهی البعد¸ رابطه تعامد و نرمال بودن هم ارز می شود و با استفاده از این مطلب عملگر تصویر ناارشمیدسی را معرفی می کنیم. سرانجام در فصل آخر چندین تعمیم از پایداری معادلات تابعی را در فضاهای نرم دار ناارشمیدسی و ضرب داخلی ناارشمیدسی ثابت می کنیم.

در این پایان نامه به بررسی قضیه های نقاط ثابت مشترک برای نگاشت های (f,g) –نامنبسط تعمیم یافته ناجابجایی، نگاشت های سازگار و نیز رده جدیدی از خودنگاشت ها به نام خودنگاشت های cq –جابجایی پرداخته و نتایج تقریب پایا را به عنوان کاربردی از این قضیه ها بیان می کنیم. سپس رده جدیدی از نگاشت های ناجابجایی به نام زوج های عملگری باناخ را تعریف کرده و برخی قضیه های نقطه ثابت مشترک را برای این نگاشت ها بدون فرض خطی یا مستوی بودن f یا g بیان و اثبات می کنیم.

جی. هیلتون و آر. هاو در بررسی های خد بر روی جابجاگرهای عملگرهای انتگرال نشان دادند که اگر aعملگری خود الحاق و x عملگری فشرده در b(h باشند آنگاه اثر ax-xa فر است.

فرض کنیم h فضای هیلبرت و {fi} یک قاب در h باشد. آن گاه هرfعضوh را می توان به صورت یک ترکیب خطی از عناصر قاب نوشت که معکوس عملگر قاب هم در این ترکیب است.پس برای دست یافتن به چنین نمایشی بایستی عملگر معکوس را محاسبه کنیم. اما معمولاً h با بعد نامتناهی است و در نتیجه پیدا کردن عملگر معکوس کاری دشوار و حتی غیرممکن است. در این پایان نامه روشی برای تقریب عملگر معکوس قاب با استفاده از زیرمجموعه های متناهی قاب معرفی می کنیم.وسرعت تقریب را هم تخمین میزنیم در انتها نشان می دهیم که این نتایج را می توان برای دو قاب معروف گابور و موجک به کار برد.

در این پایان نامه مفهوم قاب پیوسته به عنوان تعمیمی از قاب گسسته معرفی می شود قاب های گسسته حالت خاصی از این قاب ها است انتظار داریم بعضی از نتایجی که درنظریه قاب های گسسته رخ داده است به این گونه قاب ها نیز تعمیم داده شود. هم چنین مفهوم دوگان یک قاب وتشابه دو قاب را برای قابهای پیوسته تعریف نموده و ارتباط آنها با یکدیگر را بررسی می کنیم سپس آشفتگی های مطرح شدهوخواص اتساع برای قاب گسسته را به قاب پیوسته تعمیم می دهیم هم چنین اندازه های نمایشی متناظر با یک قاب پیو سته را مورد بررسی قرار می دهیم ویک شرط لازم و کافی برای این که یک اندازه نما یشی نقطه فرین برای مجموعه تمام اندازه های نمایشی باشد را ارائه می دهیم

g-قاب ها، یک رده وسیع تر و در برگیرنده قاب های زیر فضایی، شبه قاب ها، قاب های گسسته و... هستند، در نتیجه مطالعه g-قاب ها و خواص شان ازاهمیت ویژه ای برخوردار است. معادل هایی برای g-قاب ها بیان نموده و نشان می دهیم g-قاب ها در بسیاری از خواص با قاب ها شریک هستند. همچنین مفهوم پایه های ریس و متعامد یکه را گسترش می دهیم. به هر g-قاب معمولی یک قاب نظیر می گردد که بسیاری از ویژگی های آن را متصور می سازد. به عنوان نمونه دوگان هر g-قاب با استفاده از دوگان قاب نظیرش توصیف می شود. به علاوه آشفتگی g-قاب ها مورد بحث قرار می گیرد. در انتها آشفتگی دوگان های غیر کانونی g-قاب ها را طی یک قضیه بررسی می نماییم.

