زیرکاتگوریهایی ازتوسیع مدولهابازیرکاتگوریهای سر

در سال ‎1962‎، جبرئیل ‎ltrfootnote{gabriel}‎ در مرجع ‎cite{0}‎ ثابت کرد که یک ایزومورفیسم شبکه ی بین مجموعه? همه? زیرکاتگوری های ‎ extbf{‎‎ سر} از کاتگوری‎$r~$-مدول ‎های متناهی مولد و مجموعه? همه? زیرمجموعه هایی از ‎${ m spec}(r)$‎که تحت ویژگی سازی بسته هستند وجود دارد‎.‎ در این پایاننامه هدف ما بدست آوردن معیاری برای ‎ extbf{سر}‎ کاتگوری بودن ‎$(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})~$‎ است، که در آنها ‎$mathcal{s}_{1}~$‎ و‎$mathcal{s}_{2}~$‎ دو زیر کاتگوری ‎ extbf{سر}‎ از کاتگوری ‎$r~$-‎مدول ها و‎$r~$-همومورفیسم ‎ها است‎.‎ فرض کنیم‎$r~$‎ یک حلقه? جابجایی و نوتری باشد. کاتگوری ‎$r~$-‎مدول ها و‎$r~$-همومورفیسم ‎ها را با علامت‎$mathcal{c}(r)~$‎ و زیرکاتگوری تام، ‎$r~$-‎مدول ها ی متناهی مولد را با علامت ‎$rmathrm{-mod}$‎ نشان می دهیم‎.‎ در مرجع ‎cite{0}‎، ثابت شده است که یک ایزومورفیسم شبکه ی بین مجموعه? همه? زیرکاتگوری های ‎ extbf{سر}‎ از‎$mathcal{c}(r)~$‎ و زیرمجموعه هایی از ‎${ m spec}(r)~$‎ که تحت ویژگی سازی بسته هستند وجود دارد. ‎‎ از طرفی نیمان ‎ltrfootnote{ neeman}‎ در مرجع ‎cite{8}‎، وجود یک ایزومورفیسم شبکه ی بین مجموعه? همه? زیرکاتگوری های پرس شده‎ltrfootnote{ smashing subcategories}‎، از کاتگوری مشتق شده ‎$mathcal{c}(r)~$‎ و مجموعه? همه? زیرمجموعه هایی از ‎${ m spec}(r)~$‎ که تحت ویژگی سازی بسته هستند را نشان داد‎.‎ سپس تاکاهاشی‎ltrfootnote{takahashi}‎ یک تفسیر مدولی از قضیه? نیمان را بنا نهاد، که قضیه? جبرئیل را در مرجع ‎cite{6}‎ القا می کند‎.‎ یک extbf{زیرکاتگوری سر} از یک کاتگوری آبلی عبارتست از یک زیرکاتگوری تام که تحت زیرشی ها، اشیای خارج قسمت و توسیع ها بسته است‎.‎ اخیراً تعدادی از ریاضی دانان مفهوم زیرکاتگوری‎ extbf{‎‎ سر} را نه تنها در نظریه? کاتگوری، بلکه در نظریه? کوهمولوژی موضعی نیز مورد مطالعه قرار داده اند. (بعنوان مثال رجوع شود به مرجع ‎cite{9}.) ‎ به کمک نتیجه جبرئیل در بالا، می توانیم تمام زیرکاتگوری های ‎ extbf{سر}‎ از ‎$rmathrm{-mod}$‎ را توسط مجموعه هایی از ‎${ m spec}(r)~$‎ که تحت ویژگی سازی بسته هستند را ارائه دهیم. با این وجود، می خواهیم راه دیگری برای مطالعه? زیرکاتگوری های extbf{سر ‎}از$mathcal{c}(r)~$‎ به کمک نظریه? کوهمولوژی موضعی ارائه دهیم‎.‎ برای این منظور یکی از اهداف اصلی در این پایاننامه ارائه چنین روشی با در نظر گرفتن زیرکاتگوری های متشکل از توسیع مدول ها در دو زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ است‎.‎ فرض کنیم ‎$mathcal{s}_{1}~$‎ و‎$mathcal{s}_{2}~$‎ دو زیر کاتگوری ‎ extbf{سر}‎ از‎$mathcal{c}(r)~$‎ باشند. زیرکاتگوری متشکل از توسیع مدول ها در‎$mathcal{s}_{1}~$‎ توسط ‎$mathcal{s}_{2}~$‎ را با علامت ‎$(mathcal{s}_{1}‎, ‎mathcal{s}_{2}) $‎ نشان داده و تعریف می کنیم: $$(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})={minmathcal{c}(r)|s_{1}inmathcal{s}_{1},s_{2}inmathcal{s}_{2}, ext{وجود دارد},0 ‎ ightarrow s_{1} ightarrow m ightarrow s_{2} ightarrow 0, ext{دنباله? دقیق}}.$$ یکی از اهداف اصلی این پایاننامه که بر اساس مرجع ‎cite{12}‎ تدوین شده است، یافتن یک شرط لازم و کافی برای ‎ extbf{سر}‎ بودن زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})~$‎ می باشد. برای مثال، زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{{ m f.g.