حلقه های ترکیبی، ابرحلقه های ترکیبی و تعمیم های آن ها

‏اگر در تعریف حلقه حداقل یکی از عمل ها را به عنوان ابرعمل در نظر بگیریم‏، تعریف های متفاوتی برای ابرحلقه حاصل می شود.‎‎ یک تعریف آشنا از یک ابرحلقه‏، ابرحلقه ی کراسنر است cite{krasner} که با در‎~‎نظر گرفتن جمع به عنوان یک ابرعمل به دست می آید به طوری که ‎$ ‎(r,+) $‎ ‏‎ ‎یک‎ ابرگروه کانونی است. یک مطالعه ی کلی از نظریه ی ابرحلقه ها در مرجع cite{davvaz2}‏ انجام گرفته است. حلقه ی ترکیبی به عنوان یک جبر سه‎‏ عملیاتی ‎$ ‎(r,+,cdot,circ)‎ $‎ توسط ادلر‎ltrfootnote{ adler}‎ در سال 1962 معرفی شد ‏به طوری که ‎$ ‎(r,+,‎cdot‎)‎ $‏ یک حلقه ی جابجایی و عمل ترکیبی ‎$ circ $‎ شرکت پذیر و نسبت به عمل های ‎جمع‏ و ضرب ‎ توزیع پذیر راست است‎‎‎. هم چنین‏ منگر‎ltrfootnote{ menger}‏‎‎ ‎‎و مانسltrfootnote{ mannos} تعریف‎‏ های متفاوتی برای جبر سه عملیاتی ارائه ‎‎‏دادندcite{menger1,menger2, mannos}. در فصل اول این پایان نامه‏، مفهوم حلقه های ترکیبی را مورد بررسی قرار ‎‏داده و خواص مهم آن ها را بیان می کنیم.‎ مقاله و مرجع اصلی این فصل‏، مرجع ‎cite{adler}‎‏ می باشد. ابرحلقه ی ترکیبی به‏ عنوان یک ساختار جبری چهارتایی ‎$ ‎(r,+,‎cdot‎,circ)‎ $‎ توسط کریستاltrfootnote{ crista} و جانسیک‎ راسوویکltrfootnote{ janc‎ic-rasovic}‏ در سال 2012 ‏معرفی شد به طوری که ‎$ ‎(r,+,cdot)‎ $‏ یک ابرحلقه ی جابجایی است و ابرعمل ترکیبی ‎$ ‎circ‎ $‏ شرکت پذیر و نسبت به جمع و ضرب توزیع پذیر راست است‎‎. در فصل دوم‏، مفهوم ابرحلقه ی ترکیبی را مورد مطالعه قرار می دهیم و نشان می دهیم که ساختار ترکیبی یک ابرحلقه توسط کلاسی از درون ریختی های آن مشخص می شود. هم چنین قضایای یکریختی نظریه ی حلقه ها را در زمینه ی ابرحلقه های ترکیبی نتیجه می گیریم.‎ بیشتر مطالب این فصل از مرجع ‎cite{crista}‎‏ گرفته شده است. یک تعمیم مناسب از یک ابرگروه‏، ‎$ ‎n‎ $‎‏-ابرگروه نامیده شد که توسط دواز و ووجیوکلیسltrfootnote{vougiouklis} در سال 2006 معرفی شده و مورد مطالعه قرار گرفتcite{davvaz4}. ‎‏هم چنین‏ دواز و دیگران در سال 2009 کلاسی از ابرسیستم های جبری را در نظر گرفتند که تعمیمی از نیم گروه ها‏، ابرنیم گروه ها و ‎$ ‎n‎ $‎‏-نیم گروه هاست cite{davvaz6}. سپس لئورنیو فوتی‎ltrfootnote{leoreanu-fotea} ‎‎ ابرگروه های کانونی ‎$ ‎n‎ $‎‏-تایی را مورد مطالعه قرار داد cite{leoreanu-fotea}. اخیراً ‎$ ‎(m,n)‎ $‎‏-ابرحلقه های کراسنر توسط میروکیلی و دواز معرفی شده و مورد بررسی قرار گرفته اند cite{mirvakili2}. ‎$ ‎(m,n)‎ $‎‏-ابرحلقه های کراسنر تعمیم های مناسب ابرحلقه های کراسنر هستند. ‎$ ‎(m,n)‎ $‎‏-‎‎ابرحلقه در فرم کلی در cite{davvaz5, mirvakili1}‏ به عنوان ساختار توزیع پذیر قوی معرفی شد. سپس در cite{jancic2} جانسیک راسوویک و داسیکltrfootnote{dasic} آن را با معرفی مفهوم ‎$ ‎(m,n)‎ $‎‏-ابرحلقه با توزیع پذیری شمول تعمیم دادند. در فصل آخر این پایان نامه یک ساختار ترکیبی برای ‎$ ‎(m,n)‎ $‎‏-ابرحلقه ها پیشنهاد داده و آن را ‎$ ‎(m,n,k)‎ $‎‏-ابرحلقه ی ترکیبی می نامیم که تعمیمی از حلقه های ترکیبی و ابرحلقه های ترکیبی است. مثال هایی از این مفهوم جدید ارائه ‎‎‏می دهیم و قضایای یکریختی نظریه ی حلقه ها را برای آن نتیجه گرفته و اثبات می نماییم.