در این پایان نامه ابتدا به بیان برخی مفاهیم و قضیه های اولیه می پردازیم که تعریف –c* جبرها و فون نیومن جبرها و بیان قضیه ی گلفند – نیمارک از آن جمله اند. هدف این پایان نامه بررسی مسئله ی حداقل کردن مقدار ||a-x|| برای عنصر ثابت دلخواه a از –c* جبر a و متغیر x ( روی مجموعه ی n ) است. مسئله ی حداقل مقدار ||a-x|| را در حالتهای مختلفی که مجموعه ی n از عناصر مثبت، طولپا، یکانی، طولپای جزئی و جابجاگرها و پارا نرمال ها تشکیل شده است، در نظر می گیریم. مسئله ی تقریب ||a-x|| را روی –c* جبرها و فون نیومن جبرها بررسی می کنیم.

فرض کنید g تابعی تکیه گاه فشرده باشد به طوری که انتقال های صحیح آن افرازی واحد تشکیل دهند. ثابت می کنیم به ازای پارامترهای انتقال و مدولاسیون مناسبی، تابع g مولد یک قاب گابور است و مولد دوگان غیر کانونی مانند h دارد که از ترکیبات خطی متناهی انتقال های صحیح g تشکیل شده است و ضرایب این ترکیبات خطی به طور صریح داده شده اند. در ادامه به معرفی ساختاری صریح برای زوج های مولد دوگان قاب های گابور می پردازیم و ثابت می کنیم چند جمله های دلخواهی که روی بازه های به اندازه کافی بزرگ، تحدید شده باشند، به ازای پارامتر مدولاسیون به اندازه کافی کوچک، قاب های گابور تولید می کنند. متاسفانه هیچ تابع مشابهی نمی تواند مولد دوگان چنین قاب هایی باشد اما ثابت می کنیم که مولد قاب دوگان این قاب ها یک b- اسپلاین است. در پایان برای قاب های گابور تولید شده توسط تابع تکیه گاه فشرده دلخواه g که انتقال های صحیح آن، افرازی واحد تشکیل می دهند( مانند b- اسپلاین)، رده ای از مولد قاب های دوگان معرفی می کنیم که از ترکیبات خطی انتقال های صحیح تابع g تشکیل می شوند.

قضیه ی کملوس در سال 1967 برای فضاهای l1(µ) توسط کملوس مطرح گردید و کاترجی در سال 1970 این قضیه را به فضاهای lpکه (1?p<2) تعمیم داد. لینارد در سال 1993 عکس قضیه ی کملوس را برای زیر مجموعه های محدب از ( l1(µمورد بررسی قرار داد. در سال 1996 بالدر و هس دو تعمیم از قضیه ی کملوس را بیان کردند و در سال 2010 دی و لینارد این قضیه را برای فضاهای تابعی باناخ نیز ثابت کردند. سرانجام قضیه ی کملوس در سال 2011 روی فضاهای ( l1(?تعمیم داده شد که در آن ? یک اندازه ی برداری است. در این پایان نامه قصد داریم با معرفی فضاهای تابعی باناخ و ( l1(?، قضیه ی کملوس را در این فضاها مورد بررسی قرار دهیم

q-ضرب داخلی اولین بار توسط دراگومیر در سال 1986 مورد بررسی قرار گرفت و بعد از آن وی به همراه مانتین کارهای متعدی در این زمینه انجام دادند. سپس دراگومیر و گراسمارینو موضوع 2k-ضرب داخلی را به عنوان تعمیمی از q-ضرب داخلی مطرح کردند. مسئله بهترین تقریب به دلیل کاربردهایی در بهینه سازی تاریخچه طولانی دارد، همچنین مفاهیم و تکنیک های مفیدی را در آنالیز تابعی ارتقاء می دهد. فضای اصلی کار برای مسئله تقریب فضاهای باناخ و هیلبرت بوده است زیرا هندسه این فضاها به گونه ای است که می توان در آن به وسیله تعامد بیرخوف و یا تعامد ضرب داخلی نتایج مفیدی از وجود و یکتایی اعضای بهترین تقریب به دست آورد. دراگومیر، چو و نارانگ توصیف های جالبی از مسئله بهترین تقریب برای تابعک های خطی پیوسته بر حسب مشتق نرم در فضاهای معمولی ارائه داده اند. در این پایان نامه، مفهوم فضای 2k-نرمدار تعریف شده و برخی خواص آن از جمله به طور یکنواخت محدب بودن، مشتق پذیری گتئوکس و سرشت نمایی از نمایش تابعک های خطی پیوسته روی فضای 2k-ضرب داخلی در حدود بهترین تقریب ها و تعامد ارائه شده است.

