پتانسیل مورس یک بعدی، اولین بار به عنوان یک مدل موثر برای مولکول های دو اتمی در سال 1929 توسط فیلیپ مورس معرفی شد. پس از معرفی آن، نوسانگر مورس برای مسائل گوناگون در شاخه های مختلف فیزیک و شیمی مانند سیستم های مولکولی دو اتمی و چند اتمی، شیمی کوانتوم، طیف سنجی، زنجیره های شیمیایی مورد استفاده قرار گرفته است. به عبارت دیگر، پس از اینکه گلوبر، کلاودر و پرلوموف حالات همدوس نوسانگر هارمونیک یک بعدی را مورد مطالعه قرار دادند و کاربردهای مختلف آن ها را در فیزیک توصیف نمودند، مطالعه حالات همدوس برای پتانسیل های دیگری از جمله مورس مورد توجه قرار گرفت. سه رهیافت برای ساخت حالات همدوس برای نوسانگر ساده یک بعدی معرفی شده اند که عبارتند از: 1- زمانی که حالات، اصل عدم قطعیت را کمینه می کنند. (رهیافت شرودینگر) 2- مانند حالت های که عملگر پایین آورنده را قطری می کنند. (رهیافت باروت – گیراردو) 3- مانند حالت هایی که از اثر عملگر جابجایی بر روی حالت کران (پایین ترین حالت یا بالاترین حالت) بدست می آیند. (رهیافت کلاودر – پرلوموف) که همه این رهیافت ها در مورد پتانسیل نوسانگر ساده به حالات همدوس یکسانی می انجامد. برای پتانسیل های دیگر این موضوع صادق نبوده و این سه رهیافت به حالات همدوس متفاوتی می انجامد. با استفاده از رهیافت های بالا سعی شده است که حالات همدوس مختلفی برای پتانسیل مورس نوشته شود. در این پایان نامه، با مرور حالات همدوس ساخته شده به روش کلاودر –پرلوموف، حالات همدوس گازیو و تعمیم یافته ی جدیدی برای پتانسیل مورس ارائه می دهیم. همچنین، خواص آماری حالات همدوس ساخته شده را مطالعه کردیم.

در اینجا ما حالات همدوس دو متغیره با کمینه عدم قطعیت را با سه روش مختلف معرفی کرده ایم: نمایش های یکانی نامعین در دو روش مختلف محقق می شود. اولی بوسیله ترازهای متوالی با اختلاف انرژی یکسان و عدد کوانتومی متناظر با تکانه زاویه ای z یکسان، سپس با شیفت مد تکانه زاویه ای z به اندازه دو واحد بطوریکه مقدار انرژی ترازها ثابت باشد. بعلاوه برای جبر بوسیله ترازهای لاندائو با کمترین انرژی یا ترازهای انرژی با کمترین عدد کوانتومی تکانه زاویه ای z، یک نمایش یکانی معین معرفی شده است. بوسیله حالتهای همدوس کلاودر- پرلموف ساخته شده با سه نمایش متفاوت یاد شده، همدوسی glauber را با استفاده از عملگر جابجایی جبر وایل- هایزنبرگ بدست می- آوریم.برای میدان متغیر واکاهنده بااستفاده از نمایش یکانی جبر حالات همدوس باروت –گراردو ، کلاودر – پرلموف و گازیو –کلاودر را نوشته و ویژگیهای آماری این حالات همدوس رامطالعه می کنیم.

ابتدا مکانیک همدیس 0+1 بعدی از دیدگاه کلاسیک و کوانتوم مورد بررسی قرار می گیرد. سپس ناوردایی سیستم تحت تبدیلات همدیس مطالعه خواهد شد و نشان داده می شود که مولدهای آن ها تشکیل گروه لی متقارن sl(2,r) می دهند. علاوه بر این ناوردا بودن سیستم با استفاده از متغیرهای زمان و مکان جدید نیز بررسی می شود. سپس با بررسی مولدهای تبدیلات همدیس شامل: مولد انتقال زمان، مولد گسترش و مولد همدیس خاص؛ معادلات حرکت، توابع موج و ویژه مقادیر آن بدست آورده می شود. در نهایت مکانیک همدیس ابرتقارنی برای مکانیک کوانتومی n ذره ای در یک بعد نشان داده خواهد شد. همچنین مکانیک کوانتوم ابرچندگانه یک سیستم یک بعدی فرمیون- بوزون حقیقی بررسی می گردد و به ابرگروه لی osp(1|2) تعمیم داده خواهد شد.

