خواص هندسی فضاهای همگن

مطالعه ی خواص هندسی فضاهای همگن و گروه های لی یکی از زمینه های تحقیقاتی پرجاذبه در هندسه ی دیفرانسیل است که از جمله ی این خواص می توان به مطالعه ی ژئودزی های همگن, ساختارهای مختلط و اتصالی پایا, سولیتن ریچی پایا و غیره اشاره نمود که دارای کاربردهای متعددی در فیزیک و مکانیک هستند. از این رو در این رساله ابتدا یک کلاس از گروه های لی حل پذیر ‎$m^{2n+1}$‎ را در نظر می گیریم که در سال ‎1980‎ توسط ‎ بزک ‎ ‎‎‏‎footnote{bozek{ مطرح شده اند و شکل دقیقی از همه ی ساختارهای همگن و نوع آن ها را در دو حالت ریمان و لوران بر روی این فضاها بیان می کنیم. سپس به بررسی تابع انرژی یک میدان برداری دلخواه پایای چپ از این فضاها می پردازیم و در حالت لوران ثابت می کنیم که هیچ کدام از میدان های برداری زمان گون بر روی این فضاها نقطه ی بحرانی برای تابع انرژی فضاگون نیستند. هم چنین شکل دقیقی از ابررویه های کاملاً ژئودزی, توازی پذیر و نیمه توازی پذیر را روی این فضاها معرفی کرده و ثابت می کنیم که روی این فضاها ساختارهای اتصالی پایا, سولیتن یامابی و سولیتن ریچی پایای چپ وجود ندارند. در ادامه با توجه به اهمیت مترهای فینسلر و به طور خاص مترهای رندرز در فیزیک, فضاهای همگن را در نظر می گیریم که به مترهای رندرز مجهز شده اند و به معرفی و رده بندی یک ساختار هندسی روی گروه های لی می پردازیم که به یک متر رندرز از نوع بروالد مجهز شده اند. سرانجام با استفاده از مطالعه ی ویژگی های هندسی این فضاها یک قضیه برای فضاهای همگن رندرز تحویل پذیر را بهبود داده و دو نتیجه برای مترهای رندرز از نوع داگلاس بر روی این فضاها را تعمیم می دهیم.