نظریه ی مدولارها روی فضاهای خطی در سال 1950 به وسیله ی ناکانو ارائه شد سپس در سال 1959 توسط یامومورو توسعه داده شد. به علاوه توسعه ی کاملی از این نظریه ها توسط ارلیخ و لوگزامبورگ انجام شد. در سال 2008 چیستیاکوف نظریه ای از فضاهای متریک مدولار ارائه داد. در حال حاضر نظریه مدولارها کاربرد گسترده به ویژه در مطالعه ی فضاهای ارلیخ دارد. این پایان نامه مشتمل بر سه فصل است. در فصل اول مفاهیم و قضایای مقدماتی مطرح می گردد. بخش اول را با مقدماتی از فضای مدولار آغاز می کنیم و در بخش دوم با استفاده از یک f-عمل فضاهای f-مدولار را تعریف می کنیم و به بیان خواص آن ها می پردازیم. در بخش اول از فصل دوم این پایان نامه به معرفی متریک مدولارها و مفاهیم مربوط به آن می پردازیم و سپس نیم گروه متریک را تعریف کرده و خواص آن را بیان می کنیم. در انتهای این فصل به معرفی متریک مدولارهای محدب و خواص آن ها می پردازیم. بخش اول از فصل انتهایی این پایان نامه به f-عمل های روی +r اختصاص دارد و سپس با استفادهاز آن f-مدولارهای متریک را تعریف می کنیم. در بخش سوم قضایای متریک پذیری را به تفصیل مورد بررسی قرار می دهیم و در بخش انتهایی از این فصل f-مدولارهای متریک f-محدب را بیان می کنیم

در این پایان نامه ابتدا به معرفی فضای متریک ابرمحدب و بررسی برخی از خواص آن وارتباط این فضا با فضاهای به طور متری محدب و فضای انژکتیو پرداخته ایم. سپس مفهوم پوش ابرمحدبی را معرفی و نشان می دهیم هر فضای متریک یک پوش ابرمحدب دارد. در فصل دوم، ثابت کردیم قضیه ی نقطه ثابت برای نگاشت های غیر انبساطی در فضای متریک ابرمحدب برقرار است. و همچنین نشان دادیم که مجموعه نقاط ثابت هر نگاشت غیر انبساطی روی فضای متریک ابرمحدب، ناتهی و ابرمحدب است. در پایان، قضیه انتخاب در فضای متریک ابرمحدب را بیان نمودیم که با استفاده از این قضیه بسیاری از قضایای نقطه ثابت در این فضا که در این پایان نامه آورده شده است را می توان نتیجه گرفت.

از جمله مباحثی که در اثبات بسیاری از قضایای ریاضی مورد استفاده قرار می گیرد، مبحث نقطه ثابت است.تئوری فضای مدولار توسط ناکانو در سال 1950 مطرح گردید سپس موزیلاک-ارلیخ در 1959 آن را تعمیم و گسترش دادند. ریاضیدانی چون سریچ، بویدووانگ، کیرک و ... قضیه نقطه ثابت را برای نگاشت های شبه انقباضی، انقباض غیرخطی، انقباض مجانبی و... در فضای متریک بیان و اثبات نمودند. جونگ نگاشت های سازگار و نقطه ثابت مشترک برای آنها و برانسیری نقطه ثابت را برای یک نگاشت همانند اصل انقباض باناخ برای نامساوی از نوع انتگرال مطرح و بیان نمودند. ویجایاراجو وجود و یکتایی نقطه ثابت مشترک برای زوج نگاشت های انقباضی از نوع انتگرال؛ رازانی و مرادی قضیه نقطه ثابت مشترک از نوع انتگرال را در فضای مدولار بیان نمودند. در سال 2010 چستیاکف فضای متریک مدولار را معرفی نمود. وجود نقطه ثابت تاکنون برای بسیاری از نگاشت ها بررسی شده است، در این پایان نامه به بررسی نقطه ثابت و نقطه ثابت مشترک برای نگاشت های انقباضی در فضاهای مدولار، تابع مدولار و متریک مدولار می پردازیم که مشتمل بر چهار فصل است. در فصل اول، تعاریف و قضایای مقدماتی که در فصول دیگر به آن ها نیازمندیم، پرداخته می شود و در سه بخش تنظیم گردیده است. بخش اول، فضای مدولار و تعاریفی چون همگرایی، کرانداری و...، در بخش دوم و سوم، مفاهیم بخش قبل در فضضاهای تابع مدولار و متریک مدولار معرفی می شود. در فصل دوم به بیان و اثبات قضایای نقطه ثابت برای نگاشت های شبه انقباضی، انقباض غیرخطی، انقباض مجانبی و نقطه ثابت مشترک برای نگاشت سازگار انقباضی و انقباض تعمیم یافته ضعیف از نوع انتگرال پرداخته می شود. در فصل سوم قضیه نقطه ثابت برای نگاشت های انقباض مجانبی و انقباض نقطه ای مجانبی در فضاهای تابع مدولار مطرح و اثبات می گردد. در فصل چهارم قضایای نقطه ثابت و نقطه ثابت مشترک برای نگاشت های انقباض مجانبی و انقباضی از نوع انتگرال در فضاهای متریک مدولار بیان و اثبات می گردد.

