مطالعه خواص الکترونی و اپتیکی نانو صفحات چند لایه شش ضلعی بورن- نیترید: از نظریه تابعی چگالی تا اثرات بس ذره ای

در سال های اخیر، پژوهش های گسترده ای در زمینه ی سامانه های نانو ساختار انجام شده است، بخصوص با کوچک تر شدن اجزای تشکیل دهنده ی قطعات الکترونیکی، بررسی نانو ساختارها اهمیت زیادی در زمینه ی علوم و صنعت پیدا کرده است. خواص فیزیکی این نانو ساختارها، بویژه خواص الکترونی و اپتیکی آن ها، به رفتار و حالت های الکترونی آن ها بستگی دارد. از این رو، محاسبه حالت های الکترونی مواد و تعیین ساختار نواری انرژی در آن ها از مهمترین مباحث پژوهشی نظری و تجربی در فیزیک ماده چگال است. با توجه به این که بطور کلی گاز الکترون در یک جامد یک سامانه برهم کنش گر است، بنابراین راه حل اساسی برای محاسبه حالت های الکترونی مواد به حل مسئله بس- ذره ای منتهی می شود. از این رو، از آغاز پایه گذاری علم فیزیک ماده چگال، تلاش پژوهشگران بر این بوده است تا بعنوان یک تقریب، مسئله بس- ذره ای گاز الکترون جامد را به یک مسئله قابل حل تبدیل نمایند. کلیه متون مربوط به زمینه ماده چگال و روش های مختلف و گوناگون محاسبات ساختار نوارهای انرژی الکترونی جامدات، حکایت از به کارگیری انواع تقریب هایی است که برای حل معادله شرودینگر انجام می شود. خوشبختانه علی رغم تقریبی بودن روش های بس - ذره ای، این روش ها موفقیت عملی فوق العاده ای را از خود نشان داده اند و بنابراین در مواردی که پیچیدگی های ناشی از آثار برهم کنش الکترون ها در رفتار نهایی سامانه موثر باشند باید در حد امکان و با روش های مختلف حداکثر آثار بس- ذره ای را در محاسبات دخالت داد. در هر صورت باید توجه داشت که هر روش تقریبی گستره اعتبار خاصی دارد. اما امروزه، هدف اغلب پژوهش های نظری بر پایه مکانیک کوانتوم، در زمینه مباحث فیزیک ماده چگال و شیمی، یافتن برهم کنش های اصلی نمی باشد بلکه پرداختن به حل معادله شرودینگر از یک تابع هامیلتونی مشهور است که از حل آن اطلاعات مفیدی حاصل می شود. به هرحال این هامیلتونی یک مسئله بس- ذر ه ای را توضیح می دهد و برای تعداد بیشتر از 10 الکترون، حل دقیق آن از لحاظ عددی عملاً امکان پذیر نیست. بعلاوه حل دقیق آن، شامل مجموعه ای از اطلاعات است که بدون ساده سازی و تجزیه و تحلیل، به سختی قابل فهم است و برای یک مسئله و شرایط مشخص حاوی تعداد زیادی جزئیات است، که احتمالاً مورد علاقه نیست [1]. بنابراین بازنویسی مجدد مسئله و کار با توابع هامیلتونی موثر یا مقادیر انتظاری انتخاب شده که برای حل یک مسئله کاهش یافته مناسب می باشند، اغلب بهتر است. این روش بطور ایده ال هم محاسبه و هم تجزیه و تحلیل مقادیر مدنظر را ساده خواهد نمود. نظریه تابعی چگالی (dft) [2و3] یکی از متداول ترین روش هایی است که برای محاسبات خواص حالت پایه طراحی شده است و بر پایه اطلاع از تابع چگالی n(r) بجای تابع موج بس- ذره ای کامل از یک سیتم n ذره ای پایه گذاری شده است. مبانی نظریه dft بر اساس نظریه هوهنبرگ-کوهن- شم [2] بصورت زیر است: 1. چگالی الکترونی حالت پایه از یک سامانه برهم کنشی از الکترون ، می تواند بطور کامل، پتانسیل خارجی v(r)، که الکترون ها