چکیده: در این پایان نامه ابتدا به معرفی فضای فاز و کروشه پواسون می پردازیم. سپس انتگرال پذیری برای نوسانگر هماهنگ را مورد بحث قرار می دهیم. در ادامه تعریف سیستم انتگرال پذیر، قضیه لیوویل و زوج lax را بررسی کرده و وجود ماتریس- r کلاسیک در انتگرال پذیری لیوویل و خاصیت تقابل کمیت های پایستار در ساختار پواسون را مطرح می کنیم. سپس ضمن مرور مفاهیم دو جبرهای لی و قضایای مربوط به آن، جبرهای لی حقیقی دو بعدی و دو جبرهای لی حقیقی دو بعدی معرفی و مطالعه می شود و به دنبال آن به معرفی دو جبرهای لی حقیقی سه بعدی و طبقه بندی دو جبرهای لی حقیقی سه بعدی هم مرز پرداخته و سه تایی های منین را لیست می کنیم و در آخر ساختارهای پواسون گروه های پواسون- لی مربوط به این دو جبرها را بدست می آوریم. در ادامه فرمالیسم کلی ساختن سیستم های انتگرال پذیر کلاسیکی را بررسی کرده و برای جبرهای لی حقیقی دو و سه بعدی نمایش دیفرانسیلی پیدا می کنیم. سپس برای جبرهای لی حقیقی دو و سه بعدی کازیمیر را محاسبه کرده، واز روی آنها سیستم های انتگرال پذیر می سازیم. در ادامه به عنوان یک مثال، طریقه ی ساختن سیستم های انتگرال پذیر به روش ماتریس - r را شرح داده و از این روش برای جبرهای لی حقیقی دو و سه بعدی سیستم های انتگرال پذیر را محاسبه کرده و به صورت جدول لیست می کنیم. همچنین برای دو جبرلی حقیقی دو بعدی (g_2, g ̃_2) با استفاده از انتخاب گروه تقارن و فضای فاز از روی ساختار پواسون، متغیرهای دینامیکی را محاسبه نموده و سیستم های انتگرال پذیر می سازیم. و به دنبال آن برای دو جبر لی حقیقی چهار بعدی a_4,9^0) , 〖( a〗_(4,9.i)^0، ماتریس های-r کلاسیک را محاسبه نموده و با انتخاب گروه تقارن و فضای فاز از روی ساختار پواسون، سیستم های انتگرال پذیر بدست می آوریم.

هدف از این مطالعه، یافتن سیستم های دینامیکی هامیلتونی دو بعدی انتگرال پذیری است که توسط یک پتانسیل یک بعدی مختلط تولید شده اند. برای این کار، ابتدا، پس از توضیح مختصری راجع به سیستم های دینامیکی هامیلتونی و مساله انتگرال پذیری آنها، شرحی در مورد دینامیک و ساختار همتافته سازگار مربوط به تبدیل یک پتانسیل دینامیکی یک بعدی به سیستم های هامیلتونی دو بعدی انتگرال پذیر، توسط بردن پارامترهای آن به فضای فاز مختلط، ارائه شده است. سپس سعی کرده ایم تا با روشهای مختلف، صورت هایی از سیستم های دینامیکی هامیلتونی دو بعدی انتگرال پذیر را بیابیم که می توان آنها را تولید شده توسط یک پتانسیل مختلط یک بعدی در ساختار همتافته شرح داده شده، در نظر گرفت. بدین منظور، ابتدا تعدادی از سیستم های هامیلتونی دو بعدی انتگرال پذیر مشهور را در این مورد آزمایش کرده ایم و نهایتا چند صورت کلی برای سیستم های دو بعدی مزبور که امکان و قابلیت تولید توسط پتانسیل یک بعدی مختلط را دارند، یافته ایم. کلمات کلیدی: دینامیک هامیلتونی، انتگرال پذیری، پتانسیل مختلط، ساختار همتافته، فضای فاز مختلط