در سال ‎1940‎ ،اولام ‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ سوالی درباره نگاشت های تقریبی مطرح کرد به این مضمون که ((تحت چه شرایطی یک همریختی تقریبی به یک همریختی نزدیک می شود؟(( در سال ‎1941‎ ،هایرز‎‎جوابی مثبت به سوال اولام درفضاهای باناخ ارائه داد در واقع ثابت کرد اگر ‎ ‎??0 و f:x?y‎ نگاشتی از فضای نرم دار ‎ x ‎ به فضای باناخ ‎ y باشد به طوری که ‎‎ ?f(x+y)-f(x)-f(y)??? (x,y?x) (1) آن گاه نگاشت جمعی منحصر به فرد t:x?y ‎ وجود دارد به طوری که ‎?f(x)-t(x)??? (x?x) این پدیده، پایدار‎ی‎هایرز-اولام معادله تابعی جمعی‎ ‎ g(x+y)=g(x)+g(y) ‎ نامیده می شود. تعمیمی از قضیه اولام را برای نگاشت های تقریبا جمعی توسط راسیاس‎ در سال ‎1978‎ با جایگزین کردن نامساوی بالا به صورت‎‎ ‎‎‎ ?f(x+y)-f(x)-f(y)???(?x?^p+?y?^p) (x,y?x) (1) اثبات نمود. این نوع پایداری معادله تابعی جمعی ‎ g(x+y)=g(x)+g(y) ‎ پایداری هایرز-اولام-راسیاس نامیده می شود. پس از آن تعمیم های دیگری از پایداری توسط ریاضیدانان ارائه شد. در سال ‎1949‎، بورگین‎ ابر پایداری‎ همریختی های حلقه را ثابت کرد. جون ‎‎‎‎‎ و کیم‎‎ در سال ‎2002‎ معادله تابعی‎‎ ‎‎‎ f(2x+y)+f(3x-y)=2f(x+y)+3f(x-y)=12f(x) را معرفی و حل کردند و پایداری هایرز - اولام- راسیاس را برای این معادله تابعی اثبات نمودند. یک جواب معادله فوق، معادله مکعبی ‎ f(x)=x^3 ‎ است. به این دلیل معادله تابعی فوق، معادله تابعی مکعبی نامیده می شود و هر جواب از این معادله را یک تابع مکعبی گویند. جون و کیم ثابت کردند تابعی مانند ‎ f ‎ بین دو فضای برداری‎ x ‎ و ‎ y ‎ جوابی از معادله تابعی مکعبی است اگر و فقط اگر تابع منحصر به فرد‎ c:x×x×x?y ‎ وجود داشته باشد به طوری که ‎ f(x)=c(x,x,x) (x ?x) و ‎ c ‎ با ثابت گرفتن یک متغیر، تقارنی است و با ثابت گرفتن دو متغیر جمعی خواهد بود. ‎‎ گونه ی دیگر پایداری‏، پایداری راسیاس-ایساک است که اگرe_1 ‎یک فضای برداری نرم دار و e_2‎ یک فضای باناخ حقیقی ‎ باناخ حقیقی باشد و f:e_1?e_2یک نگاشت باشد به طوری که ‎ ‎f(tx)‎ در ‎ ‎t‎ برای هر ‎ ‎x‎ ‎ ثابت پیوسته باشد و همچنین اگر ‎ ‎f‎ یک نگاشت جمعی باشد که در شرایط زیر صدق کند ‎‎ ‎‎‎?(ts)??(t)?(s) (t,s ?r^+) ?(t)<t (t>1) در این صورت یک نگاشت خطی یکتای ‎ t:e_1?e_2 وجود دارد به طوری که ‎‎ ‎‎?f(x)-t(x)??(2??(?x?))/(2-?(2)) ‎که به نگاشت f:e_1?e_2 ‎نگاشت ?‎جمعی گفته می شود اگر و فقط اگر??0 ‎و?:r^+?r ‎ وجود داشته باشد به طوری که ‎lim?(t??)??(?(t))/t=0? ‎ و ‎‎ ?f(x+y)-f(x)-f(y)???(?x?