در این پایان نامه، بنا داریم که به دو بحث در رابطه با ناهمگنی ها در سیستم های ابررسانا بپردازیم. یکی از این مباحث عبارت است از محاسبه ی حالت های مقید اندریف در پیوندهای ابررسانا و فلزنرمال. حل معادله ی میدان میانگین بوگولیوبوف–دوژن برای سیستم های ناهمگن ابررسانا، وجود حالت هایی مقید و کوانتیزه ‎–‎حالت های مقید اندریف- با انرژی های کمتر از انرژی گاف ابررسانایی، را به دست می دهد. حل تحلیلی این معادله برای یک بعد و همچنین برای هندسه های ساده در دو و سه بعد، امکان پذیر است، اما برای هندسه های پیچیده روش های عددی مورد نیاز است. در این پایان نامه روش عددی جدیدی، ‎ kpm، برای حل این معادله ارائه شده است. این روش مبتنی بر بسط کمیت های فیزیکی، از جمله چگالی حالات الکترونی، بر حسب مجموعه ی چندجمله ای های کامل چبیشف است. در فصل ‎2‎ معادله ی بوگولیوبوف–دوژن را، برای چند پیوند ابررسانا-فلزنرمال، با استفاده از این روش عددی، حل کرده ایم. در این جا، برای جدا کردن حالت های مقید به دست آمده از حالت های غیرمقید، از معیار چگالی حالات الکترونی موضعی استفاده شده است؛ بدین معنی که چگالی حالات موضعی، برای حالات مقید، در ناحیه ی فلزنرمال مقادیر غیرصفر دارد و برای نواحی ابررسانا به سرعت به صفر میل می کند‎. ‎‎ مبحث دیگر ارائه شده در این پایان نامه، محاسبه ی ابرجریان در پیوندهای جوزفسون بر پایه ی گرافین، است. اخیراً، این کمیت با استفاده از روش های مختلفی از جمله ماتریس پراکندگی، روش خودسازگار و انتشارگر زوج کوپر، محاسبه شده است، اما در این جا قصد داریم که آن را با استفاده از روش اختلالی تابع گرین در چارچوب انتگرال مسیر و با استفاده از هامیلتونی تونل زنی بین ناحیه ی ابرسانا و ناحیه ی نرمال گرافین، محاسبه کنیم. ویژگی اصلی کار ما در این جا در این است که ما در ناحیه ی ابررسانا هم، سیستم را گرافین در نظر گرفته ایم. یعنی فرض کرده ایم که ابررسانایی بر روی شبکه ی لانه زنبوری گرافین، به صورت جفت شدگی الکترون های موجود در دره های مقابل، القا می شود. نشان داده می شود که پایین ترین مرتبه ی اختلال ، بر حسب دامنه ی تونل زنی، که در جریان جوزفسون شرکت می کند، مرتبه ی چهارم اختلال است. هامیلتونی تونل زنی را، شامل تونل زنی الکترون های درون یک دره و تونل زنی بین دره های مقابل، فرض کرده ایم. محاسبات ابرجریان جوزفسون، در دو حالت با تونل زنی بین دره ها و بدون تونل زنی بین درها، انجام شده و نتایج آن نشان داده شده است. درنتایج ابرجریانی که درمحاسبه ی آن تونل زنی الکترون ها بین دره های مقابل لحاظ شده است، بر حسب پهنای پیوند جوزفسون که در واقع همان فاصله ی ابرساناها از هم می باشد، نوسانات تیزی دیده می شود که طول موج این نوسانات متناسب با عکس بردار موجی است که دو دره را در ناحیه ی اول بریلوئنِ گرافین به هم متصل می کند. این نوسانات در نتایج محاسبات با روش های دیگر، مشاهده نشده است. اما خواهیم دید که نتایج محاسباتی که در آن تونل زنی بین دره ها وجود ندارد، با نتایج محاسبات دیگران تطابق خوبی دارد. ‎