ابرحلقه های ساخته شده از روابط فازی

‎ در سال ‎1934‎مارتی‎‎‎‎ ‎[34]‎ در هشتمین کنفرانس ریاضیدانان اسکاندیناوی با ارائه ی مقاله ای، نظریه ی ابرساختارها را بنا کرد. مشابه ابرگروه ها که تعمیمی از مفهوم گروه ها هستند (ابرعمل جایگزین عمل دوتایی می شود)، ابرحلقه ها نیز تعمیمی از مفهوم حلقه ها هستند که در آن ها هردو عمل دوتایی یا تنها یکی از آن ها توسط ابرعمل ها جایگزین می شوند. ابرحلقه ها با توجه به نحوه ی جایگزینی ابرعمل ها انواع مختلفی دارند. اولین نوع ابرحلقه ها که به حلقه های معمولی نزدیک ترند توسط کراسنر ‎‎‎[23]‎‎‎ معرفی شد. در ابرحلقه ی کراسنر جمع یک ابرعمل با شرایطی خاص است در حالی که ضرب یک عمل دوتایی باقی می ماند. در آغاز دهه ی هفتاد شاگردان کراسنر‏ به ویژه میتاس‎ و استریتی گوپلس به بررسی این نوع ابرحلقه ها ‎[30,31,42]‎‎$‎ پرداختند. ناکاسیس‎در ‎‎‎[32]‎‎‎ به بررسی و مطالعه ی نظریه ی ابرحلقه ها و ابرمیدان ها پرداخت. نوع دوم ابرحلقه ها توسط روتا‎ ‎‎‎[39]‎‎‎ معرفی شد که در آن جمع همان عمل دوتایی باقی می ماند اما ضرب یک ابرعمل است. این نوع ابرحلقه ها کمتر مورد مطالعه قرارگرفته اند. نوع سوم ابرحلقه ها توسط میتاس کشف شد و آن را حلقه ی‏ عمومی نام گذاری کرد. در حلقه ی عمومی هردو عمل جمع و ضرب توسط ابرعمل ها جایگزین می شوند و ابرساختار جمعی یک ابرگروه کانونی است. در تعمیم حلقه ی عمومی ابرساختار جمعی یک ابرگروه دلخواه در نظر گرفته می شود که دراین صورت با نوع جدیدی از ابرحلقه ها رو به رو هستیم که اولین بار توسط اسپارتالیس ‎ ‎‎‎[40]‎‎‎ معرفی شدند.‎ هم چنین این ابرحلقه تعمیمی از تعریف ارائه شده توسط دسالوو‎‎ ‎[18]‎ نیز هست. یک مرورکلی روی نظریه ی ابرحلقه ها توسط دواز ‎ و لئورئانو- فوتیه ‎ در ‎‎‎[10]‎‎‎ ارائه شده است. ‎ ‎ مقالات بسیاری به مطالعه ی ابرحلقه ها،‎ تقریب در ابرحلقه ها ‎‎‎[11]‎‎‎, ‎ساخت ابرحلقه های خاص مانند‎ ‎(m,n)‎-ابرحلقه های کراسنر ‎‎‎[1,27]‎‎‎, ابرحلقه های فازی ‎‎‎[12]‎‎,‎‎‎ ابرحلقه های چینی ‎‎‎[20]‎‎‎,‎‎ همریختی های میان ‏ابرحلقه ها ‎[36]‎‎‎, روابط اساسی در یک ابرحلقه ‎[28]‎‎, ارتباط با فضای هندسی ‎[29]‎ و ... پرداخته اند. ‎‎ ابرحلقه های الحاقی ‎[36]‎, با تعریف ابرعمل هایی وابسته به روابط دوتایی در ساختارهای جبری می توان ابرساختارهای جبری جدیدی به دست آورد. شناخته شده ترین ابرگروه های به دست آمده از روابط دوتایی توسط روزنبرگ‎ ‎‎‎[38]‎‎ و کورسینی‎ ‎[3]‎‎‎ معرفی شدند و توسط کورسینی و لئورئانو ‎[5]‎‎‎, ‎دسالوو و لوفارو‎ ‎[13]‎‎‎, ‎کریستیا‎ و همکاران ‎[6,8,9]‎, اسپارتالیس ‎[41]‎‎‎, لئورئانو- فوتیه و روزنبرگ ‎[25]‎‎ و ... مورد مطالعه قرار گرفتند. علاوه براین، می توان با استفاده از لم پایانی ابرساختارهایی از ساختارهای مرتب جزئی به دست آورد. این روش توسط چوالینا ‎ ‎‎‎[2]‎‎‎ و بعداً توسط نوواک ‎[34]‎‎‎ بررسی شده است. فنگ ‎ در ‎‎‎[15]‎‎‎ ابرگروه وارهای فازی را با استفاده از روابط فازی تعریف کرد. روابط دوتایی کاربردهای فراوانی در نظریه ی جبری فازی دارند (برای مثال ‎‎‎[19]‎‎‎ را ببینید). به طورمشابه، می توان با استفاده از روابط دوتایی یا روابط فازی تعریف شده روی یک نیم گروه، یک ابرحلقه ساخت. این موضوع اخیراً توسط جانسیس-رزوویک‎در ‎[21]‎‎‎ مورد مطالعه قرارگرفته است. این پایان نامه مشتمل بر سه فصل است. در فصل اول به معرفی تعاریف و مفاهیمی می پردازیم که در این پایان نامه به کار می روند. فصل دوم را با ساخت ابرگروه هایی با استفاده از ‎(نیم)‎ گروه های مرتب جزئی در بخش اول آغاز می کنیم. در بخش های دوم و سوم به بررسی ابرگروه وارهای وابسته به روابط دوتایی و بررسی اعمال روی ‎re(h)‎ می پردازیم و در بخش چهارم ابرگروه های کاهش یافته را مطرح می کنیم. در بخش اول ‏از فصل سوم با استفاده از یک رابطه ی ‎l‎-فازی به ساخت ابرحلقه و ‎h_v‎-حلقه می پردازیم. در بخش دوم به بررسی این موضوع می پردازیم که اگر ‎ و ‎s‎ روابط ‎l‎-فازی تعریف شده روی نیم گروه ‎h‎ باشند به طوری که ابرساختارهای مرتبط ‎(h,+_r,o_r)‎ و ‎(h,+_s,o_s)‎ ابرحلقه باشند آنگاه آیا ابرساختارهای مرتبط با اشتراک، اجتماع، ترکیب و ضرب دکارتی میان ‎r‎ و ‎s‎ نیز ابرحلقه هستند؟ درنهایت عکس این مطلب را مورد مطالعه قرار می دهیم. به عبارت دیگر فرض می کنیم ابرساختارهای متناظر با اجتماع یا ترکیب دو رابطه ی ‎‎‎‎l‎‎‎‏‎-فازی ابرحلقه های توزیع پذیر قوی هستند و به بررسی شرایطی می پردازیم که تحت برقراری آن ها ابرساختار متناظر با یکی از این دو رابطه ی ‎‎‎‎l‎‎‎‏‎-فازی نیز ابرحلقه ی توزیع پذیر قوی باشد. ‏متذکر می گردد که در سراسر این پایان نامه با ابرحلقه های تعریف شده توسط اسپارتالیس کار می کنیم.