+?y?) (x,y?e_1 ) در سال ‎2006‎ ، بادورا‎‎ ‎‎پایداری هایرز-اولام ، پایداری راسیاس-ایساک ‎‎ و پایداری هایرز-اولام-راسیاس و ابر پایداری بورگین اشتقاق ‎‎حلقه را روی جبر های باناخ ثابت کردند . میورا‎‎ ثابت کرد اگرa ‎‎ یک جبر باناخ بدون رتبه باشد و f:a?a ‎نگاشتی باشد که برای مقادیر ??0 ‎وp?0 که p?0‎در شرایط زیر صدق کند ‎‎‎ ?f(x+y)-f(x)-f(y)???(?x?^p+?y?^p) (x,y?a) ?f(xy)-xf(y)-f(x)y???(?x?^p+?y?^p) (x,y?a) آن گاه ‎ ‎f‎ یک اشتقاق حلقه است.‎‎‎ هم چنین در سال ‎2007‎ ، پارک‎ ‎‎ و مصلحیان‎ مساله پایداری همریختی های سه تایی و اشتقاق های سه تایی را بیان و اثبات کردند. در این رساله وجود یک فوق اشتقاق سه تایی نزدیک به یک فوق اشتقاق سه تایی تقریبی را با در نظر گرفتن پایداری هایرز-اولام-راسیاس برای فوق اشتقاق های سه تایی در جبرهای باناخ سه تایی ثابت می کنیم. هم چنین پایداری و ابر پایداری اشتقاق مکعبی سه تایی روی جبرهای فرشه سه تایی را مطالعه می کنیم. عملگر های جبر سه تایی‎ در قرن ‎19‎ میلادی توسط چند ریاضیدان مورد توجه قرار گرفت. ابتدا کیلی‎ ‎‎در سال ‎1840‎ مفهوم ماتریس های مکعبی و تعمیمی از دترمینان به نام ابردترمینان‎ را مطرح نمود که در ‎1990‎ توسط کاپرانو‎ ‎ ‎‎ ،گلفند‎ ، زلوینسکی‎ ‎ مجددا بررسی و تعمیم داده شد. دستگاه های جبری سه تایی کاربردهایی در فیزیک، آمار، نظریه های فوق تقارنی و ... دارد‎.‎ این رساله در سه فصل تنظیم شده است. در فصل اول به بیان مفاهیم و قضایای مورد نیاز در فصل های بعد خواهیم پرداخت که به طور عمده از کتاب های ‎ ‎ ‎‎‎gerad‎. ‎j‎. ‎murphy‎‎ ,c^*algebra and operator ‎theory,‎ academic ‎press‎‎,‎‎‎ ‎199‎0.‎ و ‎ ‎w. ‎rudin,‎ functional ‎analysis,‎‎‎ mcgraw-hill, ‎‎‎‎197‎3.‎ استفاده شده است. فصل دوم برگرفته شده از مقاله های ‎ ‎k‎ ‎-h.‎ ‎park and y‎. ‎-s.‎ ‎jung‎, ‎perturbations of higher ternary derivations on banach ternary ‎algebra‎‎, ‎common‎. ‎k‎orean math‎. ‎soc‎. ‎23‎(3)‎ (2008)‎, ‎387-399‎. و‎ ‎b‎. ‎hayati‎,m. eshaghi gordji, ‎m‎. ‎bavand savadkouhi and m‎. ‎bidkham‎,‎stability of ternary cubic ‎derivation ‎on ternary ferchet algebras‎}‎‎, ‎australian ‎j‎ournal of ‎b‎asic and ‎a‎pplied ‎s‎ciences‎, ‎5(5) (2011)‎,‎ 1224-1235‎ . است در آن به آشفتگی فوق اشتقاق های سه تایی در جبرهای باناخ سه تایی و پایداری اشتقاق های مکعبی را در جبرهای فرشه سه تایی بررسی و مطالعه می کنیم. سپس در فصل سوم این نتایج را در مورد اشتقاق ها و فوق اشتقاق های مکعبی روی جبر های نرم دار چندگانه تعمیم می دهیم‏، ‎‎بخش سوم این فصل از مقاله ‏‎t. ‎l. ‎shateri ‎and ‎f. ‎fatemi ‎niya, ‎‎ stability of ternary cubic higher derivations in ternary multi-normed ‎algebras‎‎‎, ‎submitted.‎ برگرفته شده است.

