در این پایان نامه ویژگی های باناخ مدول تصویری و انژکتیو و هموار بررسی می شود. ساختار باناخ مدول هموار بررسی شده و در حالت خاص نشان داده می شود که اگر باناخ مدول هموار دارای خاصیت تقریب باشد آنگاه آزاد تقریبی است. خواص باناخ مدول آزاد تقریبی و تصویری تقریبی مورد مطالعه قرار می گیرد. مدول های تصویری تقریبی در بررسی ویژگی های جبر های باناخ دوهموار و میانگین پذیر استفاده می شود.

هدف ازانجام این پژوهش، بررسی تأثیرتمرینات فرانکل بر تعادل، حس عمقی زانو و سرعت راه رفتن زنان سالمندان بود. تعداد 30 نفراز زنان سالمند شهر مشهد با دامنه سنی60 تا 70سال انتخاب و به طور تصادفی و مساوی به گروه تجربی وکنترل تقسیم شدند.گروه تجربی،به مدت 15جلسه، هرجلسه 30 دقیقه و با تکرار 5 روز درهفته تمرینات فرانکل را انجام دادند.تغییرات در تعادل ایستا ،تعادل پویا، حس عمقی زانو و سرعت راه رفتن آزمودنی ها، قبل و بعد از دوره تمرین، به ترتیب بوسیله تست های sharpend romberg، timed up &go، دستگاه ایزوکنتیک و تست سرعت راه رفتن سنجیده شد. نتایج نشان دادند که می توان از تمرینات فرانکل جهت بهبود تعادل، حس عمقی زانو و سرعت راه رفتن زنان سالمند استفاده کرد.