یکی از مباحث مهم که در معادلات دیفرانسیل مورد توجه قرار می گیرد، معادله دیفرانسیل مرتبه دوم می باشد زیرا بیشتر معادلات بدست آمده در علوم مختلف، بصورت معادله مرتبه دوم و یا تقریب بهتر آنها بصورت معادله مرتبه دوم است. عمده ترین معادله مرتبه دوم، معادله اشتورم-لیوویل است که در علوم مختلف به کار می رود. در معادله اشتورم-لیوویل محاسبه مقادیر ویژه و توابع ویژه در حالت های مختلف یکی از مهمترین مباحث است. یکی از مسائلی که در معادلات اشتورم-لیوویل مورد بررسی قرار می گیرد مساله عکس می باشد. در این مساله مطرح است که اگر ما چند طیف از یک مساله اشتورم-لیوویل را معلوم فرض کنیم، آیا در این صورت می توان تابع پتانسیل منحصربفردی بدست آورد؟ در پایان نامه حاضر، پاسخی به این سوال در دو حالت کلی مساله اشتورم-لیوویل کلاسیک و مساله اشتورم-لیوویل با شرایط ناپیوستگی در درون یک بازه متناهی، تحت شرایطی که در فصول ‎2و3‎ می آید مورد بررسی قرار می گیرد. مسائل مقدار مرزی با ناپیوستگی در درون یک بازه اغلب در ریاضیات، مکانیک، فیزیک، ژئوفیزیک و شاخه های دیگری از علوم طبیعی ظاهر می شوند. نقش چنین مسائلی به خواص گسستگی مواد بستگی دارد. مسائل مقدار مرزی با ناپیوستگی در یک نقطه درونی همچنین در مدل های ژئوفیزیک برای نوساناتی از زمین ظاهر می شوند که در مرجع ‎[24]‎ بررسی شده است. مسائل عکس در نظر گرفته شده در اینجا، برای بررسی ویژگی های طیفی از عملگرهای دیفرانسیل پذیر، انتگرال دیفرانسیل پذیر و انتگرال ظاهر می شوند. مسائل طیفی عکس و مستقیم برای عملگرهای دیفرانسیل پذیر بدون ناپیوستگی در مرجع ‎[24]‎ مطالعه شده است. همچنین برخی از جنبه های مسائل عکس و مستقیم برای مسائل مقدار مرزی ناپیوسته در فرمول های متنوع در مرجع ‎[24]‎ مورد مطالعه قرار گرفته شده است. این پایان نامه در سه فصل تنظیم شده است به طوری که فصل اول شامل تعاریف و قضایای مقدماتی است که در فصل دوم و سوم از آنها استفاده می شود. منبع اصلی فصل دوم مرجع ‎[24]‎ است و فصل سوم که گسترش فصل دوم است بر اساس مرجع ‎[2]‎ تنظیم شده است.