تجربه می کنند و بنابراین هامیلتونی، تابع موج بس- ذره-ای، و همه کمیت های مشاهده پذیر از سامانه، را تعیین کند. 2. یک تابعی f[n]وجود دارد بطوری که انرژی کل e[n] می تواند بصورت زیر نوشته شود: (1-1) این f یک تابعی عمومی است بطوری که وابستگی تابعی اش به چگالی برای همه سامانه های با برهم کنش ذره- ذره مشابه، یکسان است. 3. حالت پایه این سامانه را می توان از طریق کمینه کردن تابعی انرژی کل e[n]برحسب چگالی بدست آورد. معادلات کوهن- شم (ks) که در سال 1965 معرفی گردید، نظریه تابعی چگالی را به ابزاری خاص برای بدست آوردن چگالی حالت پایه تبدیل کرد. کوهن- شم سامانه برهم کنش گر واقعی را که در آن تمام الکترون ها به هم مربوط اند و تحت تأثیر پتانسیل واقعی سامانه قرار دارند را با سامانه ای غیر برهم کنش گر که در آن ذرات در معرض پتانسیل موثری قرار می گیرند، عوض کردند. با معرفی یک سامانه فرضی، سامانه کوهن- شم، شامل الکترون های بدون برهم کنشی و با اعمال یک میدان متوسط موضعی شامل پتانسیل هارتری، پتانسیل خارجی و برهم کنش های تبادلی- همبستگی (xc)، در روشی مشابه با روش هارتری- فوک به معادلات خود- سازگاری رسیدند که با روش آن ها چگالی حالت پایه سامانه محاسبه می گردد. با قرار دادن این چگالی در تابعی انرژی، انرژی حالت پایه محاسبه می شود. درطرح کوهن- شم، الکترون ها ازیک معادله شروینگر تک- ذره-ای ساده با یک پتانسیل خارجی موثر vks پیروی می نمایند: (2-1) اوربیتال کوهن- شم i? و ویژه مقادیر کوهن- شم i? بدست آمده، بطور کلی دارای یک معنی و مفهوم فیزیکی مستقیمی نمی باشند اما برای ساختن چگالی درستی از سامانه برهم کنشی بر طبق رابطه زیر استفاده می شوند: (3-1) با توجه به این که vks تابعی از چگالی الکترونی است، این معادلات باید بصورت خود سازگار حل شوند. پتانسیل موثر vks معمولاً بصورت زیر نوشته می شود: (4-1) در این معادله، جمله اول پتانسیل خارجی، برهم کنش کولنی بین الکترون ها و هسته، می باشد و جمله دوم شامل قسمت کلاسیکی برهم کنش الکترون- الکترون (هارتری) می باشد. پیچیدگی مسئله در پتانسیل همبستگی- تبادلی vxc[n](r) نهفته است که بصورت vxc[n](r)=?exc[n]/?n(r) تعریف می شود که در آن exc[n] انرژی همبستگی- تبادلی است. تقریب های بسیار موثری برای محاسبه exc[n] بیان شده است، نظیر تقریب چگالی موضعی (lda) [3] یا تقریب گرادیان تعمیم یافته (gga) [4] و بسیاری از خواص حالت پایه نظیر پارامترهای شبکه یا فرکانس های فونونی، امروزه با استفاده از اصول اولیه با دقتی حدود چند درصد محاسبه می شوند. با این وجود خاصیت های حالت پایه ای وجود دارند که حتی برای سامانه های ساده بخوبی انجام نشده است. تنها حدود 10% از انرژی های پیوندی در lda محاسبه می شوند و یا گزارش های نادرستی که برای خاصیت های پاسخ استاتیک، همانند ثابت دی الکتریک ??