معادلات تابعی معادلاتی هستند که مجهول در آن ها به شکل تابع است. مشهورترین معادلات تابعی معادله تابعی کشی یعنی f(x+y)=f(x)+f(y) است که یکی از توابع صادق در این معادله f(x)=x است. هم چنین معادله تابعی مربعی f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y) که یکی از جواب های آن تابع مربعی f(x)=x^2 است. سوال مهمی که در این جا مطرح است این است که، اگر تابعی تقریبا در یک معادله تابعی صدق کند، آیا به یک جواب آن معادله تابعی نزدیک است؟ مثبت بودن پاسخ این سوال به معنی پایدار بودن معادله تابعی است. این سوال را اولین بار اولام در [18] به این صورت مطرح کرد که، تحت چه شرایطی یک همریختی نزدیک به یک همریختی تقریبی وجود دارد؟ در اواخر سال1941 هایرز در [8] جوابی مثبت به سوال اولام برای فضاهای باناخ ارائه داد، به این ترتیب که اگر f:x?y و?>0 یک نگاشت بین فضای نرم دار x و فضای باناخ y باشد به طوری که: ?f(x+y)-f(x)-f(y) ??? (x,y?x) آن گاه یک نگاشت جمعی منحصربفرد t:x?y موجود است به طوری که: ?f(x)-t(x) ??? (x?x) به علاوه اگر f(tx) در "t?r" برای هر ثابت x?x پیوسته باشد، آن گاه t خطی حقیقی است. این پدیده پایداری، پایداری اولام-هایرز معادله کشی جمعی f(x+y)=f(x)+f(y) نامیده می شود. تعمیمی از قضیه هایرز برای تقریب زدن نگاشت های جمعی به وسیله آوکی در [1] ارائه شد و نیز برای نگاشت های تقریبا خطی توسط راسیاس در [14] مطرح شد. هم چنین اگر 0?p<1 موجود باشد به طوری که ?f(x+y)-f(x)-f(y) ???(?x?^p+?y?^p ) (x,y?x) آن گاه یک نگاشت جمعی منحصربفرد t:x?y چنان موجود است به طوری که ?f(x)-t(x) ??(2? )/|2-2^p | ?x?^p (x?x) این پدیده پایداری، پایداری هایرز-اولام-راسیاس معادله کشی جمعی f(x+y)=f(x)+f(y) نامیده می شود. از طرفی اگر a,b جبرهای باناخ باشند و b دارای یکه و f:a?b یک نگاشت پوشا باشد به طوری که ?f(a+b)-f(a)-f(b) ???, ?f(ab)-f(a)f(b) ??? (a,b?a) برای ??0 و ??0 ، آن گاه f یک همریختی حلقه است یعنی f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b). این پدیده ابرپایداری بورگین، [3] نامیده می شود. واتانابه و میورا در [10]، پایداری هایرز-اولام-راسیاس و ابرپایداری بورگین اشتقاق ها را روی جبرهای باناخ ثابت کردند. نتایج دیگری از پایداری اشتقاق ها توسط مصلحیان در [11] و پارک نیز در [13] مطرح و ثابت شد. ابرپایداری فوق اشتقاق ها و فوق اشتقاق های تعمیم یافته نیز توسط مصلحیان در [12] و لعل شاطری در [16] بررسی شده است. هدف اصلی در این رساله بررسی ابرپایداری اشتقاق های چپ تعمیم یافته(به طور مشابه، اشتقاق های تعمیم یافته) روی جبرهای باناخ متناظر با معادله تابعی نوع ینسن f((x+y)/k)=(f(x))/k+(f(y))/k است که k>1 یک عدد صحیح است. هم چنین، احکامی برای بردهای اشتقاق های چپ(به طور مشابه، اشتقاق ها) روی جبرهای باناخ را ثابت خواهیم کرد. سپس ابرپایداری فوق اشتقاق های چپ روی جبرهای نرم دار چندگانه را مطالعه می کنیم. این رساله در سه فصل تنظیم شده است. در فصل اول به بیان تعاریف و مقدمات می پردازیم، که در فصل های بعد مورد نیاز است. فصل دوم مشتمل بر دو بخش است که بخش اول برگرفته از مقاله s. y. kang, and i. s. chang, approximate of generalized left derivations, abst. appl. anal. وبخش دوم برگرفته از مقاله h. x. cao, j. ronglv, and j. m. rassias, superstability for generalized module left derivations and generalized module derivations on a banach module, j. ineq. p. appl. math. v. 10(2009), issue 2, article 85. است. در فصل سوم با تعریف فوق اشتقاق های چپ مدولی تعمیم یافته تقریبی به بیان ابرپایداری آن ها روی فضاهای نرم دار چندگانه می پردازیم. این فصل برگرفته از مقاله t. l. shateri, and z.afshari, superstability of generalized module left higher derivations on a multi-banach module, submitted. است.

