گروه هایی که گراف اول آن ها روی اندازه رده های مزدوجی تعداد کمی رأس کامل دارند

فرض کنید ‎g‎ یک گروه متناهی و‎cs(g) ‎ مجموعه ی همه ی اندازه های رده های مزدوجی ‎g{1}‎ باشد. فرض کنید (g)? نشان دهنده گراف اول ساخته شده بر روی cs(g)‎ باشد، در این صورت رئوس (g)? ‎ اعداد اول شمارنده ها ی اعضای ‎cs(g) ‎ هستند و دو رأس متمایز ‎p‎ و ‎q‎ در (g)? ‎ مجاور هستند اگر و تنها اگر ‎pq‎ عضوی از ‎cs(g) ‎ را عاد کند. مجموعه ی رئوس و مجموعه ی یال های (g)? ‎را به ترتیب با‎v(g) ‎ و‎e(g) ‎ نشان می دهیم. راس‎p? v(g) ‎ را یک رأس کامل می نامیم، هرگاه به ازای هر ‎q? v(g) { p }‎ داشته باشیم{p,q} ? e(g) ‎. در این پایان نامه گروه های ‎g‎ را بررسی می کنیم که گراف اول آن ها روی ‎cs(g) ‎ دارای تعداد کمی راس کامل باشد. هم چنین گراف اول (g)? و خواص اساسی را بررسی می کنیم. یکی از اهداف این است که ساختار گروه های متناهی ‎g‎ را توصیف کنیم که گراف (g)? دارای تعداد زیادی یال نامجاور است. به طور دقیق تر نشان می دهیم: اگر ‎g‎ گروه متناهی باشد و (g)? ‎ حداکثر یک راس کامل داشته باشد، آن گاه ‎g‎ حل پذیر است و ارتفاع فیتینگ آن حداکثر ‎3‎ است. ‎ نتیجه ای از قضیه ی بالا به صورت زیر است: فرض کنید ‎g‎ یک گروه متناهی حل پذیر باشد به طوری که (g)? با ارتفاع فیتینگ کراندار برای اندازه های ‎‏‎رده های مزدوجی باشد. در این صورت ارتفاع فیتینگ ‎g‎ حداکثر ‎3‎ است. ‎‎ اگر مفروضات قضیه ی بالا را قدری قوی تر کنیم و فرض کنیم (g)? دارای راس کامل نباشد، آن گاه نتیجه بهتری می توانیم ثابت کنیم و نشان می دهیم که گروه g برابر حاصل ضرب نیم مستقیم دو گروه آبلی با مرتبه ها ی متباین و برخی شرایط اضافه ی دیگر می باشد. در نهایت گروه متناهی g‎ را زمانی که‎ (g)? یک گراف منظم ناکامل است، بررسی می کنیم.