، که اغلب بطور قابل ملاحظه ای زیاد محاسبه می شوند، بیان شده است [5]. سامانه های همبستگی قوی نیز مثالی است که تقریب های ذکر شده بالا قادر به توصیف خواص الکترونی و اپتیکی آن ها نمی باشند [6]. این-چنین مسئله هایی در محاسبه خاصیت های حالت پایه، در اعتبار استفاده از تقریب های بکارگیری شده، محدودیت هایی ایجاد می کند. نکته مهم دیگر از حالت پایه مربوط به نظریه تابعی چگالی کوهن- شم، برانگیختگی ها (پاسخ اپتیکی به میدان الکتریکی وابسته به زمان) می باشند که در این نظریه قابل دسترس نیستند. البته هیچ اشکالی به تقریب های موجود وارد نیست، بلکه واقعیت این است که نظریه تابعی چگالی برای توصیف چنین پدیده هایی کارآمد نیست. در حقیقت، حتی اگر بتوانیم ویژه مقادیر کوهن- شم را بصورت دقیق محاسبه کنیم، اختلاف آن ها لزوماً نزدیک به انرژی های برانگیخته اندازه گیری شده، نخواهد بود و دوم این که آن ها برای انرژی الکترون های اضافه شده یا حذف شده هیچ توضیحی ندارند. بنابراین شکاف انرژی کوهن- شم در گزارشات عمومی نسبت به شکاف های انرژی اندازه-گیری شده، بسیار کوچک است که این به تقریب های انتخاب شده برای پتانسیل های همبستگی- تبادلی وابسته است. اگر بخواهیم با یک هامیلتونی موثر که بتواند ویژه مقادیر را برای انرژی الکترون های اضافه شده به سامانه یا حذف شده از آن، یا بعبارت دیگر انرژی های برانگیختگی، تعیین کند کار کنیم، اطلاع از چگالی حالت پایه کافی نیست. برای این منظور دو رهیافت ویژه را مورد توجه قرار می دهیم: ابتدا، چگونگی انتشار و نوسانات ذرات در سامانه مورد نظر را بررسی می کنیم که منجر به پیدایش توابع همبسته مرتبط با توابع پاسخ می شود (همانند پاسخ خطی برای جذب اپتیکی) بطوری که این توابع همبسته، توابع گرین تک ذره، دو ذره و یا مراتب بالاتر هستند. با استفاده از تابع گرین تک- ذره ای که مربوط به انتشار الکترون یا حفره است، می توان انرژی الکترون اضافه شده یا حذف شده را اندازه گیری کرد. بعنوان مثال می توان به آزمایشات اندازه گیری مستقیم و معکوس تابش نور به ماده اشاره کرد . علاوه بر این انرژی های برانگیختگی را می توان از قسمت حفره- ذره ی تابع گرین دو ذره ای، که به سهم خود قطب هایی در انرژی های برانگیختگی دارد، بدست آورد. بخش کاهش-پذیر از تابع چهار- نقطه ای l(r, r1, r´, r1´) مربوط به تابع گرین دو- ذره ای، منجر به تابع پاسخ دونقطه ای (r, r´, ?)? می شود که طیف قابل اندازه گیری، همانند طیف جذب و یا طیف اتلاف انرژی الکترون (eels) را مشخص می کند. نظریه اختلال بس- ذره ای (mbpt)، چارچوبی از تقریب های مناسب برای این چنین توابع گرین، که قابل دست یابی هستند، ارائه می دهد. بطور خاص تقریب gw، که در سال 1965 بوسیله لارس هدین [7] معرفی شد، بصورت بسیار موفق انرژی الکترون های اضافه شده یا حذف شده برای فلزات، نیمرساناها و نارساناها را توصیف می کند و بنابراین یکی از روش های مورد انتخاب برای توصیف آزمایش هایی همچون اندازه گیری مستقیم و معکوس تابش نور به ماده می باشد. در خصوص برانگیختگی های طبیعی، معادله بته - سالپیتر (bse)، نقطه شروع خوبی برای تقریب هایی از ? [11-8] خوهد بود. بنابراین، برای یک توصیف کامل و درک فیزیکی قابل اطمینان از یک سامانه برهم کنش گر، بعلت ظاهر شدن توابعی نظیر l(r, r1, r´, r1´) که مهمترین خاصیت آن ها غیر جایگزیده بودن آن هاست، بجای توابع جایگزیده n(r)، هزینه بالای محاسباتی باید پرداخت شود. دومین راه، محاسبه تحول زمانی تابعی چگالی برای سامانه ای است که در معرض یک پتانسیل خارجی وابسته به زمان قرار گرفته است. تابع پاسخ ?