اولین مقدار ویژه ی اکسترمال روی نواحی همبند دوگانه باتقارن دو وجهی

رفیزیک, بیشینه یا کمینه کردن انرژی از دید کاربردی از اهمیت فراوانی برخوردار است. که با هدف کم کردن هزینه ها یا دیگر اهداف صورت می گیرد. در این تحقیق، به دنبال بهینه کردن انرژی حالت یا اولین مقدار ویژه ی عملگر لاپلاسین روی ناحیه ‎$dsubsetmathbb{r}^{2}$‎ هستیم که به مسائل بهینه سازی شکلی معروف هستند. بدنبال بهترین شکل برای ناحیه هستیم که انرژی حالت، بهینه شود. ناحیه اصلی ‎$d$‎ می باشد که در آن مانعی به شکل ‎$b$‎ واقع است. تحت شرایط تقارنی خاص زیر، کمینه یا بیشینه کردن مقدار ویژه اصلی ‎$lambda_{1}$‎ لاپلاسین دیریکله روی ‎$dsetminus b$‎ مورد نظر است. ‎egin{enumerate}‎ ‎item‎ برای یک عدد صحیح ‎$ngeq2$‎، ناحیه ‎$d$‎ و مانع ‎$b$‎ نسبت به پرتوهای ‎$dfrac{kpi}{n}$‎ام گذرنده از مرکز برای ‎$k=1ldots n$‎ متقارن می باشند و با چرخش شکل به اندازه ‎$dfrac{2pi}{n}$‎ ویک انعکاس ‎$s$‎ ثابت هستند. ‎item‎ فاصله ی هر نقطه ی ‎$x$‎ ازمرز تا مرکز یکنوا است. یعنی اگر نقطه ‎$x$‎ را روی مرز ناحیه ‎$d$‎ در نظر بگیرید. فاصله ی این نقطه ی ‎$x$‎تا مبدا مختصات، ‎$d(o,x)$‎، به عنوان تابعی از ‎$x$‎، در ناحیه محدود به دو محور تقارن، یکنوا است. ‎end{enumerate}‎ همچنین ‎$ ho(b)subset d$‎ میباشد. یعنی چرخش یافته ‎$b$‎ دوباره داخل ‎$d$‎ قرار دارد. برای این کار از فرمول تغییراتی هادامارد ‎ltrfootnote{hadamard}‎ برای نمایش مقدار ویژه اصلی استفاده می کنیم.