اگر p نمایش خاصیتی روی رده ی فضاهای باناخ باشد، گوییم p یک خاصیت دوگان است، هرگاه از دوگان هر فضای باناخ به خود فضا به ارث برسد. مسئله ای را که به بررسی خاصیت دوگان روی فضاهای باناخ می پردازد، به مسئله ی دوگان می شناسیم. همچنین p را یک خاصیت سه فضا گوییم، هرگاه برای هر فضای باناخ x و هر زیرفضای بسته ی m از x، اگر دو تا از سه فضای باناخ x، m و فضای خارج قسمتی x/m دارای خاصیت p باشند، آنگاه سومی نیز این خاصیت را داشته باشد. مسئله ای که به بررسی خاصیت سه فضا روی فضاهای باناخ می پردازد، به مسئله ی سه فضا معروف است. در فصل اول به بیان بعضی از تعاریف و قضایای مقدماتی مورد نیاز و در فصل دوم به بررسی مسائل دوگان و سه فضا روی برخی از مفاهیم کلاسیک فضاهای باناخ مانند خاصیت انعکاسی، جدایی پذیری، خاصیت شور و ... می پردازیم. در فصل سوم خاصیت های w^*d و bw^*d را برای فضای دوگان *^x از فضای باناخ x معرفی می کنیم و به کمک آن مسائل دوگان و سه فضا را برای برخی از انواع خاصیت های تقریب و تقریب فشرده حل می کنیم و علی رغم آنکه خواص تقریب فشرده و تقریب فشرده کران دار در فضاهای باناخ در حالت کلی در هیچ کدام از مسائل دوگان و سه فضا صدق نمی کنند، نشان خواهیم داد که خواص w^*d و bw^*d یک شرط کافی برای برقراری آن ها است.

در این پایان نامه ضمن تعریف عضوهای تمیز و نیم تمیز از یک حلقه، حلقه های تمیز و نیم تمیز معرفی و با ارائه مثال هایی ارتباط میان این حلقه ها بررسی می شودو نشان داده می شود که مجموعه ی یک حلقه ی تمیز یک زیر مجموعه های سره ازحلقه ی نیم تمیز است. در ادامه ایده آل نیم تمیز به عنوان تعمیمی از حلقه های نیم تمیز معرفی و بررسی می شود. در پایان ارتباط میان حلقه های تمیز-پوچ، نیم تمیز- پوچ،مناسب، نیم مناسب و قوی بررسی می شود.