حل عددی معادلات انتگرال نوع اول

چکیده نظریه معادلات انتگرال یکی از مهمترین شاخه های آنالیز ریاضی است .اصولا" اهمیت آن از لحاظ مسائل مقدار مرزی در تئوری معادلات با مشتقات جزئی است . معادلات انتگرال درخیلی از مسائل فیزیک و فنی ظاهر میشوند.در تحقیقات قرن اخی درنظریه کشانی این نوع معادلات نقش مهمی را بازی کرده اند،بخصوص آن دسته ای از آنها که به معادلات انتگرال منفرد شهرت دارند . معادلات انتگرال برای سالهای زیادی است که در ریاضی ظاهر شده اند.زیرا مبدا آن به تئوری انتگرال فوریه برمیگردد.)1811(لیکن در حقیقت توسعه نظریه معادلات انتگرال تنها در اواخر قرن 19 شروع شد.زیرا درحدود سالهای 1900-1903 بود که یک ریاضیدان ایتالیائی به نام وترا)vita vatterra(برروی آن کارکرد و همچنین یک ریاضیدان سوئدی به نام فردهلم)ivar fredholm(درهمان سالها کارهای مشهور و جالب خود را روی یک روش جدید جهت حل مسئله دیریکله)p.g.l. dirichlet(شر کرد.از آن زمان به بعد تا عصر حاضر معادلات انتگرال موضوع تحقیقات ریاضیدانان زیادی بوده است ،زیرا آنها بطور پیوسته با مسائل جدید و جالبی برخورد میکنند. معادلات انتگرال منفرد در اوائل دهه قرن جاری در ارتباط با دو مسئله کاملا" مختلف توسط دونفر معرفی شد.یکی ازآنها هیلبرت)d. hlbert(بود که ضمن کارروی بعضی مسائل مرزی نظریه توابع تحلیلی باآنها برخوردکرد.دیگری پوانکاره)h.poincare(بود که درتئوری عمومی جزر و مد باآنها مواجه شد.نظریه معادلات انتگرال منفرد در دهه سوم و چهارم جاری توسط یک ریاضیدان فرانسوی به نام ژیراد)g.giraud(و دوریاضیدان روس بنامهای وکوا)i.vekua(و موسخلیش ویلی)n.muskhelishvili(توسعه پیدا کرد . قضایای فردهلم از قضایای بنیادی معادلات انتگرال هستند.ازآنجا که این قضایا ابتدا توسط آقای فردهلم برای هسته های پیوسته ارائه شدند لیکن بعدا توسط افراد دیگری برای هسته های کلی تری تعمیم یافتند.لذا لازم است از اشخاصی نظیر آقای کلرلمان)f.carleman(هم که دراین راه نقش عمده ای داشته اند یادکرد. البته آقای ریس)f.riesz(با اصلاحات وسیعی از نظریه عملگرها راشت قضایای مذکور را بصورت وسیعتری تعمیم داد.زیرا او به یک معادله انتگرال بصورت یک عملگر نظر انداخته و قضایای فردهلم را برای یک عملگر فشرده تعمیم داد . یکی از مسائل خوش وضع،معادلات انتگرال نوع دوم میباشد که بصورت تحلیلی توسط فردهلم حل شده است و از نظر عددی توسط روشهای نیستروم،ال جندی،بسط،کمترین مربعات و گلرکین میتوان این رده از مسائل را حل کرد . معادلات نوع اول از مسائل بدوضع هستند و چون ماهیت کامپیوترهای رقمی خطاپذیر است ،براحتی نمیتوان این نوع معادلات را حل کرد،گاهی اوقات این نوع مسائل ممکن است جواب نداشته باشد و یااینکه جواب منحصر بفرد نباشد،این رده از مسا میتواند توسط یکی از روشهای بسط،هم محلی،تابع ویژه،منظم سازی،تکراری،افزوده گلرکین حل گردد.دراین رساله روش حل گلرکین برای معادلات انتگرال نوع اول و دوم،روش منظم سازی برای معادله انتگرال نوع اول بررسی خواهدشد . ضمنا" دررابطه با حل معادله انتگرال نوع اول به روشهای منظم سازی و افزوده گلرکین دو ایده جدید ارائه شده است .