در این پایان نامه،ابتدا نتایج پایداری را در گروه های متریک اثبات می کنیم سپس به بررسی نتایج سایه زدن برای نگاشت های غیر پوشا می پردازیم یعنی پایداری معادلات تابعی کوشی در مواردی که فضای هدف دارای مضرب 2 است باید یک به یک باشد. در نهایت با به کار گیری قضیه نقطه ثابت پایداری معادلات تابعی در فضاهای متریک و فرا متریک را مطالعه می کنیم.

در دهه های اخیر پایداری معادلات تابعی توسط ریاضیدانان زیادی بررسی شده است. در این پایان نامه به بررسی مفهوم پایداری متعامد معادلات تابعی می پردازیم. ابتداپایداری متعامد معادلات تابع جمعی را بررسی می کنیم سپس پایداری متعامد معادلات تابعی درجه دوم کوشی درجه سه ودرجه چهار را مطالعه خواهیم کرد همچنین بااستفاده ازقضیه ی نقطه ثابت پایداری معادلات تابعی را بررسی می کنیم.

هر گروه توپولوژیک موضعا فشرده یک اندازه پایای چپ دارد که آن را اندازه هار می نامیم. فضای lp متناظر با این اندازه را در نظر می گیریم. روی این فضا عملی به نام پیچش تعریف می کنیم. حدس lp بیان می کند که فضای lp تحت عمل ئیچش بسته است اگر و تنها اگر گروه توپولوژیک مورد نظر فشرده باشد.

کلارکسون نشان داد که اگر 1?p<? و q= p/(p-1) ، آنگاه برای هر v, uدر l_p داریم: الف) اگر 1?p?2 1 ) ?(u+v)/2 ?_p^q+?(u-v)/2 ?_p^q?( ?1/2 ?u?_p^p+1/2 ?v?_p^p)?^?(q/p) 2 ) ?(u+v)/2 ?_p^p+?(u-v)/2 ?_p^p?1/2(?u?_p^p+?v?_p^p) ب) برای 2?p?? عکس نامساوی های فوق برقرارند. فرض کنید b,a دو عملگر از یک فضای هیلبرت باشند، برای p- نرمهای شتن ، مک کارتی نشان داد نامساوی های کلارکسون به صورت زیر برقرارند : الف)اگر 2?p?? 2(?a?_p^p+?b?_p^p)??a+b?_p^p+?a-b?_p^p?2^(p-1) (?a?_p^p+?b?_p^p) ب)برای 1?p?2عکس نامساوی های فوق برقرارند. در این پایان نامه به بررسی نامساوی های کلارکسون ناجابه جایی برای نرم های پایای یکانی می پردازیم. این نامساوی ها کاربرد زیادی در نظریه عملگرها و ریاضی فیزیک دارند.