}},mathcal{s}_{{ m artin}})~$‎ را در نظر می گیریم که در آن ‎$mathcal{s}_{{ m f.g.}}~$‎ زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ متشکل از ‎$r~$-‎مدول های متناهی مولد و ‎$mathcal{s}_{{ m artin}}~$‎ زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ متشکل از ‎$r~$-‎مدول های آرتینی است. ایده? اصلی مرجع ‎cite{12}‎، قضیه? نقی پور و بهمن پور در مرجع ‎cite{10}‎ است که نشان دادند زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{{ m f.g.}},mathcal{s}_{{ m artin}})~$‎، یک زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ است. با این وجود یک زیرکاتگوری مانند ‎$(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})~$‎ لزوماً زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ نیست. در حقیقت یک زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{{ m artin}},mathcal{s}_{{ m f.g.}})~$‎ یک زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ نیست. ‎‎ لذا در این پایاننامه برای اینکه زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})~$‎ یک زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ باشد، یک شرط لازم و کافی بدست می آوریم و مثال های متعددی از زیرکاتگوری های ‎ extbf{سر} $(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})~$‎ را ارائه خواهیم کرد‎.‎ به ویژه، خواهیم دید که زیرکاتگوری های ذیل، زیرکاتگوری های extbf{سر } هستند: ‎(1)‎ یک زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{1}‎, ‎mathcal{s}_{2}) $‎ برای زیرکاتگوری ‎ extbf{سر} $~mathcal{s}_{1}$‎و ‎$mathcal{s}_{2}$‎ از کاتگوری ‎$r$-‎مدول های متناهی مولد‎;‎ ‎(2)‎ یک زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{{ m f.g.}},mathcal{s})$‎ برای یک زیرکاتگوری ‎ extbf{سر} $mathcal{s}$‎ از ‎$mathcal{c}(r)$;‎ ‎(3)‎ یک زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s},mathcal{s}_{{ m artin}})$‎ برای یک زیرکاتگوری extbf{سر ‎}$mathcal{s}$‎ از ‎$mathcal{c}(r)$.‎ در این پایاننامه تمام حلقه ها نوتری، جابجایی و یکدار و تمام مدول ها یکانی هستند. اگر‎$r~$‎ یک حلقه باشد آنگاه کاتگوری همه ‎$r$-‎مدول ها و ‎$r$-‎همومورفیسم ها را با علامت ‎$mathcal{c}(r)~$‎ نشان می دهیم. همچنین این پایاننامه در پنج فصل به ترتیب زیر تنظیم شده است‎.‎ در فصل اول، تعاریف و مفاهیم مقدماتی از جبرجابجایی که در فصل های بعدی مورد استفاده قرار می گیرند، آورده شده است.در فصل دوم، مفهوم زیرکاتگوری های ‎$(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})~$‎ از توسیع مدول های مربوط به زیرکاتگوری های ‎ extbf{سر} $mathcal{s}_{1}$‎و ‎$mathcal{s}_{2}$‎ از ‎$mathcal{c}(r)~$‎ و خواص اساسی آنها مورد مطالعه قرار می گیرد‎.‎ در فصل سوم، زیرکاتگوری های extbf{سر ‎}‎از ‎$r~$-‎مدول های متناهی مولد را مورد بحث قرار خواهیم داد. به ویژه نشان می دهیم که مثال ‎$(1)$‎ بالا یک زیرکاتگوری ‎ extbf{سر}‎ از ‎$r~$-‎مدول های متناهی مولد است‎.‎ در فصل چهارم، یک شرط لازم و کافی را برای ‎ extbf{سر}‎ بودن زیرکاتگوری ‎$(mathcal{s}_{1},mathcal{s}_{2})~$‎ بدست می آوریم‎.‎ در فصل پنجم، نتایج خود را در نظریه? مدول های کوهمولوژی موضعی که در شرط ‎$(c_{i})~$‎ صدق می کند، بکار می بریم.