، برای مثال، بطور مستقیم از رابطه پاسخ خطی بین تغییرات پتانسیل خارجی و چگالی القاء شده بدست می آید . این روش باعث تعمیم نظریه تابعی چگالی به نظریه تابعی چگالی وابسته به زمان (tddft) [16- 12] می شود. با مبنا قرار دادن نظریه رانگ- گراس ، می توان بطور مستقیم خط سیر مکانیک کوانتومی در tddft از سامانه تحت تاثیر توسط پتانسیل خارجی وابسته به زمان را، از طریق بررسی کمیت مورد نظر در بینهایت (به جای به کمینه رسانیدن انرژی کل، آن طوری که برای حالت پایه انجام شد)، مشابه با مکانیک کلاسیک، بدست آورد. بنابراین می توان معادلات کوهن- شم وابسته به زمان را بصورت تعمیمی از حالت استاتیک بدست آورد و از آن ها توابع پاسخ توضیح دهنده برانگیختگی های طبیعی سامانه را محاسبه کرد. در این حالت، مشکل پیدا کردن تقریب های مناسب برای پتانسیل همبستگی- تبادلی وابسته به زمان vxc[n](r,t) می باشد. باید توجه داشت که وابستگی تابعی به چگالی در کل فضا و در همه زمان های گذشته می باشد. تقریب های زیادی برای سامانه های محدود پیشنهاد و امتحان شده اند. حتی تقریب بسیار ساده چگالی موضعی بی درو (alda که می توان آن را lda وابسته به زمان نیز نامید) که بصورت داده می شود، در بسیاری از موارد بسیار موفق بوده است [12و 17]. امروزه، استفاده از روش هایی نظیر gw ، bse و tddft بطور مداوم در حال گسترش است که در آن برهم کنش ها مهم می باشند. البته حل مستقیم معادله شرودینگر امکان پذیر نمی باشد. پژوهش حاضر حاوی مرور و بررسی روش های mbpt، gw و bse، برای سامانه های پیچیده درزمینه های نانوفناوری، ذخیره داده ها و الکترونیک نوری می باشد. references [1] w. kohn, rev. mod. phys. 71, 1253 (1999). [2] p. hohenberg and w. kohn, phys. rev. 136, b864 (1964). [3] w. kohn and l. j. sham, phys. rev. 140, a1133 (1965). [4] j. p. perdew, k. burke, and m. ernzerhof, phys. rev. lett. 77, 3865 (1996), erratum: ibid. 78, 1396(e) (1997). [5] s. baroni and r. resta, phys. rev. b 33, 7017 (1986). [6] g. kotliar, s. y. savrasov, k. haule, v. s. oudovenko, o. parcollet, and c. a. marianetti, rev. mod. phys. 78, 865 (2006). [7] l. hedin, phys. rev. 139, a796 (1965). [8] a. l. fetter and j. d. walecka, quantum theory of many-particle systems (mcgraw-hill, new york, address, 1971). [9] l. j. sham and t. m. rice, phys. rev. 144, 708 (1966). [10] w. hanke, adv. phys. 27, 287 (1978). [11] g. onida, l. reining, and a. rubio, rev. mod. phys. 74, 601 (2002), and references therein. [12] a. zangwill and p. soven, phys. rev. lett. 45, 204 (1980). [13] e. runge and e. k. u. gross, phys. rev. lett. 52, 997 (1984). [14] e. k. u. gross and w. kohn, phys. rev. lett. 55, 2850 (1985). [15] e. k. u. gross and w. kohn, phys. rev. lett. 57, 923(e) (1986). [16] r. van leeuwen, int. j. mod. phys. b 15, 1969 (2001). [17] m. a. l. marques and e. k. u. gross, annu. rev. phys. chem. 55, 427 (2004).