تکنیک های کمکی کامپیوتر برای بررسی ویژگی چبیشف از انتگرال های آبلی

در این پایان نامه به بررسی این مساله می پردازیم که چه زمانی مجموع های از انتگرالهای آبلی، یک سیستم چبیشف تعمیم یافته کامل (به اختصارetc ) را تشکیل میدهند. این مساله در چهارچوب بررسی بخش دوم مساله شانزدهم هیلبرت ظاهر میشود، که در مورد حداکثر تعداد و مکان سیکلهای حدی یک میدان برداری مسطح چندجملهایاز درجهd بحث میکند. حل کامل این مساله به نظر میرسد دور از دسترس دانش امروز باشد. به این علت آرنولد نسخه ای ضعیف تر از آن را ارائه داد که مساله بینهایت کوچک ?1 هیلبرت نامیده میشود. فرض کنید ? یک فرم دیفرانسیلی درجه ? حقیقی با ضرائب چندجملهای از درجه حداکثرd باشد. چندجمله ای حقیقیh با درجه ? +d در صفحه را در نظر بگیرید. منحنی ترازh = h یک بادامی ازh نامیده میشود و آن را با?h نشان میدهیم. این بادامی ها خانواده ی پیوسته ای از منحنی های ترازh = h را تشکیل میدهند. در مساله بینهایت کوچک هیلبرت، هدف تعیین کران بالای (v (d از تعداد صفرهای حقیقی انتگرال آبلیi است. این کران فقط به درجهd بستگی دارد، یعنی باید نسبت به انتخاب چندجملهایh ، خانواده ی بادامی های {?h}و فرم دیفرانسیلی? یکنواخت باشد. صفرهای انتگرال آبلی با سیکلهای حدی به صورت زیر در ارتباط هستند. یک تغییر کوچک از میدان برداری هامیلتونیx? = xh + ?y را در نظر بگیرید که در آن xh = ?hy?x + hx?y وy = p?x + q?y. اولین تقریب نسبت به? از تابع تغییر مکان از نگاشت پوانکارهx? توسطi(h) = ??h? با? = pdy + qdx داده میشود. بنابراین تعداد صفرهای (i(h با احتساب تکرار یک کران بالا برای تعداد بادامی هاh فراهم میکند که سیکلهای حدیx? را برای ? ?? تولید میکند. تابع (i(h میتواند به ترکیب خطی زیر تجزیه شود ??i?(h) + ??i?(h) + ••• + ?n??in??(h) که در آن هر?k به ضرایبp وq بستگی دارد که به عنوان پارامتر در نظر گرفته میشوند. هرik یک انتگرال آبلی به شکل? = xiyjdx یا? = xiyjdy است. بنابراین این مساله با پیداکردن یک کران بالا برای تعداد صفرهای ایزوله ی تابعی دلخواه در فضای خطی تولید شده از (i_0,i_1,…,i_n-1)معادل است. این دقیقا همان جایی است که مفهوم سیستمect اهمیت پیدا میکند.