در این پایان نامه نگاشت های خطی حافظ ?- شبه طیف و ?- طیف شرطی بین جبرهای باناخ یکدار رامورد مطالعه قرار می دهیم. یکی از نتایج جالبی که به آن می رسیم حافظ طیف بودن نگاشت های حافظ ?- شبه طیف است که در بسیاری از حالات این نگاشت یک یکریختی یکمتر می شود. ابتدا نگاشت های ?-شبه طیف، ?- طیف شرطی، ?- تقریبا ضربی را تعریف می کنیم سپس روابط بین شبه طیف و طیف شرطی یک عضو از جبر باناخ مختلط یکدار را بررسی کرده و قضیه ای مشابه با قضیه زلاسکو را برای ?- شبه طیف ثابت می کنیم. در نهایت ?- آشفتگی یک جبر باناخ یکدار را مطالعه و خواص و روابطی را بین طیف، شبه طیف و طیف شرطی یک عنصر و آشفتگی آن را به دست می آوریم

در این پایان نامه‏، قضیه نقطه ثابت مشترک برای نگاشت های خود ریختی با نوعی انقباض جدید روی فضای متریک مخروطی اثبات شده است. هم چنین مثال هائی آورده شده که نشان می دهد این اثبات‏، تعمیمی از اثبات برانکیاری و هانگ و ژانگ ‎‎‎‎، درباره نقطه ثابت مشترک است. ابتدا برخی از مفاهیم و تعاریف توپولوژی روی فضای متریک مخروطی تعمیم و ثابت می کنیم که هر فضای متریک مخروطی‏، فضای توپولوژیک شمارای اول است و زیرمجموعه های فشرده دنباله ای‏، فشرده هستند. هم چنین نگاشت های انقباض قطری و نگاشت های انقباض قطری مجانبی را‏، روی فضاهای متریک مخروطی تعریف می کنیم و قضیه نقطه ثابت را با فرض این که مخروط ما قویاً شبکه است برای این گونه انقباض ها به دست می آوریم.

فرض کنید که {gn ;n??} یک مجموعه مولد از توابع وb>0 باشند. خواص قاب را برای سیستمی از توابع داده شده به صورت مدولاسیون این دنباله از توابع یعنی{embgn ; m,n??} در نظر گرفته و شرایطی را می یابیم که این سیستم یک قاب با دوگان هایی به فرم{embhn ; m,n??} است کهhn با یک فرمول صریح داده شده است. همچنین نتایج در مواردی به کار می روند کهgn ها یک b-اسپلاین باشند. به علاوه نشان داده می شود در یک فضای هیلبرت دنباله های بسل به یک جفت قاب دوگان گسترش می یابند. این روش در مقایسه با توسیع دنباله های بسل به قاب های چسبان سروکاری با محاسبه ی ریشه ی مجذور عملگرها ندارد. در ادامه مثال های ساده ای بیان میشود که نشان می دهد توسیع یک جفت قاب دوگان از نظر محاسباتی کارآمدتر از توسیع قاب چسبان است. همچنین دنباله های بسلی را در نظر گرفته می شود که شاختار گابور دارند و ثابت می شود این دنباله های بسل گابور به یک جفت قاب دوگان گابور گسترش می یابند و اگر مولدهای دنباله های بسل گابور دارای تکیه گاه فشرده باشند مولدهای قاب های دوگان نیز می توانند با تکیه گاه فشرده انتخاب شوند.

در این پایان نامه به بیان برخی مفاهیم مانند جبر، جبر باناخ و تعاریفی چون طیف ، شعاع طیفی ، جبر تابعی باناخ ، مرز سیلو ، مرز چاکوئت ، یرد و طیف پیرامونی می پردازیم. هدف این پایان نامه بررسی توان هایی از نگاشت های پوشای t ,t^:a ?b است که به ازای هر f ,g ?a در رابطه ?f^s g^t- ?? = ??(tf)?^s ?(t^ g)?^t- ?? صدق می کنند. نتیجه ای مشابه نیز در حالتی که t=t^ بین زیر مجموعه های خاص a , b تعریف می شود به دست می آوریم .

در این پایان نامه نامساوی های هنر را در فضای حقیقی و مختلط بیان می کنیم