در طی سال های اخیر مدل سیگمای پوآسون توجه فراوانی را به خود جلب کرده است.این مدل از یک طرف توسط شالرو استروبل به عنوان تعمیم سیستم یانگ میلز-گرانش دو بعدی و از طرف دیگر بوسیله ایکدابه عنوان بسط غیر خطی نظریه پیمانه ای ساخته شد. مدل سیگمای پوآسون، مدل سیگمایی است که فضای هدف آن خمینه پوآسون است. اهمیت زیاد این مدل بدلیل امکان انتخاب ساختارهای پوآسون مختلف روی خمینه هدف است. مدل سیگمای پوآسون مدل های زیر را شامل می شود : مدل سیگمای توپولوژیک، مدلbf توپولوژیک ، مدل یانگ میلز دوبعدی، مدل گرانشی دوبعدی و مدل wzw پیمانه ای شده. در زبان نظریه پیمانه ای، مدل سیگمای پوآسون دارای جبر پیمانه ای باز است. در چنین مواردی روش فادیو- پوپوف برای کوانتش انتگرال مسیر با شکست مواجه می شود. حتی روش کوانتش قویتر یعنی نظریه brst نیز بغیر از چند ساختار پوآسون خاص، کاربرد ندارد. دلیل این امر آن است که هردو روش برای ساختن متغیرهای فیزیکی، به خاطر پوچ توانی عملگرbrst متناظر، به کوهمولوژی خوش تعریف نیاز دارند. روش مناسب که در این موارد کاربرد دارد، فرمالیسمbrst به روش باتالین-ویلکوفسکی است. مانند روش brst معمولی این روش نیز برمبنای بسط فضای فاز می باشد با این تفاوت که به ازای هر میدان، یک پاد میدان تعریف می شود، بطوریکه میدان ها و پادمیدان ها همیوغ کانونی یکدیگر هستند و به یک ساختار همتافته فرد در فضای فاز منجر می شوند. خمینه یاکوبی نیز برای اولین بار بوسیله لیش نورایز و برروی جبر لی موضعی به وسیله کیریلو معرفی شد. خمینه یاکوبی تعمیمی از خمینه پوآسون، خمینه فشرده وهمچنین خمینه همدیس همتافته می باشد. فضای توابع خمینه یاکوبی مجهز به براکت یاکوبی است که تمام خواص براکت پوآسون را دارد بغیر از اینکه ضرورتا مشتق نمی باشد. در این پایان نامه برای نخستین بار مدل سیگمای یاکوبی را خواهیم ساخت. مدل سیگمای یاکوبی را مدل سیگمایی تعریف می کنیم که فضای هدف آن خمینه یاکوبی است. با توجه به اینکه خمینه یاکوبی تعمیمی از خمینه پوآسون است، مدل سیگمای یاکوبی تعمیمی از مدل سیگمای پوآسون می باشد. همانطور که قبلا گفته شد مدل سیگمای پوآسون پنج مدل توپولوژیک دوبعدی را شامل می شود. هدفمان بررسی این موضوع است که آیا مدل سیگمای یاکوبی علاوه بر این پنج مدل، مدل های توپولوژیک دو بعدی دیگری را نیز شامل می شود؟ در این پایان نامه با بررسی چندین ساختار مختلف روی فضای هدفمان نشان می دهیم که مدل سیگمای یاکوبی، چهار مدل توپولوژیک دوبعدی که عبارتند از : مدل سیگمای توپولوژیک، مدلbf توپولوژیک تعمیم یافته، مدل یانگ میلز دو بعدی تعمیم یافته و مدل گرانشی دوبعدی تعمیم یافته را شامل می شود. فصل بندی پایان نامه بصورت زیر است : در فصل اول مروری بر مدل سیگمای پوآسون خواهیم داشت و معادلات حرکت، تقارن و همچنین مدل های میدان دو بعدی ای که شامل می شود را مطرح خواهیم کرد. در فصل دوم بعداز معرفی خمینه یاکوبی، ساختار آن را روی گروه بدست خواهیم آورد. سپس برای نخستین بار مدل سیگمای یاکوبی را خواهیم ساخت و ساختارهای مختلف روی فضای هدفمان را مطالعه خواهیم کرد. در فصل سوم تقارن brst به روش bv را مطرح خواهیم کرد که روش کاربردی برای کوانتش انتگرال مسیر در نظریه های پیمانه ای است که دارای جبر پیمانه ای باز هستند. همانطور که قبلا گفته شد مدل سیگمای پوآسون دارای جبر پیمانه ای باز است و برای کوانتش انتگرال مسیر در این مدل از این روش استفاده می شود و اگر مدل سیگمای یاکوبی نیز دارای جبر پیمانه ای باز باشد، می توانیم برای کوانتش انتگرال مسیر آن از این روش استفاده کنیم.

در این پایان نامه در ابتدا با مروری بر حاتهای همدوس و بررسی ویژگی های آنها، حالات همدوس برای ترازهای لاندائو ساخته شد. سپس با استفاده از فرمالیزم حرارتی، به حرارتی کردن ترازهای لاندائو پرداختیم و در نهایت ویژگی های آماری از جمله پارامتر مندل و چلاندگی را نیز بررسی کردیم.

در این پایان نامه با مرور نظریه الکترودینامیک اسکالر، وظریه الکترودینامیک اسکالر ناجابه جا را روی صفحه مویال مطالعه میکنیم.